L’alfabeto del pi greco

Archimede: Vissuto a Siracusa nel III sec.a.C., Archimede è ricordato come matematico, fisico e inventore. Uno dei suoi meriti è di aver ottenuto un valore di pi greco con un errore di meno di tre decimillesimi rispetto al valore reale, utilizzando il metodo di esaustione. Consideriamo un esagono inscritto in una circonferenza, il cui perimetro misura quindi sei volte il raggio; consideriamo poi un esagono circoscritto alla circonferenza del quale, aiutandoci con la trigonometria, possiamo determinare il perimetro. Il perimetro della circonferenza sarà compreso tra questi due valori e, sapendo che pi greco è dato dal rapporto tra la circonferenza e il diametro, basta dividere tutti i termini della disuguaglianza per il diametro e otteniamo un’approssimazione di pi greco. Aumentando il numero dei lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, aumenterà anche la precisione di pi greco. Grazie a questo metodo, Archimede ricavò un valore compreso tra 3,140845... e 3,142857, ottenendo per primo due cifre decimali esatte di pi greco.

Buffon: Il valore di pi greco si può determinare anche sperimentalmente, attraverso l’esperimento dell’ago di Buffon: disegniamo su un foglio delle linee parallele, che abbiano una distanza tale da superare la lunghezza di un ago. Lasciamo poi cadere l’ago e vediamo quante volte intercetta le linee tracciate: il rapporto tra il numero di volte in cui interseca una linea e il numero di lanci totali ci dà la probabilità per l’ago di intersecare le linee tracciate e, al tempo stesso, una stima statistica del numero pi greco.

Circonferenza: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Alcune volte, impropriamente, viene usato il termine cerchio, che in realtà è la superficie, mentre circonferenza indica il perimetro. Pi greco deve il proprio nome all’iniziale proprio del termine circonferenza, in greco περιϕέρεια.

Definizione: Pi greco viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del suo diametro. Siccome i matematici sono molto precisi, per poter accettare questa definizione è stato necessario dimostrare che è indipendente dal cerchio scelto.

Eulero: Per Richard Feynman, l’identità di Eulero è «la più notevole formula matematica». La sua bellezza è indiscussa, anche solo per il fatto che racchiude quattro numeri importanti oltre a pi greco: e (il numero di Nepero), 1, 0 e l’unità immaginaria, mentre per quanto riguarda l’attribuzione a Eulero, questa non è certa. «Nel 1988 la rivista inglese The Mathematical Intelligencer creò un sondaggio tra i suoi lettori. Ci furono 68 voti validi e ad aggiudicarsi Miss Equation fu l’identità di Eulero». Le cinque costanti sono unite da tre operazioni algebriche fondamentali, che compaiono, ognuna, una sola volta.

Fiumi: Non tutti sanno che le anse create dai fiumi lungo il loro percorso hanno a che fare con pi greco: «Il prof. Hans Stolum, uno scienziato della terra dell’università di Cambridge, ha calcolato il rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi dalla sorgente alla foce e la loro lunghezza in linea d’aria» e questo rapporto è un valore approssimato di pi greco. Non ne parla solo Simon Singh nel suo «L’ultimo teorema di Fermat», ma anche Alessandro Baricco nel suo libro «City».

Goodwin: Nel 1897 un certo Edward J. Goodwin, medico e matematico dilettante, elaborò un disegno di legge per lo stato dell’Indiana, per risolvere il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso. Nella sua proposta, c’era un nuovo valore di pi greco, pari a 3,2. Il disegno di legge approdò alla Camera dei deputati con il numero 246 e venne inviato alla Commissione per l’educazione per un nuovo esame: questa diede un parere favorevole e lo inviò alla camera dei deputati, dove venne approvato all’unanimità. Fortunatamente, nel corso del suo iter, il disegno di legge venne mostrato a un professore di matematica della Purdue University, Clarence Abiathar Waldo, che impedì quindi al disegno di legge di essere approvato.

