Il seguente articolo, che racconta un laboratorio sulle geometrie euclidee, è stato scritto per partecipare al Premio Bruno Rizzi del 2018, insieme alla collega e amica Carolina Bergamini, docente del liceo classico "Decio Celeri".

Quella presentata di seguito non è la classica lezione di matematica: si tratta, infatti, di un laboratorio, ideato in occasione della partecipazione della nostra scuola, l’Istituto di Istruzione Superiore “Decio Celeri”, al festival di BergamoScienza nell'ottobre del 2017, avente titolo Cerchi a 360°. Il Festival di BergamoScienza, un evento di divulgazione scientifica nato nel 2003, ha come obiettivo principale «quello di rendere la scienza accessibile a tutti, soprattutto giovani e scuole, così che possano migliorare e perfezionare la propria formazione tecnico-scientifica e accrescere i propri interessi.» 
La manifestazione prevede che ciascuna scuola scelga un tema scientifico su cui costruire laboratori, mostre, lezioni da presentare a terzi ma ogni attività deve essere progettata e guidata dai ragazzi, che aderiscono al progetto volontariamente, mentre gli insegnanti hanno il compito di accompagnare gli animatori con la propria supervisione.
Nella XV Edizione del Festival, quella del 2017, abbiamo scelto come tema il cerchio e, dopo averlo presentato in generale ai ragazzi, noi insegnanti li abbiamo guidati nella riflessione, cercando con loro esperienze e percorsi che avrebbero potuto aiutare i nostri ospiti a scoprire qualcosa di più del cerchio. Questo laboratorio in particolare, riguardante le geometrie non euclidee, è stato sviluppato da alcuni ragazzi della 5^A Liceo Scientifico a.s. 2017/18: Hadziosmanovic Ervin, Iannunzio Chiara, Platì Giulia e Zendra Giulia, che hanno sviluppato il progetto tra il quarto e il quinto anno di liceo.
I destinatari del laboratorio sono state le classi terze della scuola secondaria di primo grado e tutte quelle di secondo grado, mentre nei fine settimana le stesse attività sono state proposte anche agli adulti.
La presentazione del laboratorio che i partecipanti leggevano nell’opuscolo e sul sito di BergamoScienza si riferiva sia alle attività per la primaria che a quelle per la secondaria ed era questa: «La circonferenza è una figura semplice solo in apparenza! Nasconde in realtà moltissimi segreti. Grazie alla matematica, imparerete a conoscere le geometrie del mondo che vi circonda, giocando e divertendovi: bolle di sapone, forbici, cartoncini e oggetti della quotidianità saranno le vostre armi infallibili. Con quelle saprete decodificare numeri e forme.» Quindi i partecipanti non erano necessariamente preparati ad incontrare le geometrie non euclidee, tant’è che sino al termine del laboratorio non immaginavano di essere entrati in un “nuovo mondo”. Scopo del laboratorio era proprio quello di far scoprire l’esistenza di geometrie diverse da quella euclidea, facendo in modo che chiunque potesse rendersi conto di come anch’esse possano descrivere in modo appropriato la realtà, in contesti diversi da quello della quotidianità.

