Daniela Molinari

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Domenica, 21 Gennaio 2024 18:29

Fate il nostro gioco

«Fate il nostro gioco» è stato pubblicato a marzo 2016 dalla ADD Editore e nello stesso anno ha vinto il Premio Vincenzo Dona, istituito dall’Unione Nazionale Consumatori. Gli autori, Paolo Canova, matematico, e Diego Rizzuto, fisico, hanno fondato nel 2012, insieme a Sara Zaccone, una società di consulenza, formazione e comunicazione scientifica, Taxi 1729, che ha come motto: «Pensiamo da scienziat*, comunichiamo da creativ*, ci divertiamo da matt*». Nell’introduzione, Diego e Paolo raccontano che, prima di essere pubblicato, il libro è stato una conferenza-spettacolo, una mostra, un laboratorio e un corso di formazione, scaturito da «una piccola e semplice intuizione», durante la partecipazione, nel 2009, al Festival della Scienza di Genova. Il testo è stato scritto in collaborazione con Gabriele Gambassini, copywriter, che ha fatto una sintesi delle loro «interminabili lezioni alla lavagna».

«Fate il nostro gioco» offre una trattazione completa di tutte le tipologie di giochi d’azzardo: dal SuperEnalotto al Lotto, fino alle lotterie istantanee e ai Gratta e Vinci, ma non mancano nemmeno i giochi da casinò come il Blackjack, la roulette e le slot machine, ormai presenti anche nei bar di periferia. Fin da subito viene introdotto un nuovo vocabolario per combattere la comunicazione ambigua e ingannevole del gioco d’azzardo: laddove si parla di vincita, Diego e Paolo parlano di bilancio (che spesso si rivela nullo o negativo), ovvero della differenza tra incasso e spesa. Il grafico cartesiano, con il bilancio in ordinata e la spesa in ascissa, contribuisce a convincerci che «se perdere è matematico, vincere giocando è impossibile. O almeno lo è sulla lunga distanza». Eppure, un modo per vincere, a volte, c’è: «In sostanza l'unico modo per vincere sembra essere quello di non seguire la dinamica del gioco, ma individuare uno spiraglio nel sistema e buttarcisi dentro in modo ingegnoso», come nel caso di Cash Winfall, dove, per renderlo più appetibile, lo si rendeva anche conveniente per il giocatore, o come per il Tic Tac Toe, dove per sfruttare al massimo le quasi vincite si era arrivati a renderlo prevedibile. Come viene ribadito a più riprese nel testo, «Chi ha mente, ingegno e perseveranza per trovare il modo di battere il banco, alla fine esce dai casinò e usa il proprio talento per qualcosa di molto, molto più redditizio», come successo al matematico Edward Thorp, autore di Beat the Dealer, il testo che svela la matematica del Blackjack.

In Italia, il gioco con la storia più lunga è il Lotto: ha per protagonisti i numeri e la fortuna, perciò non ci sono strategie, nonostante la “smorfia” napoletana e il mito dei numeri ritardatari siano presentati anche sul sito ufficiale. D’altra parte, lo Stato è promotore dei giochi, come dimostrato dalla relazione del Ministro delle Finanze Vincenzo Visco del 1997: in essa, troviamo le strategie che rendono i giochi pericolosi, spingendo i giocatori alla dipendenza, quelle strategie che, per Diego e Paolo, dovrebbero essere limitate per legge. Questi meccanismi sono sfruttati anche con le slot machine, così diffuse in Italia da essere «quasi il triplo di quelle di tutto il Nevada, Las Vegas compresa»: viene promessa la restituzione dell’85% del giocato, ma di fatto, nel lungo periodo, il giocatore è destinato a perdere la totalità di ciò che ha giocato.

Negli anni sono stati avviati numerosi studi scientifici per sondare i meccanismi psicologici che hanno portato il gioco d’azzardo al successo, e la conclusione del percorso, con la “matematica della decisione”, è un ulteriore passo per spiegarceli. Gli autori propongono al lettore tre piccoli test che mettono in evidenza proprio il ragionamento del giocatore, lo stesso che spesso guida le nostre scelte di vita. Diego e Paolo, dopo averci descritto il gioco d’azzardo, spiegato il calcolo della probabilità, dimostrato che «perdere è matematico», si inoltrano nell’ambito dei bias cognitivi, in un crescendo di complessità.