Heisenberg: Il principio di indeterminazione di Heisenberg è forse uno dei più noti della meccanica quantistica. Riducendolo ai minimi termini, «ci dice che non è possibile misurare contemporaneamente e con estrema esattezza le proprietà che definiscono lo stato di una particella elementare. Se ad esempio potessimo determinare con precisione assoluta la posizione, ci troveremmo ad avere massima incertezza sulla sua velocità». La formula del principio contiene al suo interno proprio la costante pi greco.

Irrazionale: La prima dimostrazione dell’irrazionalità di pi greco è attribuita a Jean-Henri Lambert, matematico svizzero, che la realizzò nel 1768, a quarant’anni. Un numero irrazionale è un numero non esprimibile come rapporto di due numeri interi e, per questo motivo, non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Leibniz: La formula di Leibniz è una serie convergente per determinare pi greco, che è molto semplice da descrivere: è una somma infinita, a segni alterni, di tutti i reciproci dei numeri naturali dispari, partendo da 1. Il risultato è pari a un quarto di pi greco, ma la sua efficienza non è tale da permettere di ottenere una precisione elevata, visto che per calcolare 10 cifre significative, bisogna svolgere dieci miliardi di operazioni matematiche.

Matematica: Pi greco non appartiene solo alla matematica, pur essendo una costante matematica. Credo che gli esempi e gli aneddoti di questa newsletter siano una dimostrazione sufficiente.

Nilakantha: Nilakantha Somayaji fu un matematico e astronomo indiano, vissuto tra XV e XVI secolo. Ideò una serie infinita per calcolare pi greco: «Per calcolare questa formula, parti da tre e inizia ad alternare somme e sottrazioni di frazioni in cui il numeratore è 4 e il denominatore è il prodotto di tre numeri interi consecutivi che vengono incrementati ad ogni nuova iterazione. Il denominatore di ogni frazione successiva è il prodotto di tre numeri, il primo dei quali è il più alto della frazione precedente». Ripetendo il procedimento qualche volta, si otterrà un valore molto vicino a pi greco, visto che converge a pi greco molto più velocemente della formula ideata da Leibniz.

Oscillazione: Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice è direttamente proporzionale a pi greco. Esso dipende, inoltre, solo dalla lunghezza del filo e dall’accelerazione di gravità, mentre è completamente indipendente dalla massa appesa.

Probabilità: Due numeri si dicono primi tra loro se il loro massimo comune divisore è 1. La probabilità che, scelti a caso due numeri interi, questi siano primi tra loro dipende da pi greco: è infatti il rapporto tra 6 e il quadrato di pi greco.

Quadratura: Il problema della quadratura del cerchio, insieme a quelli della trisezione dell’angolo e della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca. I problemi andavano risolti con una riga non graduata e un compasso, ma solo in epoche recenti è stato possibile dimostrare l’impossibilità della loro soluzione con un simile procedimento. Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, che consiste nel determinare un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato, la sua impossibilità di costruzione con riga e compasso venne determinata nel momento in cui si dimostrò la trascendenza di pi greco.

Rhind: Il papiro di Rhind è un papiro egizio di argomento matematico, che deve il proprio nome all’antiquario scozzese che lo acquistò nel 1858. Largo trentadue centimetri, raggiunge i cinque metri di lunghezza e contiene ottantaquattro problemi di matematica con relative soluzioni. Tra i problemi geometrici, si individua il calcolo dell’area di un cerchio di diametro uguale a 9: il cerchio risulta essere equivalente ad un quadrato di lato 8, il che implica che il valore di pi greco utilizzato è una buona approssimazione.

Shanks: La possibilità di utilizzare un computer per determinare le cifre di pi greco ha aumentato notevolmente il numero di cifre: da 152 cifre nel 1837, si superarono le mille nel 1949 con una calcolatrice da tavolo e le diecimila nel 1958 con un IBM 704. Nel 1961, Daniel Shanks e John William Wrench ottennero 100265 cifre grazie a un IBM 7090, che lavorò per quasi 9 ore.

