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Mercoledì, 13 Marzo 2019 20:21

137 - 14 Marzo 2019

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L’alfabeto del pi greco

Archimede: Vissuto a Siracusa nel III sec.a.C., Archimede è ricordato come matematico, fisico e inventore. Uno dei suoi meriti è di aver ottenuto un valore di pi greco con un errore di meno di tre decimillesimi rispetto al valore reale, utilizzando il metodo di esaustione. Consideriamo un esagono inscritto in una circonferenza, il cui perimetro misura quindi sei volte il raggio; consideriamo poi un esagono circoscritto alla circonferenza del quale, aiutandoci con la trigonometria, possiamo determinare il perimetro. Il perimetro della circonferenza sarà compreso tra questi due valori e, sapendo che pi greco è dato dal rapporto tra la circonferenza e il diametro, basta dividere tutti i termini della disuguaglianza per il diametro e otteniamo un’approssimazione di pi greco. Aumentando il numero dei lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, aumenterà anche la precisione di pi greco. Grazie a questo metodo, Archimede ricavò un valore compreso tra 3,140845... e 3,142857, ottenendo per primo due cifre decimali esatte di pi greco.

Buffon: Il valore di pi greco si può determinare anche sperimentalmente, attraverso l’esperimento dell’ago di Buffon: disegniamo su un foglio delle linee parallele, che abbiano una distanza tale da superare la lunghezza di un ago. Lasciamo poi cadere l’ago e vediamo quante volte intercetta le linee tracciate: il rapporto tra il numero di volte in cui interseca una linea e il numero di lanci totali ci dà la probabilità per l’ago di intersecare le linee tracciate e, al tempo stesso, una stima statistica del numero pi greco.

Circonferenza: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Alcune volte, impropriamente, viene usato il termine cerchio, che in realtà è la superficie, mentre circonferenza indica il perimetro. Pi greco deve il proprio nome all’iniziale proprio del termine circonferenza, in greco περιϕέρεια.

Definizione: Pi greco viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del suo diametro. Siccome i matematici sono molto precisi, per poter accettare questa definizione è stato necessario dimostrare che è indipendente dal cerchio scelto.

Eulero: Per Richard Feynman, l’identità di Eulero è «la più notevole formula matematica». La sua bellezza è indiscussa, anche solo per il fatto che racchiude quattro numeri importanti oltre a pi greco: e (il numero di Nepero), 1, 0 e l’unità immaginaria, mentre per quanto riguarda l’attribuzione a Eulero, questa non è certa. «Nel 1988 la rivista inglese The Mathematical Intelligencer creò un sondaggio tra i suoi lettori. Ci furono 68 voti validi e ad aggiudicarsi Miss Equation fu l’identità di Eulero». Le cinque costanti sono unite da tre operazioni algebriche fondamentali, che compaiono, ognuna, una sola volta.

Fiumi: Non tutti sanno che le anse create dai fiumi lungo il loro percorso hanno a che fare con pi greco: «Il prof. Hans Stolum, uno scienziato della terra dell’università di Cambridge, ha calcolato il rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi dalla sorgente alla foce e la loro lunghezza in linea d’aria» e questo rapporto è un valore approssimato di pi greco. Non ne parla solo Simon Singh nel suo «L’ultimo teorema di Fermat», ma anche Alessandro Baricco nel suo libro «City».

Goodwin: Nel 1897 un certo Edward J. Goodwin, medico e matematico dilettante, elaborò un disegno di legge per lo stato dell’Indiana, per risolvere il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso. Nella sua proposta, c’era un nuovo valore di pi greco, pari a 3,2. Il disegno di legge approdò alla Camera dei deputati con il numero 246 e venne inviato alla Commissione per l’educazione per un nuovo esame: questa diede un parere favorevole e lo inviò alla camera dei deputati, dove venne approvato all’unanimità. Fortunatamente, nel corso del suo iter, il disegno di legge venne mostrato a un professore di matematica della Purdue University, Clarence Abiathar Waldo, che impedì quindi al disegno di legge di essere approvato.

Heisenberg: Il principio di indeterminazione di Heisenberg è forse uno dei più noti della meccanica quantistica. Riducendolo ai minimi termini, «ci dice che non è possibile misurare contemporaneamente e con estrema esattezza le proprietà che definiscono lo stato di una particella elementare. Se ad esempio potessimo determinare con precisione assoluta la posizione, ci troveremmo ad avere massima incertezza sulla sua velocità». La formula del principio contiene al suo interno proprio la costante pi greco.

Irrazionale: La prima dimostrazione dell’irrazionalità di pi greco è attribuita a Jean-Henri Lambert, matematico svizzero, che la realizzò nel 1768, a quarant’anni. Un numero irrazionale è un numero non esprimibile come rapporto di due numeri interi e, per questo motivo, non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Leibniz: La formula di Leibniz è una serie convergente per determinare pi greco, che è molto semplice da descrivere: è una somma infinita, a segni alterni, di tutti i reciproci dei numeri naturali dispari, partendo da 1. Il risultato è pari a un quarto di pi greco, ma la sua efficienza non è tale da permettere di ottenere una precisione elevata, visto che per calcolare 10 cifre significative, bisogna svolgere dieci miliardi di operazioni matematiche.