Scorrendo le pagine, ci imbattiamo, da un lato, in numerosi aneddoti che ci fanno ridere, stupire e meravigliare, perché «la scienza è una cosa seria, e proprio per questo merita di essere raccontata con spirito leggero»; dall’altro, troviamo spiegazioni che, con l’aiuto di grafici e disegni, sono estremamente chiare. Le note sono state raccolte tutte alla fine del percorso e propongono ulteriori approfondimenti attraverso indicazioni bibliografiche, curiosità e spiegazioni più dettagliate. La curiosità resta la chiave del percorso e viene stimolata a partire dalle convinzioni e dai luoghi comuni di cui tutti siamo vittime. Fin da subito, Diego e Paolo dichiarano di non aver voluto introdurre nella descrizione dei giochi molti dettagli, utili solo al fine di un gioco attivo: il libro è stato pensato per far conoscere la matematica che «potrebbe dare il suo contributo per prevenire la patologia da gioco d’azzardo».

«Fate il nostro gioco» è una lettura necessaria per tutti, per rendersi conto di come la matematica abbia un ruolo fondamentale nelle nostre scelte e, al tempo steso, per contribuire a scardinare il sistema del gioco d’azzardo.

Venerdì, 12 Gennaio 2024 09:15

Saltando da un pensiero all'altro

2 gennaio 2024: dopo essere stato fermo un turno a dicembre, il gruppo del Carnevale della Matematica viene richiamato all’ordine. Flavio Ubaldini invita i partecipanti a produrre i propri contributi, offrendo come tema la matematica bisestile.

Mumble mumble…

A me viene in mente solo “anno bisesto, anno funesto”, ma sulla stessa linea trovo “anno bisesto che passi presto”, “anno bisestile chi piange e chi stride”, ma credo che, pur parlando di matematica, Flavio non avesse in mente le lacrime quando ha proposto il tema.

Mumble mumble…

Che significa matematica bisestile? Secondo il dizionario Treccani bisestile deriva dal latino bisextus, che significa “due volte sesto”, «secondo l’uso romano di contare due volte, negli anni bisestili, il 6° giorno prima delle calende di marzo (giorno bisesto), cioè il 24 febbraio». Ma quindi devo parlare di una matematica che si ripete? Se digito “matematica che si ripete” in Google, trovo: frattali, «figura geometrica che si ripete all’infinito uguale a sé stessa, su scala sempre più piccola». Sì, i frattali sono nel mio cuore da quando con la mia scuola abbiamo partecipato all’edizione del 2018 di BergamoScienza, ma… non credo sia questa la matematica bisestile.

Mumble mumble…

Digito “matematica bisestile” in Google e mi ritrovo con una serie di link per aiutarmi a capire cos’è un anno bisestile, ma non molto in merito alla matematica. Forse se cercassi in inglese… Ma come si dice “anno bisestile” in inglese? Leap year. Ma cosa significa leap? Salto! In realtà, cercando “leap year in math” trovo un paio di link interessanti: il primo è il blog Slate (che significa lavagna) dell’astronomo, divulgatore scientifico e blogger Philip Plait, Leap days explained!, e il secondo è una spiegazione matematica del sito della NASA, Leap day math. L’immagine scelta da Phil Plait in apertura di articolo è quella di una simpatica capra che salta, mentre il link della NASA porta a un breve pdf schematico ed esaustivo. Potrebbe essere sufficiente, ma…