Dalla geometria piana alla geometria sferica

Gli alunni, in un gruppo non superiore alle 30 persone, vengono accolti e fatti accomodare sulle sedie disposte in cerchio. Gli animatori, posizionandosi al centro, richiamano l’attenzione dei presenti sul protagonista della lezione, il cerchio, ed in cerchio, effettivamente, hanno fatto disporre i presenti. All’interno di questo verrà costruito un triangolo, utilizzando un filo. Gli animatori danno un capo del filo ad uno dei ragazzi presenti, poi si spostano lungo il cerchio e, facendo scorrere il filo, chiedono di trattenerlo ad un altro dei ragazzi e lo stesso fanno con un altro ragazzo ancora, fino a tornare al ragazzo di partenza, al quale danno il secondo estremo del filo. Il triangolo viene adagiato a terra, e un quarto ragazzo viene coinvolto: fornendogli un goniometro, lo si invita a misurare gli angoli interni del triangolo e tutta la classe può constatare che la somma di tali angoli è di 180°. (In realtà, difficilmente si ottiene il valore esatto: nella maggior parte dei casi, bisogna invitare i presenti a prendere coscienza dell’inesattezza delle misurazioni e degli errori nei quali si è incorsi nel processo).
Gli animatori invitano i ragazzi ad immaginare un triangolo più grande della scuola in cui si trovano, con i vertici all’esterno: tutti sono concordi nell’affermare che la somma degli angoli interni di questo nuovo triangolo sarebbe ancora di 180°. E cosa succederebbe se il triangolo travalicasse i confini del paese nel quale è situata la scuola? Nessun problema: la somma degli angoli interni sarebbe di nuovo di 180°.
Cosa succederebbe se un nuovo triangolo avesse un vertice al Polo Nord, uno in Ecuador e l’altro in Kenya? Pur nella fatica di immaginare un simile triangolo, sembra che la maggior parte dei ragazzi sia concorde nell’affermare che la somma degli angoli interni sarebbe ancora di 180°. Non resta che verificarlo.

La geometria della sfera

Dopo aver suddiviso i ragazzi in gruppi di 5/6 persone, ai ragazzi viene fornita la copia di un planisfero, sul quale sono invitati a individuare i vertici del triangolo al Polo Nord, in Ecuador e in Kenya. Dopo che sono stati tracciati i lati con un pennarello, gli animatori chiedono ai ragazzi di misurare gli angoli interni del triangolo e di verificare che la somma è ancora di 180°. Al momento sembra che, per quanto sia grande il triangolo in questione, la somma degli angoli interni non cambi. A questo punto, a ogni gruppo vengono dati un mappamondo, un filo e del nastro adesivo: il triangolo viene individuato sulla sfera e, dopo aver misurato gli angoli con il goniometro, se ne effettua la somma. Sorprendentemente, la somma non è più di 180°, ma superiore.
I ragazzi coinvolti sembrano un po’ stupiti. La domanda che ne consegue ha il gusto della generalizzazione: forse i vertici del triangolo, scelti non casualmente, portano a questo risultato, ma la somma degli angoli interni di un triangolo sarebbe superiore a 180° qualsiasi fossero i vertici prescelti?
Ad ogni gruppo viene fornito un pallone di spugna e del nastro adesivo: è necessario costruire un nuovo triangolo ed effettuare una nuova misurazione. Se il triangolo è sufficientemente grande, la somma supera ancora i 180°, ma in quale modo bisogna realizzare un triangolo perché la somma degli angoli interni sia di 180°? La risposta è nelle dimensioni del triangolo: facendo il procedimento inverso rispetto all’inizio dell’attività, i ragazzi dovrebbero riconoscere che se il triangolo fosse sufficientemente piccolo, la somma degli angoli interni si avvicinerebbe a 180°, anche se il triangolo fosse adagiato sulla superficie della sfera.

Il percorso più breve e le rotte degli aerei

Torniamo al nostro planisfero: gli animatori invitano i ragazzi presenti a disegnare la strada più breve che collega Roma a New York. Forse qualcuno, complice lo studio della geometria piana, come strada più breve individuerà – sul piano – il segmento che ha per estremi le due città, ma bisogna essere chiari: la linea più breve è quella che dovremmo individuare nella realtà, ovvero sul mappamondo. Con il mappamondo, gli animatori suggeriscono di usare un elastico chiuso e, procedendo per tentativi, i ragazzi dovrebbero individuare la strada più breve: a cosa corrisponde? Sono tutti concordi nell’affermare che non si tratta di una linea retta – quella che ci è stata indicata con la geometria piana, per intenderci – ma anche questa è una linea particolare: è un circolo massimo. Sul mappamondo conosciamo, come circolo massimo, l’Equatore, ma su una sfera i circoli massimi possono essere infiniti. E la strada più breve tra Roma e New York è proprio il tratto di circolo massimo che passa per le due città.