Trascendente: Ferdinand von Lindemann è ricordato soprattutto per aver dimostrato la trascendenza di pi greco. Affermare che pi greco è un numero trascendente equivale a dire che non può essere soluzione di equazioni a coefficienti razionali e la differenza rispetto ai numeri algebrici si nota subito con un semplice esempio: la radice quadrata di 2 è algebrica, in quanto si ottiene come soluzione dell’equazione di secondo grado x²–2=0. La dimostrazione della trascendenza fu ottenuta nel 1882, subito dopo che Charles Hermite ebbe dimostrato la trascendenza del numero di Nepero.

Uccisione: OJ Simpson, giocatore di football americano, nel 1994 è stato accusato di aver ucciso l’ex moglie e l’amico di questa. L’anno seguente fu assolto, grazie ad un avvocato davvero scaltro, che si servì anche del pi greco per far invalidare le prove: un agente sbagliò a calcolare l’area della goccia di sangue usata per tracciare il DNA dell’assassino e il giudice invalidò la prova.

Viète: A differenza delle formule precedenti, quella proposta da François Viète è data non da una somma infinita, ma da un prodotto infinito di radicali. La cosa buffa è che i matematici amano essere molto stringati nelle formule e, nel caso di un prodotto, la riduzione della formula avviene mediante il simbolo di produttoria, ovvero un pi greco maiuscolo.

Zero: La 2.000.000.000.000.000a cifra di pi greco è uno zero: è stato annunciato nel 2010 da Nicholas Sze, che ha usato 1000 computer contemporaneamente per 23 giorni di fila per poter effettuare il calcolo. Il matematico è riuscito a realizzare questo primato, perché «suddividendo i problemi in tanti piccoli sotto-problemi il numero di cifre decimali calcolate, rispetto al precedente record di 5 trilioni (un trilione corrisponde a mille miliardi), è semplicemente raddoppiato».

Buona matematica e buon pi-day! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

Esercitazione di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: studio di funzione. 

Durata: un'ora.

Verifica di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: teoremi del calcolo differenziale. 

Durata: due ore.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico. 
Argomento: equazioni di grado superiore al secondo, equazioni parametriche e problemi. 

Durata: due ore.

Verifica di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: calcolo di limiti, studio di funzione fino agli asintoti. 

Durata: due ore.

Verifica di fisica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: elettromagnetismo, recupero primo quadrimestre. 

Durata: un'ora.

Verifica di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: calcolo di limiti, studio di funzione fino agli asintoti. 

Durata: due ore.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico. 
Argomento: espressioni con radicali, recupero del debito del primo quadrimestre. 

Durata: un'ora.

C’è un’ipotesi fantasiosa che, periodicamente, torna alla ribalta: l’idea che la forma dei numeri arabi derivi dal numero di angoli che abbiamo nel rappresentare le cifre. Può essere curiosa, ma, rappresentando i numeri attraverso segmenti, dobbiamo aggiungere una specie di ricciolo sia al 7 che al 9, per poter confermare l’ipotesi. Se non altro, il ritorno dell'immagine in questione diventa un’occasione, per Antonio Piazzolla caporedattore di Close-Up Engineering, di ripercorrere la storia di questi numeri che ciclicamente mettono in evidenza l’ignoranza dilagante: non è la prima volta che le cifre che usiamo tutti i giorni diventano oggetto di una bufala contro gli immigrati, ad esempio. La cosa buffa è che quelli che noi indichiamo come numeri arabi, che per correttezza dovrebbero essere nominati come indo-arabi, in arabo sono indicati come “numeri indiani”, proprio perché sono nati in India, trasmessi in Asia occidentale e sono arrivati in Europa grazie agli arabi. Quando incontro una prima liceo scientifico, il percorso di storia della matematica comincia proprio con una storia dei numeri, nascosta tra le gioie della matematica.