Mumble mumble…

9 gennaio 2024: faccio un salto in libreria. Aggirarsi tra gli scaffali è, per me, rilassante e fonte di ispirazione, anche se, purtroppo o per fortuna, trovo sempre qualcosa da comprare. Non abito in una grande città e le librerie della zona sono abbastanza piccole e poco fornite per quando riguarda la parte matematico-scientifica. Se voglio avere qualche possibilità di successo, devo esplorare gli scaffali dedicati ai bambini: per i più piccoli, si trova parecchio in termine di divulgazione scientifica. Sembra che gli adulti abbiano sempre molto da spiegare ai bambini, forse perché sono ancora alla scoperta del mondo, forse perché questi sono più curiosi rispetto agli adulti. Con la scusa di regalarli ai nipoti, ho comprato un paio di testi che mi hanno ispirato. Il primo è L’atlante del tempo, di Tommaso Maiorelli, con le illustrazioni di Carla Manea: «il tempo è un’acqua profonda e misteriosa, e la Storia è lo scorrere impetuoso di quest’acqua. E allora la Storia è un fiume, con tutto quello che ci sta dentro» e gli uomini nuotano e navigano su questo fiume. In uno dei primi capitoli scopriamo che la linea del tempo non è sempre stata una linea e, mostrandoci «La linea del tempo del tempo», Maiorelli ci illustra la GEOMETRIA del tempo! Per i Babilonesi, il tempo era un ciclo senza fine, un CERCHIO, quindi, per il buddhismo, il tempo affronta «infiniti cicli eterni», per la tradizione greca e quella romana il tempo è come «una SFERA che abbraccia tutto». Maya e Aztechi elaborarono un calendario complicato, ma sostanzialmente «composto da moltissimi cicli e sotto cicli». D’altra parte, ciò che osserviamo attorno a noi ci rimanda all’idea del ciclo: «Primavera, estate, autunno, inverno e poi ancora primavera… Gli alberi nascono dai semi, crescono e prima di morire danno frutti che a loro volta daranno altri semi». È il cristianesimo a spezzare il cerchio e a cominciare a pensare al tempo come a una LINEA, una linea con un verso di percorrenza preferenziale, secondo quanto confermato dalla termodinamica. Eppure, i grandi filosofi non ci fanno mancare, nel corso dei secoli, ulteriori immagini geometriche: per Henry Bergson, «Il tempo vissuto […] è una “PALLA di neve” che ruzzolando si ingigantisce sempre di più», mentre per Hegel «la Storia avanza e si sviluppa progressivamente e il tempo “cresce” all’infinito su sé stesso, come in un vorticoso movimento a SPIRALE».
Non è solo la rappresentazione del tempo ad essere geometrica, perché anche per misurare il tempo l’uomo cerca il supporto della matematica: CERCHI di pietre celebri come quello di Stonehenge in Inghilterra non sono altro che «pesanti calendari di pietra», mentre le prime clessidre ad acqua, inventate dagli Egizi, sono costruite con vasi CONICI con un piccolo foro alla base.
La misura del tempo si affina con il tempo (!) e le unità di misura si evolvono con essa, come riportato ampiamente nel libro Quanti? Tanti! di Sandra Lucente, che esplora la matematica, la fisica, l’archeologia, la letteratura, … tutto ciò che ruota attorno alla misura e agli ordini di grandezza.
Le misure del mondo di Andrea Minoglio con le illustrazioni di Bethany Lord è il secondo acquisto: in questo libro, che permette di esercitare anche l’arte della stima, fornendo il confronto tra elementi naturali e costruzioni, ci parla del tempo usando le PROPORZIONI, visto che ci imbattiamo nella storia della Terra in 12 ore. Il riferimento al calendario cosmico ideato dall’astronomo e divulgatore statunitense Carl Sagan è evidente: «il calendario è formato da un unico anno terrestre, ma in questo arco temporale viene compressa la cronologia dell’intero universo». Se volete risparmiare tempo (!), un breve short di Erik Viotti, (conosciuto sui social come il Prof di Montagna) che usa il calendario cosmico per fare i suoi auguri a inizio anno, vi dirà tutto ciò che serve. Siccome per i più piccoli anche un anno è difficile da visualizzare (il senso del tempo cambia crescendo, dilatandosi con l’età), un intervallo di 12 ore, dalle 8:00 alle 20:00, rende meglio l’idea: la vita ha origine solo alle 9:25, ma esplode alle 18:34, i continenti si formano alle 19:31 e solo alle 19:50 si diffondono i mammiferi, e mentre i primi arnesi in pietra fanno la loro comparsa alle 19:59:27 (anche i secondi cominciano ad avere importanza!), l’uomo moderno arriva due secondi prima delle 20:00. Una linea del tempo a misura di bambino!

Il tempo corre, la scadenza incombe e la mia mente è popolata di immagini, il mio quaderno contiene solo alcuni appunti pasticciati, ma ancora non c’è il percorso che dovrebbe essere oggetto di questo articolo per il Carnevale della Matematica!

Mumble mumble…

11 gennaio 2024, ore 22:30: una lunga giornata densa di avvenimenti volge al termine, la casa è avvolta nel silenzio, la scadenza per la consegna del link è a solo una manciata di ore da me (e vorrei anche dormire un po’ nel frattempo!).
Secondo quanto riportato da Annalisa Santi in Matetango, il calendario gregoriano (attualmente in uso) entrò in vigore con la bolla pontificia di Papa Gregorio XIII Inter Gravissimas, che cancellò di fatto 10 giorni dal calendario, dal 5 al 14 ottobre 1582: da giovedì 4 ottobre, si saltò direttamente a venerdì 15 ottobre. «L'idea iniziale era di saltare i primi dieci giorni di ottobre, a cui però i francescani si opposero per poter ricordare il 400° anniversario di San Francesco, nato nel 1182. Infatti, della nascita non si conosceva il giorno preciso e si ritenne di festeggiarla nella data liturgica del 4 ottobre, giorno successivo alla morte del 3 ottobre 1226.» Presente fin dall’inizio tra i mumble mumble che hanno caratterizzato le mie riflessioni sulla matematica bisestile, c’è il libro di Abner Shimony, pubblicato nel 2000, Tibaldo e il buco nel calendario. Tibaldo Bondi è il protagonista della vicenda e, all’epoca della bolla papale, ha quasi 12 anni: per la precisione, dovrebbe compiere gli anni il 10 ottobre del 1582, uno dei giorni cancellati dalla riforma gregoriana. Per i bambini i compleanni sono una tappa importante ed è per questo motivo che Tibaldo si accanisce a cercare una soluzione. Sullo sfondo la Bologna rinascimentale, le convinzioni medico-astrologiche dell’epoca e le consuetudini in ambito ostetrico, evidenti quando il protagonista accompagna la sorella Anna Maria nell’esercizio della sua professione. Alla fine, Tibaldo troverà una soluzione, come è giusto: perché la festività di San Francesco non può essere spostata, ma il compleanno di un dodicenne può essere cancellato?