Matematica: Pi greco non appartiene solo alla matematica, pur essendo una costante matematica. Credo che gli esempi e gli aneddoti di questa newsletter siano una dimostrazione sufficiente.

Nilakantha: Nilakantha Somayaji fu un matematico e astronomo indiano, vissuto tra XV e XVI secolo. Ideò una serie infinita per calcolare pi greco: «Per calcolare questa formula, parti da tre e inizia ad alternare somme e sottrazioni di frazioni in cui il numeratore è 4 e il denominatore è il prodotto di tre numeri interi consecutivi che vengono incrementati ad ogni nuova iterazione. Il denominatore di ogni frazione successiva è il prodotto di tre numeri, il primo dei quali è il più alto della frazione precedente». Ripetendo il procedimento qualche volta, si otterrà un valore molto vicino a pi greco, visto che converge a pi greco molto più velocemente della formula ideata da Leibniz.

Oscillazione: Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice è direttamente proporzionale a pi greco. Esso dipende, inoltre, solo dalla lunghezza del filo e dall’accelerazione di gravità, mentre è completamente indipendente dalla massa appesa.

Probabilità: Due numeri si dicono primi tra loro se il loro massimo comune divisore è 1. La probabilità che, scelti a caso due numeri interi, questi siano primi tra loro dipende da pi greco: è infatti il rapporto tra 6 e il quadrato di pi greco.

Quadratura: Il problema della quadratura del cerchio, insieme a quelli della trisezione dell’angolo e della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca. I problemi andavano risolti con una riga non graduata e un compasso, ma solo in epoche recenti è stato possibile dimostrare l’impossibilità della loro soluzione con un simile procedimento. Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, che consiste nel determinare un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato, la sua impossibilità di costruzione con riga e compasso venne determinata nel momento in cui si dimostrò la trascendenza di pi greco.

Rhind: Il papiro di Rhind è un papiro egizio di argomento matematico, che deve il proprio nome all’antiquario scozzese che lo acquistò nel 1858. Largo trentadue centimetri, raggiunge i cinque metri di lunghezza e contiene ottantaquattro problemi di matematica con relative soluzioni. Tra i problemi geometrici, si individua il calcolo dell’area di un cerchio di diametro uguale a 9: il cerchio risulta essere equivalente ad un quadrato di lato 8, il che implica che il valore di pi greco utilizzato è una buona approssimazione.

Shanks: La possibilità di utilizzare un computer per determinare le cifre di pi greco ha aumentato notevolmente il numero di cifre: da 152 cifre nel 1837, si superarono le mille nel 1949 con una calcolatrice da tavolo e le diecimila nel 1958 con un IBM 704. Nel 1961, Daniel Shanks e John William Wrench ottennero 100265 cifre grazie a un IBM 7090, che lavorò per quasi 9 ore.

Trascendente: Ferdinand von Lindemann è ricordato soprattutto per aver dimostrato la trascendenza di pi greco. Affermare che pi greco è un numero trascendente equivale a dire che non può essere soluzione di equazioni a coefficienti razionali e la differenza rispetto ai numeri algebrici si nota subito con un semplice esempio: la radice quadrata di 2 è algebrica, in quanto si ottiene come soluzione dell’equazione di secondo grado x2–2=0. La dimostrazione della trascendenza fu ottenuta nel 1882, subito dopo che Charles Hermite ebbe dimostrato la trascendenza del numero di Nepero.

Uccisione: OJ Simpson, giocatore di football americano, nel 1994 è stato accusato di aver ucciso l’ex moglie e l’amico di questa. L’anno seguente fu assolto, grazie ad un avvocato davvero scaltro, che si servì anche del pi greco per far invalidare le prove: un agente sbagliò a calcolare l’area della goccia di sangue usata per tracciare il DNA dell’assassino e il giudice invalidò la prova.

Viète: A differenza delle formule precedenti, quella proposta da François Viète è data non da una somma infinita, ma da un prodotto infinito di radicali. La cosa buffa è che i matematici amano essere molto stringati nelle formule e, nel caso di un prodotto, la riduzione della formula avviene mediante il simbolo di produttoria, ovvero un pi greco maiuscolo.

Zero: La 2.000.000.000.000.000a cifra di pi greco è uno zero: è stato annunciato nel 2010 da Nicholas Sze, che ha usato 1000 computer contemporaneamente per 23 giorni di fila per poter effettuare il calcolo. Il matematico è riuscito a realizzare questo primato, perché «suddividendo i problemi in tanti piccoli sotto-problemi il numero di cifre decimali calcolate, rispetto al precedente record di 5 trilioni (un trilione corrisponde a mille miliardi), è semplicemente raddoppiato».

 

Buona matematica e buon pi-day! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

Letto 249 volte Ultima modifica il Mercoledì, 13 Marzo 2019 20:22