L’operazione di contare la facciamo fin da piccoli ed è così innata in noi che persino le api sanno farlo e sanno anche svolgere semplici addizioni e sottrazioni. Raccontata sulle pagine di Science Advances, non è una scoperta inattesa ed è nata dalla domanda di Scarlett R. Howard dell’Università di Melbourne: «Le api, che discriminano tra destra e sinistra, sopra o sotto, più grande e più piccolo, possono svolgere addizioni e sottrazioni come gli oranghi, i piccioni, i pulcini o persino i ragni?»

In queste settimane in cui gli insegnanti delle quinte liceo scientifico si mettono alla prova con l’imminente seconda prova dell’Esame di Stato, che, lo ricordo, coinvolgerà sia matematica che fisica, la riflessione di Federico Benuzzi sulla bellezza della scienza, della fisica in particolare e sul ruolo dell’insegnante nel trasmettere questa bellezza è aceto, ma al tempo stesso balsamo, sulle ferite inflitte dal ministero. Forse perché sento tutti i miei limiti nell’affrontare le simulazioni che il Miur ci propina (la prossima sarà il 28 febbraio) o forse perché credo che la «schematizzazione» e la «semplificazione» di cui parla Benuzzi possano essere anche il frutto di un insegnamento più matematico che fisico. Insomma, la mia forma mentis matematica mi porta a cogliere schemi e, visto che semplificano il mio percorso nella fisica, forse la ripropongo così anche in classe... Capisco, però, cosa dice Benuzzi quando dice: «La storia non potrebbe [...] prescindere dall’insegnato: quali sono stati gli sforzi, i tentativi, le vite dei protagonisti, i loro fallimenti, il periodo storico di contesto dovrebbero essere parte integrante di ogni ciclo di lezioni». Sento vera questa affermazione e il percorso della fisica di inizio Novecento, con il grande genio di Einstein, il ruolo dei Curie, la nascita della fisica quantistica e lo scontro con la realtà della seconda guerra mondiale, mi sembra che offra più occasioni che mai di riflettere storicamente e filosoficamente su questo percorso. Mi appassiona così tanto che, dopo aver visto la prima stagione di Genius, dedicata ad Albert Einstein, ho letto anche Einstein e io di Gabriella Greison. Entrambi fanno riferimento alla biografia di Walter Isaacson, perciò ci sono parecchie analogie, ma il testo della Greison cerca di osservare Einstein con gli occhi di Mileva, offrendo alla prima moglie – per buona parte del libro – un ruolo da protagonista, anche nelle scoperte scientifiche del marito. Il romanzo ha una certa leggerezza, visto che non sono descritte le profondità scientifiche di cui Einstein è ideatore, ma consente un primo approccio alla figura del grande fisico, grazie anche alle numerose lettere originali che arricchiscono la narrazione.

L’11 febbraio si è celebrata la giornata dedicata alle donne nella scienza, istituita nel 2015 dall’Assemblea Generale delle Nazioni Unite, per «eliminare stereotipi e pregiudizi che rendono le carriere femminili un percorso a ostacoli». Anche «io Donna» del Corriere della Sera ha deciso di focalizzarsi sull’argomento, dedicando una galleria fotografica alle dieci scienziate più importanti del ‘900, a partire da Irene Curie, fino a Margherita Hack. Tech Princess esordisce con le foto di Margaret Hamilton, la direttrice del Software Engineering Division del MIT Instrumentation Laboratory, che sviluppò il software di bordo per il programma Apollo e procede con un’interessante riflessione sul ruolo delle donne nella scienza: «È una giornata per riconoscere la nostra caparbietà, la nostra determinazione e tutte le qualità che ci rendono brave in quello che facciamo. È anche una giornata per guardarsi negli occhi e supportarsi a vicenda, invece di soccombere alla competitività di un ambiente che sa essere spietato. È una giornata per ricordare le grandi scienziate del passato, ma non solo per i loro Nobel e i loro risultati strabilianti, ma perché ci ispirano ad essere migliori, e raggiungere risultati migliori anche nel loro nome». Queste parole mi hanno ricordato Purl, l’ultimo corto della Pixar: parla della discriminazione delle donne sul lavoro ed è stato ideato da Kristen Lester, che «ha voluto ripercorrere la sua esperienza nel campo dell’animazione, ancora largamente in mano maschile».