Sto divagando…

Mumble mumble…

Riprendo in mano il post di Phil Plait e lo leggo con attenzione, poi un’ultima ricerca su Google: “Numberphile leap year”, perché non è possibile che il celebre canale non abbia fatto un video dedicato. E infatti eccolo! Un video pubblicato il 28 febbraio 2012, avente per protagonista l’astronoma Meghan Gray, che parla di questo anno bisestile come di un aggiustamento. Sembra di percorrere con lei la strada della scienza, un passo avanti e uno indietro, come in una danza alla ricerca della soluzione corretta. Il nostro percorso attorno al Sole si compie in 365 giorni e… briciole! Quantifichiamo queste briciole: sono 5 ore, 48 minuti e 46 secondi, quasi 6 ore, quasi un quarto di giorno. Anche le briciole, se sono corpose, possono avere una loro sostanza (lasciatevelo dire da chi è perennemente a dieta!) e sommando quattro di questi resti otteniamo quasi un giorno intero, per la precisione 23 ore, 15 minuti e 4 secondi. Mancano ancora 44 minuti e 56 secondi per fare un giorno intero, ma questo non impedisce di aggiungere un giorno intero ogni 4 anni: il 29 febbraio! Secondo il principio per cui anche le briciole contano, se moltiplichiamo questi 44 minuti e 56 secondi per 100 (tanti sarebbero i 29 febbraio nell’arco di 400 anni), otteniamo 3.12 giorni, abbastanza per scegliere di cancellare 3 anni bisestili e così gli anni che terminano con 00 non sono bisestili, se non nel caso in cui siano divisibili per 16, come riportato dettagliatamente nella spiegazione del sito della NASA, Leap day math.

12 gennaio 2024: questo flusso di coscienza sugli anni bisestili, con qualche spruzzata di matematica qui e là, sta giungendo al termine. Non so se ho rispettato le consegne o se sono andata fuori tema, ma secondo quando riportato in Matematti, il sito di appoggio per il Carnevale della Matematica, il tema «non viene necessariamente seguito dai partecipanti». Avendo aperto con un proverbio, concludo con un modo di dire bergamasco (anche se io l’ho sentito per la prima volta da mio suocero, bresciano), giusto per chiudere il CERCHIO: «Ol tép l’è töt tecàt», che letteralmente si traduce con “il tempo è tutto unito”, ovvero «I giorni si susseguono l’uno all’altro senza soluzione di continuità».

Per me è ancora un mistero: cosa significa realmente? Certi modi di dire sono più difficili della matematica!

Domenica, 07 Gennaio 2024 15:29

216 - 7 gennaio 2024

Numeri e ordini di grandezza
Dopo essersi dedicata agli Itinerari matematici in Puglia e in Basilicata e aver collaborato alla stesura di Mezzogiorno di Scienza, con Quanti? Tanti! Sandra Lucente ci parla dell’idea che guida il suo percorso da divulgatrice: «la riconquista di un sapere unico, il superamento degli ambiti disciplinari nella formazione di uno studioso». È un libro che mette al centro le domande, come evidenziato dal sottotitolo «Le potenze di dieci e la potenza delle domande»: partendo dal dialogo tra T&Q che apre ogni capitolo, indaga gli ordini di grandezza, che non sempre siamo in grado di gestire e che spesso creano confusione (se consideriamo i social un indicatore affidabile in tal senso), muovendosi con leggerezza tra numeri grandissimi o piccolissimi anche grazie alle illustrazioni di Fabio Magnasciutti (l’immagine allegata a questa newsletter è sua!). Ogni capitolo si realizza, poi, con un personaggio (36 capitoli per 37 personaggi) che scrive una lettera per rispondere alla questione posta da T&Q: Sandra riesce a immedesimarsi in ognuno di loro, grazie a un grandissimo lavoro di approfondimento: «Ho contato circa 200 tra libri, podcast, video, film usati per scrivere le lettere» dichiara nella bellissima intervista che Davide Passaro le ha fatto per il blog Math is in the Air. Sandra Lucente, in questo momento, sta “visitando” i luoghi matematici più noti in una sorta di tournée e quindi la ritroviamo raccontata su MaddMaths! da Roberto Natalini, che ne parla con l’originalità e la leggerezza che lo contraddistinguono, e nella puntata di giovedì di Radio3 Scienza, condotta da Roberta Fulci, che coinvolge gli ascoltatori in una sfida, invitandoli a individuare a cosa corrisponda lo zepto (e piovono risposte davvero bellissime!). Sandra Lucente e Fabio Magnasciutti ci intrattengono per mezz’ora, parlandoci di numeri grandi e piccoli e della difficoltà di gestire gli zeri o il linguaggio al riguardo. Alla domanda di Roberta Fulci di raccontare una delle sue vignette, Fabio Magnasciutti si trova a corto di parole e non possiamo che restarne stupiti: una persona come lui, capace di esprimersi per immagini, e di essere, pur usando pochissime parole, molto eloquente, si trova a corto di parole, forse perché il suo linguaggio sono proprio le immagini. Nel corso dell’intervista, sentiremo parlare del cento e dell’archeologo Howard Carter protagonista del capitolo, di Mary Somerville, prima scienziata, del megistone con Mandelbrot e James Joyce, e questa rassegna mostra come la matematica non sia l’unica protagonista di questo libro.

