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Sabato, 23 Agosto 2014 17:06

La sezione aurea

TRAMA:

L’antica Grecia è a ragione considerata la culla della nostra cultura: scienze, filosofia, arte, letteratura, ma soprattutto matematica, hanno trovato qui i propri natali. Platone ebbe il merito di scoprire i poliedri regolari, detti appunto platonici, e di costruire la realtà su di essi: questi sono legati indissolubilmente alla sezione aurea e, con ogni probabilità, l’interesse per il rapporto aureo è scaturito proprio dai tentativi di costruirli, anche se i primi a parlare di numeri irrazionali pare siano stati i pitagorici, nel VI sec. a.C.

Con la pubblicazione, nel 300 a.C., degli Elementi di Euclide, l’opera matematica più grandiosa e influente che sia mai stata scritta, il rapporto aureo comincia a diffondersi. Scavalcando gli arabi, che si occuparono principalmente di algebra, si arriva a Leonardo Fibonacci, che ha avuto il merito di diffondere in Europa le cifre indo-arabiche. Fibonacci usò consciamente il rapporto aureo nella soluzione di alcuni problemi e, formulando il quesito dei conigli, ne ha ampliato in modo decisivo la portata e le applicazioni, grazie al legame trovato successivamente da Keplero.

Nel Rinascimento, alcuni pittori hanno fornito contributi matematici di un certo rilievo: il più prolifico fu Piero della Francesca, con tre opere matematiche, con le quali dimostra che la prospettiva è fondata solidamente su basi scientifiche. Alcune delle questioni algebriche che affrontò furono riprese dal matematico Luca Pacioli, che, con il suo Compendio de divina proportione, presenta un riassunto dettagliato delle proprietà del rapporto aureo, portando a un rinnovato e diffuso interesse per la sezione aurea.

Il rapporto aureo divenne fondamentale anche per il funzionamento dell’universo, grazie al contributo di Keplero, che – trovato convincente il sistema copernicano – scelse di separare le orbite dei pianeti con i solidi platonici. Il modello era sbagliato, ma era sicuramente innovativo.

Nel mondo dell’arte, Paul Sérusier fece uso del rapporto aureo in alcune opere, soprattutto per “controllare, e in qualche caso disciplinare” le sue invenzioni, mentre Le Corbusier, che all’inizio aveva idee negative al riguardo, fece culminare la sua ricerca nel “Modulor”, che era in grado di conferire dimensioni armoniose a tutto, dalle maniglie delle porte agli spazi urbani. Numerosi autori hanno sostenuto che il rettangolo aureo sarebbe esteticamente più soddisfacente di tutti gli altri rettangoli, tanto che uno dei fondatori della moderna psicologia, Gustav Theodor Fechner decise di effettuare degli esperimenti, negli anni Sessanta dell’Ottocento, per verificarlo. Nel secolo scorso, ne sono stati sottolineati l’ingenuità e i difetti metodologici, visto che “non sembra esserci alcuna base razionale della teoria estetica che considera la sezione aurea un ingrediente decisivo della bellezza delle forme visive”. Anche in ambito musicale, le speculazioni riguardanti il rapporto aureo sono numerose: accanto a usi incontestabili del rapporto aureo, ve ne sono altri dovuti all’immaginazione dei loro scopritori. Tutti i tentativi di svelare la presenza di fin varie creazioni artistiche, dalla pittura alla musica alla poesia, si basano sul presupposto che esista un canone di bellezza ideale, ma la storia ci dice che non sempre alla base della bellezza c’è la sezione aurea.

Per realizzare le tassellature del piano, si è sempre saputo che il pentagono – il poligono più legato al rapporto aureo – non è adatto a ricoprire una superficie in modo completo e regolare. Nel 1974, Roger Penrose, fisico di Oxford, ha scoperto due schemi fondamentali di intarsio per coprire una superficie, sfruttando una simmetria quintupla, ovvero basandosi sul rapporto aureo. Apparentemente questi suoi studi dovevano restare confinati nell’ambito della matematica ricreativa, ma nel 1984 l’ingegnere israeliano Dany Schectman ha trovato una lega di alluminio con simmetria quintupla.