Gli animatori chiedono ai ragazzi di provare a disegnarlo sul planisfero: ne risulterà una linea incurvata, più o meno precisa, che richiama proprio le rotte aeree che magari abbiamo avuto occasione di vedere rappresentate negli aeroporti:

La geometria iperbolica

Riconosciute queste differenze tra la geometria del piano e la geometria sulla sfera, gli animatori chiedono se sia possibile rappresentare in qualche modo un triangolo che abbia la somma degli angoli interni inferiore a 180°. Di quale forma geometrica avremmo bisogno in questo caso?
Gli animatori invitano ogni gruppo, munito di goniometro, forbici e cartoncino, a realizzare una circonferenza con raggio 10 cm e a ritagliarla lungo il perimetro e lungo un raggio qualsiasi, tracciato precedentemente. Disegnata una seconda circonferenza, sempre di diametro 10 cm, viene individuato un settore circolare di ampiezza 60°: i ragazzi tracciano i due raggi che lo delimitano e tagliano il settore. Con il nastro adesivo, inseriscono il settore circolare all’interno della prima circonferenza, facendo coincidere i due raggi del settore con i due lembi del raggio nella prima circonferenza: 

La nuova figura geometrica assume una forma “a sella”, che in qualche modo ricorda le ben note patatine nel tubo.
Su di essa, gli animatori invitano i ragazzi a disegnare un nuovo triangolo, che contenga al suo interno il centro della circonferenza: misurando gli angoli interni con il goniometro e procedendo alla somma, possono facilmente verificare che tale somma è inferiore a 180°.

La riflessione finale sui diversi tipi di geometria non euclidea

Durante il percorso di formazione, il prof. Marco Testa è stato perentorio nel ricordare agli animatori che l’attività proposta non doveva assolutamente essere una lezione scolastica e che i partecipanti avrebbero dovuto essere guidati in un percorso di scoperta. Per questo motivo, solo al termine del laboratorio gli animatori effettuavano una specie di riassunto del percorso fatto, richiamando alcuni concetti fondamentali.
La nascita delle geometrie non euclidee ruota attorno al quinto postulato di Euclide, che parla dell’esistenza e dell’unicità della retta parallela ad una retta assegnata passante per un punto dato. Utilizzando un cartellone già preparato ed esposto in aula, si ricordano i nomi degli studiosi che per primi hanno introdotto le geometrie non euclidee: Lobacevskij tutto solo nelle fredda Russia, Bolyai giovane ungherese che disubbidendo al padre studia il problema delle parallele e finisce in casa di cura (!), Gauss, il principe della matematica, che, nonostante fosse stato il primo a teorizzare le geometrie non euclidee, non ha pubblicato nessun articolo per paura degli «strilli dei beoti». Negando il quinto postulato, si può ipotizzare che per un punto esterno esistano infinite rette che non intersecano la retta data, con la conseguenza più eclatante che la somma degli angoli interni di un triangolo sarà sempre minore di 180°: tale geometria è la seconda analizzata nel nostro laboratorio, quella iperbolica. Il modello di tale geometria è la sella, che è stata realizzata dai presenti a partire da una circonferenza.