Ancora ordini di grandezza
Federico Benuzzi ha avviato una serie di video sui problemi di stima, con i quali proporrà delle «domande a cui si deve rispondere ipotizzando di non avere informazioni particolari sul tema», cercando di far leva sul ragionamento. Non si tratta di individuare la risposta giusta, ma l’ordine di grandezza. Il problema della stima nasce dal fatto che la mente umana fatica a gestire numeri grandi e poi alcuni numeri ci spiazzano perché non abbiamo abbastanza informazioni, quindi capita che «personaggi non troppo corretti si vadano a insinuare in queste nostre debolezze». Questa serie ci dà gli strumenti per imparare a gestire le stime, aiutandosi con il testo della Zanichelli Più o meno quanto? (ecco un altro libro da aggiungere alla lista di libri da leggere nel 2024) Per ora sono stati pubblicati due video e io ho appena finito di calcolare quanto tempo ci vorrebbe a riempire la cupola di S. Pietro di acqua, usando il rubinetto della cucina. L’utilità delle stime è mostrata anche dall’ultimo articolo di Federico Benuzzi pubblicato sul blog e riguardante il cambiamento climatico e l’importanza degli oceani. 

Ancora numeri: algebrici, trascendenti… reali
Paolo Alessandrini ha chiuso il 2023 con un video davvero interessante, parlando di una famiglia di numeri molto speciale, quella dei numeri trascendenti. Il percorso si svolge in modo originale, parlando di due fabbriche con macchine che producono numeri, la Polynomial equations incorporated e la Ruler and Compass Constructions, e confrontando le loro produzioni. Nel campo dei numeri reali, la fabbrica che usa le equazioni è più produttiva rispetto a quella che usa riga e compasso, ma nessuna delle due è in grado di produrre i numeri trascendenti, individuati nel 1844 dal matematico francese Joseph Liouville. Tra di essi, oltre alla costante di Liouville, ci sono dei celebri irrazionali, come il numero di Nepero e e pi greco, ma questi numeri sono davvero sfuggenti: sono difficili da costruire ed è difficile dimostrare che lo sono, nonostante quasi tutti i numeri irrazionali siano trascendenti. 

Topologia… per l’ultima (?) volta
Rischia di diventare per me una tradizione l’abitudine di approfittare delle vacanze di Natale per riordinare il lavoro fatto con l’ultima edizione di BergamoScienza: mentre già comincia a prendere corpo l’argomento che sarà protagonista dell’edizione 2024, ho finito di sistemare tutte le carte accumulate e di scrivere la scaletta dei due laboratori. Ho già parlato della conferenza spettacolo che abbiamo realizzato insieme ai ragazzi, e ora ho allegato le schede dei due laboratori in fondo alla pagina. Il primo laboratorio durava 90 minuti e si è svolto presso l’Accademia Tadini: dopo mezz’ora in biblioteca dedicata alla mostra, che era una versione più concisa della conferenza, c’era un’ora di attività durante la quale i partecipanti dovevano giocare con i labirinti, individuando quelli risolvibili, e si chiudeva l’attività con le curve chiuse di Jordan. Il secondo laboratorio, della durata di 60 minuti, è stato un laboratorio di informatica: partendo da una situazione che poteva essere realistica, i partecipanti hanno schematizzato i vari percorsi ricorrendo ai grafi e studiando in quali casi sono risolvibili. La chiusura del laboratorio era con i celebri ponti di Konigsberg

