TRAMA:

Dalle quattro operazioni con i numeri naturali, dai sistemi numerici e dai criteri di divisibilità, fino ad arrivare alla teoria di Galois, alla teoria dei gruppi e alla questione dell’indecidibile, ecco la scansione dei capitoli di questo libro, suddiviso in tre parti: 

PARTE PRIMA: L’APPRENDISTA STREGONE

1.        Giocare con le dita (Addizione, moltiplicazione, elevazione a potenza)

2.        Le “curve della temperatura” delle operazioni (Volume del cubo. Rappresentazione grafica delle funzioni)

3.        Ripartire la successione infinita dei numeri (Sistemi numerici. Criteri di divisibilità)

4.        L’apprendista stregone (Progressioni aritmetiche. Area del rettangolo e del triangolo)

5.        Variazioni su un tema fondamentale (Diagonali di poligoni convessi. Accoppiamenti. Formula relativa. Nota: Topologia, congruenze e similitudini, solidi regolari)

6.        Percorriamo tutte le possibilità (Teoria delle combinazioni. Induzione matematica. Quadrato di un binomio)

7.        Coloriamo la monotona successione dei numeri (Decomposizione in fattori primi. Distribuzione dei numeri primi. Legge dei numeri primi)

8.        “Ho pensato un numero…” (Equazioni. Impossibilità di risolvere equazioni di quinto grado; teoria di Galois)

PARTE SECONDA: LA FUNZIONE CREATIVA DELLA FORMA

9.       Numeri divergenti (Numeri negativi. Vettori. Principio di permanenza delle proprietà formali)

10.     Densità illimitata (Operazioni con le frazioni. Media aritmetica. Insiemi ovunque densi. Il numero cardinale dei razionali)

11.     Afferriamo di nuovo l’infinità (La trasformazione in decimali delle frazioni e viceversa. Il principio della scatola. Serie infinite)

12.     Completiamo la retta numerica (Numeri irrazionali. Teorema di Pitagora. Il numero cardinale dei numeri reali)

13.     Le curve diventano regolari (Tavole logaritmiche. L’estensione del concetto di potenza. Curve regolari. Iperboli. Divisione per zero)

14.     La matematica è una sola (Concetto generale di funzione. Geometria analitica. Nota: (a) funzioni circolari (seno e coseno), approssimazione di funzioni periodiche; (b) geometria proiettiva, invarianti)

15.     Gli elementi “virgola” (La retta all’infinito. Numeri complessi. Relazioni fra le funzioni circolari e la funzione esponenziale. Il teorema fondamentale dell’algebra. Lo sviluppo delle funzioni in serie di potenze)

16.     Segreti di laboratorio (La direzione della tangente. La derivata. Massimi e minimi di una funzione)

17.     “Molti piccoli fanno un grande” (Integrali indefiniti e definiti. Il calcolo delle aree)

PARTE TERZA: L’AUTOCRITICA DELLA RAGIONE PURA

18.     Eppure vi sono differenti tipi di matematica (Quadratura del cerchio. Numeri trascendenti. Il sistema assiomatico di Euclide. La geometria di Bolyai. Diversi tipi di geometria. Nota: la quarta dimensione)

19.     L’edificio vacilla (Teoria dei gruppi. Teoria degli insiemi. Antinomie. Intuizionismo)

20.     La forma diventa indipendente (Logica simbolica)

21.     Davanti al tribunale della matematica (Teoria della dimostrazione. Metamatematica. La dimostrazione di non contraddittorietà dell’aritmetica. L’ipotesi del continuo. Nota: L’assiomatizzazione dell’analisi)

22.     Di cosa non è capace la matematica? (Problemi non decisi e problemi indecidibili rispetto a certi strumenti. La questione dell’indecidibile)

COMMENTO:

Corrado Mangione, logico e filosofo italiano, è stato il curatore dell’edizione italiana del 1973 di quest’opera. Introducendo l’opera, nella “Nota all’edizione italiana”, ci fa conoscere il suo giudizio: “Il discorso, specie all’inizio, sembra, più che elementare, quasi pedante e infantile; però presto si avverte una profonda conoscenza dietro di esso e una rara maestria nel raccordare fra loro concetti di diverso grado di difficoltà e di rilievo del tutto differente; e si resta via via stupiti dalla varietà degli argomenti che vengono toccati”. La stessa autrice, Rózsa Péter, ci dice che “Questo libro è scritto per coloro che hanno interessi intellettuali ma non sono matematici; è scritto per letterati, artisti, cultori di scienze umanistiche”. Ecco perché le spiegazioni sono semplici, accessibili a tutti, ma non annoiano gli esperti della materia. Per l’insegnante, il testo offre importanti spunti didattici; per gli alunni, la presentazione della matematica, chiara e completa, permette una maggiore comprensione della disciplina, pur partendo dal presupposto che, come ci dice l’autrice, anche il lettore ha degli obblighi per capire fino in fondo la trattazione: “Il lettore deve seguire le poche istruzioni, deve studiare davvero le figure, provare a fare semplici disegni e calcoli quando glielo si consiglia”. 

“Sono portata a credere che una delle origini della matematica sia la natura giocosa dell’uomo, e per questa ragione la matematica non è solo una scienza, ma almeno allo stesso grado, anche un’arte.”