Curiuss è un nome d’arte e sta per Alan Zamboni: se cercate informazioni su di lui nel web, potete trovare “cantante e compositore bresciano” oppure “scrittore”. Dal settembre del 2015, Alan ha aperto un canale YouTube chiamato appunto Curiuss (che in dialetto bresciano significa curioso), nel quale pubblica rubriche di fisica: ha cominciato con le opere di Van Gogh, ma ha proseguito con la materia oscura, Galileo Galilei, la relatività... Oggi mi soffermo sulla rubrica «Geni impolverati: i grandi della scienza finiti lontano dai riflettori» e in particolare sulla puntata numero 3, dedicata a Henrietta Leavitt, che ha ideato un metodo per misurare la distanza delle stelle, misurandone la luminosità intrinseca. Gli esempi di Alan sono illuminanti: a tal proposito basterebbe citare, nei primi minuti, l’esempio di Gualtiero (il gatto coprotagonista) con le crocchette. Nella puntata in questione si parla delle donne computer all’Osservatorio di Harvard, di Pickering e del suo harem, perfettamente in linea con la giornata dedicata alle donne nella scienza. Ma visto che nelle quinte scientifico probabilmente si sta studiando in questo momento la relatività, non posso che consigliare anche la visione delle dieci puntate ad essa dedicate.

Visto che stiamo parlando di video su YouTube, qualche giorno fa è stato pubblicato Una birretta chimica con Dario Bressanini, una chiacchierata scientifica tra Barbascura e Bressanini. Barbascura, il cui vero nome è Piero, è uno youtuber noto per i suoi «Riassuntazzi brutti brutti», in cui riassume telefilm e film famosi in modo comico e per «Scienza brutta», rubrica di divulgazione scientifica in salsa umoristica (ne ricordo uno su tutti: La dura vita del cetriolo di mare). Dario Bressanini è un chimico e divulgatore: collabora con Le Scienze, sul quale gestisce una rubrica chiamata Scienza in Cucina e ha un canale YouTube, attraverso i quali cerca di contrastare le dilaganti fake news. Il video è un’intervista che i due chimici si fanno a vicenda, leggero ma estremamente interessante, come dimostrano anche i commenti sotto il filmato.

Prisma è la neonata rivista di matematica dell’Università Bocconi (è alla sua quarta uscita) ed è nata con l’intento, come dice Angelo Guerraggio, di «continuare la nostra attività di divulgatori della matematica aprendola però ad un pubblico ben più vasto di quello che frequenta e legge le riviste “accademiche”», per «parlare di matematica a chi matematico non è». Nell’intervista a Guerraggio si parla anche della «Lettera Matematica Pristem», che invece si rivolge a un pubblico più selezionato, di matematici, insegnanti e ricercatori. Guerraggio ne approfitta per fare una riflessione sull’andamento della divulgazione matematica, decisamente più vivace rispetto a trent’anni fa, visto che al giorno d’oggi «non ti sbattono subito la porta in faccia perché sei un matematico, si discute, si contratta».

Ricordo infine che torna anche quest’anno, dal 4 al 15 marzo, la gara online gratuita di Redooc aperta a tutti: studenti, docenti e famiglie. La partecipazione è gratuita: basta registrarsi alla gara andando sul proprio profilo nella sezione Marzo STEAM e PiGreco Day 2019. Il PiGreco Day si avvicina…

La natura usa la matematica con più fantasia dei matematici, perché riesce a creare una bellezza comprensibile a tutti, attraverso i frattali. E quando gli occhi restano conquistati da una simile bellezza, è impossibile non ricordare le parole di Galileo Galilei nel Saggiatore: «L’universo è scritto nel linguaggio della matematica e i suoi personaggi sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche». Forse mi affascina così tanto la matematica in natura, perché è nascosta agli occhi dei più e si rivela solo a chi la sa vedere…

Buona matematica! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

Verifica di fisica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: elettromagnetismo. 

Durata: due ore.