Saluti al 2023
La chiusura di un anno solare porta con sé, quasi inevitabilmente, la necessità di fare dei bilanci (ne ho fatto uno anch’io pubblicando sui social l’elenco dei libri recensiti sul sito). Giorgio Sestili propone sul suo blog una lista dei migliori libri di scienza del 2023: si tratta di libri segnalati da giornalisti, divulgatori scientifici, ricercatori e scienziati. Tra di essi ho trovato alcuni libri che ho già inserito nella lista delle letture future: Manhattan project, un testo teatrale di Stefano Massino, Fiori in Famiglia di Elena Accati, per la collana Donne nella Scienza di Editoriale Scienza, sulla figura di Eva Mameli Calvino, e Siamo tutti galileiani di Massimo Bucciantini: un percorso tra letteratura e scienza, per sottolineare «come non ci sia – o, purtroppo ancora, non ci dovrebbe essere – una separazione tra il mondo umanistico e quello scientifico». Ovviamente, tra i libri proposti c’è anche (l’onnipresente!) Quanti? Tanti! di Sandra Lucente.
Anche il sito MaddMaths! ha pubblicato un post per analizzare le proprie interazioni nel 2023 e, trattandosi di un sito di matematica, non poteva che proporre alcune statistiche. Ma c’è anche un elenco di post particolarmente apprezzati dagli utenti che, magari, potreste esservi persi, come è capitato a me, con il librino di Gulsin Celik, una studentessa dell’Università di Perugia, che ha raccolto i fumetti a tema matematico. Ho individuato, così, un paio di link che mi torneranno utili per le immagini delle prossime newsletter e il libro Ultima lezione a Gottinga di Davide Osenda, purtroppo difficilmente reperibile per l’acquisto, ma rintracciabile in biblioteca (se siete fortunati!).
Fra i vari resoconti del 2023, il più originale è sicuramente quello proposto dal Post, che all’inizio di ogni anno pubblica i migliori refusi dell’anno appena passato: è l’unica testata a non nascondere i propri errori, ma ad evidenziarli ironicamente. 

Benvenuto 2024
Per concludere la prima newsletter del 2024, non posso che condividere gli auguri che ho ricevuto nei giorni scorsi: comincerei da video di The Dream bolders, che presenta il 2024 come un numero tetraedrico. Con lo stesso stile sono arrivati anche gli auguri di Sofia Sabatti, che ne approfitta per lanciare una sfida: «Quanti numeri triangolari bisogna sommare per ottenere 2024?» Il blog Math1089 Mathematics for all presenta talmente tante combinazioni di operazioni e numeri per ottenere 2024 da riuscire a far girare la testa, ma la mia preferita resta quella proposta dal prof. Alberto Saracco sulla differenza di quadrati, che ci ricorda che 2024 è a un passo dal quadrato di 45. Auguri che invitano alla riflessione sono quelli di Erik Viotti, il prof. di montagna, che ci parla del calendario cosmico di Carl Sagan, astronomo e divulgatore scientifico, e fa una proporzione fra la lunghezza di vita del nostro universo e l’anno solare, per farci tornare con i piedi per terra. 

Una chiusura che è un’apertura al futuro
Mi pare importante condividere questa lezione Ted-Ed su come riuscire a motivarsi anche quando tutto sembra faticoso: «Gli psicologi definiscono la motivazione come il desiderio o la spinta a iniziare e mantenere un particolare comportamento». Riconoscendo che esistono due tipi di motivazioni, una interna e una esterna, ma che non sempre è facile anche se si è appassionati e coinvolti, il video fornisce alcuni suggerimenti, come regalarsi delle piccole ricompense per ripagarsi una volta raggiunto un obiettivo.
A tal proposito, mi piace concludere con una citazione dalla lettera di Elena Cattaneo e Liliana Segre ai giovani: «Si è persa così la consapevolezza che la vita non sia fatta solo di risultati da ottenere e di traguardi da tagliare, ma anche del percorso, della fatica oltre che del tempo necessario per arrivarci, che non è un intermezzo, ma va vissuto pienamente, come parte integrante (e anzi prevalente) dell’esistenza di chiunque.» 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

Mercoledì, 03 Gennaio 2024 17:32

19 dicembre 2023

Verifica di fisica, classe terza liceo scientifico.
Argomento: cinematica e dinamica rotazionale

Durata: 110 minuti

Venerdì, 29 Dicembre 2023 12:44

Quanti? Tanti!