Nell’ultimo capitolo, l’autore si concentra sulle diverse interpretazioni della matematica: tra la visione della matematica come dotata di un’esistenza indipendente dal pensiero umano e quella di una matematica inesistente al di fuori del pensiero, l’autore sostiene che solo gli assiomi sono frutto di una scelta umana, ma dopo di essi la matematica gode in un’esistenza autonoma. “Il rapporto aureo è un prodotto della geometria, un’invenzione umana. Ma gli uomini non immaginavano in quale magico regno di fate ed elfi quel prodotto li avrebbe portati.”

 

COMMENTO:

Storia della matematica, arte, musica, poesia sono gli ingredienti di questo prezioso libro, nel quale la sezione aurea non viene solo definita, ma ne viene indagata la presenza nelle opere d’arte più famose e nei posti meno comuni, come i quasi-cristalli. Proprio il carattere eclettico del libro permette di incontrare i gusti di tutti i lettori, non solo degli appassionati di matematica ed è in particolare consigliato a tutti coloro che si interessano di arte. Il lettore viene guidato partendo dai contenuti più semplici, come il significato dei numeri per i pitagorici, fino ad arrivare ai frattali, con la loro bellezza e complessità. Peccato manchino le immagini a colori, almeno nell’edizione della Rizzoli.

Pubblicato in Libri
Sabato, 02 Novembre 2013 13:51

Curiosità e divertimenti con i numeri

TRAMA:

Il libro costituisce una rilettura del De viribus quantitatis di Luca Pacioli, uno dei matematici più noti del Rinascimento, vissuto a cavallo tra 1400 e 1500.

Come viene rilevato da Giorgio Tomaso Bagni, che ci espone l’opera, Pacioli, anche o soprattutto attraverso le risposte sbagliate, vuole insegnarci la scienza. Costantemente impegnato nell’insegnamento e nella diffusione della matematica, dopo il De divina proportione e la Summa di aritmetica, geometria, proportioni et proportionalità, con il De viribus quantitatis Pacioli si dedica ai giochi matematici. Costituito da 306 carte, il manoscritto è diviso il tre parti: la prima parte è dedicata all’aritmetica e la seconda alla geometria. Nel testo il contenuto viene presentato in due colonne, a sinistra il sommario e a destra l’effettivo contenuto del manoscritto; Bagni poi presenta il commento ad alcuni problemi originali, nei quali evidenzia che, pur risolvendo il problema con un procedimento apparentemente macchinoso, Pacioli aveva come obiettivo di rendere il gioco meno trasparente per amplificare l’effetto sorpresa. In questo testo, Pacioli mostra di essere un insegnante capace di coinvolgere efficacemente i lettori: evitandoci la fatica di noiosi esercizi, ci mostra, con il gioco, tutta la bellezza della matematica. Sorprendente è il fatto che, negli ultimi anni, anche la didattica della matematica si sia mossa in tal senso.

La terza parte è sicuramente la più difficile da inquadrare: i proverbi, gli acrostici e i documenti dedicati alla descrizione di procedure, ricette o effetti di prestidigitazione, non sono forse degni di nota dal punto di vista scientifico, ma nella conclusione, con i 222 indovinelli numerati, la “Problemata vulgari a solicitar ingegno et a solazzo”, di cui viene riportata una selezione, Pacioli alterna alcuni spunti a curiosità piuttosto banali. Furio Honsell, nella parte introduttiva, commenta proprio questa parte, evidenziando le sue differenze rispetto al resto dell’opera, ma anche se il linguaggio può ingannare, protagonista dei giochi di parole è ancora la matematica. 

 

COMMENTO:

La lettura non è sempre facile, visto che alcuni dei giochi proposti integralmente dal testo di Luca Pacioli non sono tradotti e il linguaggio, che alterna il latino al volgare, non è sempre di facile comprensione. In ogni caso, la selezione ci permette di avere una visione completa dell’opera di Pacioli e di trovare anche ottimi spunti: infatti, l’intento di Pacioli è quello di appassionare alla matematica, ma non con una didattica noiosa, bensì con spunti, indovinelli, giochi matematici che ci divertono e ci offrono uno sguardo sulla realtà.

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