Riemann, invece, nega il quinto postulato ipotizzando che non esistano rette parallele a una retta data condotte per un punto ad essa esterno e in questo caso la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°: si tratta della geometria sferica detta, più in generale, ellittica. Il modello di tale geometria è la sfera (durante il laboratorio è stato usato il mappamondo). 
Nel caso in cui gli ospiti avessero voluto approfondire ancora di più la questione ponendosi il problema di quale delle tre geometrie descriva meglio il mondo e se tutte possano essere consistenti, gli animatori brevemente spiegavano le osservazioni fatte da Gauss proprio per “decidere” se il mondo fosse euclideo, iperbolico o ellittico. Gauss pensò di considerare un grande triangolo definito dalle vette di tre monti, misurare gli angoli e quindi stabilire quale delle tre geometrie fosse quella “vera”. Dopo osservazioni accurate Gauss dedusse che l’esperimento non era riuscito in quanto valutando gli errori di misurazione non si poteva stabilire se la somma degli angoli interni di un triangolo fosse maggiore, minore o uguale a 180°.
È interessante far notare che, se si dovesse trovare un errore in una delle geometrie non euclidee, tale errore si tradurrebbe in un errore anche nella geometria euclidea, ovvero se dovesse “cadere” una geometria trascinerebbe nella sua caduta anche le altre due. Possiamo perciò concludere che o accettiamo l’esistenza di tre geometrie o non dobbiamo accettarne nessuna.

Le geometrie non euclidee e le indicazioni nazionali per i Licei

«Il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano», secondo quanto riportato nelle indicazioni nazionali per i Licei. A seguire, nel secondo biennio ci si occupa della geometria analitica del piano e della geometria euclidea dello spazio, per concludere, all’ultimo anno, con la geometria analitica dello spazio. Non c’è posto, né al liceo scientifico (cui la precedente scansione del programma si riferisce) né negli altri licei o indirizzi di scuola superiore, per le geometrie non euclidee che, anche nei libri di testo, vengono proposte solo come approfondimento. In genere, cominciando la trattazione della geometria euclidea del piano con i postulati, gli insegnanti fanno riferimento ai postulati di Euclide e cercano di trovare uno spazio per delineare la storia del quinto postulato proposto negli Elementi: se ne evidenzia la particolarità rispetto ai precedenti e ai successivi, si mette in luce il suo ruolo da protagonista nella storia più recente, fino ad arrivare alla nascita delle geometrie non euclidee, ma il percorso viene, in genere, condensato in meno di un’ora e, spesso, la maggior parte dei ragazzi non ha tempo di comprendere fino in fondo la rilevanza di questo argomento.
Giunti ormai al termine del loro percorso liceale, i ragazzi coinvolti nel progetto di BergamoScienza hanno sentito il fascino delle geometrie non euclidee e hanno deciso di inserirle nel laboratorio sul cerchio. Noi insegnanti abbiamo accolto con entusiasmo la proposta, proprio perché non c’è modo di affrontare questo argomento durante il percorso: i ragazzi che hanno preso parte al laboratorio, anche quelli della scuola secondaria di primo grado (ricordiamo che la partecipazione era possibile a partire dalla terza media), hanno avuto modo di affrontare nella pratica il tema delle geometrie non euclidee, senza che venissero citati formule o postulati. Persino gli adulti, che hanno partecipato ai laboratori nel fine settimana, hanno avuto l’occasione di sperimentare una geometria diversa da quella che avevano incontrato durante il percorso scolastico e di sentire tutto il fascino della geometria sferica o di quella iperbolica.

Riferimenti bibliografici

[1] BERGAMINI M., BAROZZI G., TRIFONE A. (2017), Matematica.blu 2.0 – Seconda edizione, vol. 5, Zanichelli, cap. C11, Geometrie e fondamenti
[2] Indicazioni nazionali per i licei (DECRETO INTERMINISTERIALE MIUR-MEF 7 ottobre 2010, n. 211: Schema di regolamento recante “Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento concernenti le attività e gli insegnamenti compresi nei piani degli studi previsti per i percorsi liceali di cui all’articolo 10, comma 3, del decreto del Presidente della Repubblica 15 marzo 2010, n. 89, in relazione all’articolo 2, commi 1 e 3, del medesimo regolamento.”)
[3] KLINE M. (1972), Storia del pensiero matematico – Seconda edizione, vol. 2 dal Settecento ad oggi, Einaudi, cap. 36, La geometria non euclidea
[4] BOLYAI J. traduzione a cura di PETTOELLO R. (2009), La Scienza assoluta dello spazio, Edizioni Melquiades, Introduzione: un nuovo mondo dal nulla