«Quanti? Tanti! Le potenze di dieci e la potenza delle domande» è stato pubblicato da Edizioni Dedalo, nella collana Scienza Facile, a novembre 2023. L’autrice, Sandra Lucente, è docente di Analisi matematica e di Comunicazione della scienza presso l’Università di Bari, fa parte del Comitato Scientifico del Museo della Matematica di Bari e dal 2007 si occupa di divulgazione, scrivendo articoli, tenendo conferenze e gestendo laboratori. Il libro è arricchito dalle illustrazioni di Fabio Magnasciutti, illustratore e vignettista, che ha vinto nel 2015 il premio come Miglior Vignettista presso il Museo della Satira di Forte dei Marmi, insegna Illustrazione editoriale presso lo IED di Roma e ha curato sigle e animazioni di alcuni programmi tv.

Il testo è costituito da 36 capitoli con la stessa struttura: l’apertura è con «Due immaginari curiosi, T&Q, acronimo di Tanti&Quanti, [che] si sfidano con domande un po’ “nerd”». Il dialogo, con precedenti illustri, è un po’ la cifra narrativa di Sandra Lucente, tanto che persino la bibliografia è presentata «in chiave dialogica». I due piccoli (?) protagonisti si fanno le domande “potenti” di cui parla il titolo, perché, come ribadito più volte: «le domande in matematica sono più importanti delle risposte». Al breve dialogo iniziale può far seguito una delle vignette di Magnasciutti, ma la parte centrale del capitolo è la lettera del personaggio famoso (non necessariamente un matematico) che risponde a T&Q. Con queste lettere, Sandra Lucente coglie l’essenza di ogni protagonista, calandosi in ogni epoca, con salti avanti e indietro nel tempo, ma usando un linguaggio attuale.
Il lettore, durante questo percorso, è invitato ad esercitare la pazienza, perché, come l’autrice fa scrivere a Ramanujan, «la matematica si conquista con carta penna e impegno»; bisogna inoltre superare le vertigini che si possono provare di fronte alle numerose informazioni presenti, e alla complessità necessaria per soddisfare le curiosità di T&Q. Se persevererà nel suo percorso, il lettore vincerà «il piacere della curiosità talvolta soddisfatta, talvolta stimolata [e] la partecipazione corale alla sfida del mondo complesso», ma queste “fatiche” saranno bilanciate dal senso di meraviglia e dai sorrisi che, qua e là, sono disseminati lungo il percorso.

Il cammino comincia con l’insieme vuoto, e procede con l’infinitesimo, risalendo poi le potenze di 10 da 10-30 fino a 1030, per poi concludere il percorso con il googol, il numero di Shannon, il megistone, il numero di Graham, cioè «il numero più grande che ha un significato per l’uomo», il numerabile e il continuo. È vero che «ogni capitolo si può leggere senza relazione con i precedenti», ma c’è un’unità di fondo, ben rappresentata dai tre diversi indici, che ci aiutano ad avere chiaro il percorso: il primo indice, «I numeri di questo libro», ci mostra le potenze di 10, con nome, prefisso e simbolo; il secondo indice, «I protagonisti di questo libro», in corrispondenza dei numeri mostra gli autori delle lettere, con l’anno di nascita e quello di morte; il terzo indice, quello classico alla chiusura del testo, ci mostra la potenza, il titolo e il sottotitolo del capitolo, nel quale ritroviamo il nome del mittente.
L’apertura di 60 ordini di grandezza ci mostra come nel tempo il nostro cervello abbia ampliato i limiti della propria conoscenza, estendendo il proprio universo, attraverso un maggior numero di unità di misura: da un lato, infatti, ci viene presentata la storia del Sistema Internazionale, con nuove grandezze e nuovi prefissi, ma, mostrandoci i numeri che costruiscono la realtà, ci ricorda che «occorre manipolarli correttamente per agire su di essa». L’obiettivo principale è forse «la riconquista di un sapere unico, il superamento degli ambiti disciplinari», perché la nostra realtà è sempre più pervasa di multidisciplinarietà e non si può restare chiusi nella propria bolla. Per questo motivo, i mittenti delle lettere non sono solo matematici: gli ordini di grandezza non hanno a che fare solamente con la fisica, non sono dominio numerico esclusivo della matematica, ma hanno a che fare con l’informatica e l’ingegneria, con l’economia e con l’archeologia. Ognuno di noi ha bisogno di possedere questi ordini di grandezza per poter comprendere la realtà.

Il percorso si apre con un filosofo, Bertrand Russell, e le sue scelte di libertà, si procede poi con gli infinitesimi di Isaac Newton (e il suo tono petulante è stato reso benissimo!) e con la bellezza della simmetria di Emmy Noether. Niels Bohr con la meccanica quantistica cede il passo all’originalità di Richard Feynman, mentre Mary Somerville, con le proporzioni, porta in primo piano l’amore per il pianeta. Nel prosieguo non può mancare Albert Einstein, che ci parla del Nobel per la fisica del 2023, a cui fanno seguito Maxwell con l’elettromagnetismo, Pascal con la probabilità, Marie e Pierre Curie con la radioattività, e Leonardo Sinisgalli, ingegnere autore di un cortometraggio. Nepero lega i logaritmi all’acidità, mentre Sofia Kovalevskaja ci offre le percentuali per capire la realtà, Poincaré sottolinea l’importanza dell’intuizione, laddove Pitagora e Fibonacci ci riportano alle origini, dall’incommensurabilità allo zero. L’archeologo Howard Carter apre la strada al secolo dei misteri, mentre Enrico Fermi mostra la ricchezza delle stime; il tuffo nel passato ci permette di incontrare Archimede, che parte da cose piccolissime per misurare l’universo, Ipazia mostra il potere dei libri e Li Ye ci porta al Milione di Marco Polo e alle Città invisibili di Calvino. Rita Levi-Montalcini ci apre alla ricchezza della mente, mentre Leibniz cerca un linguaggio universale nelle sequenze di zeri e uno; Paul Erdos apre al calcolo combinatorio con le disposizioni e con le poesie di Queneau, e Sophie Germain ci regala la controfigura della matematica; Alexander von Humboldt, naturalista e divulgatore, parla di insetti, mentre Ramanujan ci mostra le frazioni continue e le serie. Mendeleev gioca con le parole e crea la tavola periodica, e Hedy Lamarr ci ricorda di non lasciarci ingannare dai pregiudizi. Neil Armstrong mostra la potenza del lavoro di squadra e al-Khwarizmi non può che convincerci della necessità degli algoritmi per internet; Alan Turing parla del problema della decisione e dell’Intelligenza Artificiale, mentre Mandelbrot ci descrive la bellezza dei frattali. Frank Ramsey, con la sua breve vita, lascia un segno indelebile nella matematica e, mentre Galileo Galilei si perde nell’infinito, confrontando il tutto e la sua parte, Georg Cantor ci permette di orientarci tra gli infiniti, anche se non chiude realmente il percorso: non tutto in matematica è decidibile.

«All’inizio era un libro sui numeri grandi, poi è diventato un libro sui grandi della scienza» dichiara Sandra Lucente in apertura, mentre ci ricorda che il nostro cervello ha i limiti che sceglie di avere e, ogni volta che «diciamo “non mi piace la matematica” oppure “non mi piace la fisica” ci poniamo un limite e questo va contro il fatto di essere parte della specie che concepisce l’infinito». Sandra Lucente invita il lettore a mantenere la mente aperta e, attraverso le curiosità e le informazioni disseminate nel libro, studiato e curato in ogni particolare, aiuta il lettore ad amare la matematica e la fisica, offrendo spunti di approfondimento e facendo leva sull’umorismo delle vignette, che lasciano un’impronta indelebile nella nostra memoria.

Giovedì, 21 Dicembre 2023 21:39

20 dicembre 2023

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: operazioni con i radicali

Durata: 120 minuti

Martedì, 19 Dicembre 2023 09:53

16 dicembre 2023

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: cinematica unidimensionale

Durata: 50 minuti

Domenica, 17 Dicembre 2023 22:58

215 - 17 dicembre 2023

Matematica al Congresso FIM
Dicembre si è aperto all’insegna della matematica, per quanto mi riguarda, visto che nella cornice di Bergamo Alta ho partecipato al congresso della Federazione Italiana Mathesis, Storie e narrazioni per la formazione e la didattica. Durante i primi tre giorni, si è parlato parecchio di Italo Calvino, presentato da Gabriele Lolli come un aiuto per capire la matematica, da Pierpaolo Antonello, docente di letteratura, che ha parlato del celebre “Ti con zero”, da Gian Italo Bischi, che ha avuto modo di esplorare il rapporto tra le due culture (ritroviamo parecchio nel suo libro Calvino e la limpidezza della complessità. Tra Palomar e Parisi), da Carlo Toffalori che ha parlato delle Città invisibili esplorando le città matematiche, da Sandra Lucente che ha offerto delle idee per una settima lezione, in aggiunta alle celebri e incompiute “Lezioni americane”, e infine da Massimo Squillante, che ha concluso la rassegna. Come indicato dal titolo del Congresso, si è parlato molto della dimensione narrativa della matematica: Ciro Ciliberto ha dato avvio ai lavori parlando dello sviluppo del pensiero proiettivo, facendo un percorso storico e offrendo alcuni spunti di riflessione, mentre Rosetta Zan, con la grinta che la contraddistingue, ha parlato della dimensione narrativa dei problemi scolastici, e Giovannina Albano ha presentato un’applicazione svolta in una scuola. Tra i vari interventi, estremamente stimolante è stato quello di Marco Lazzari, direttore del Dipartimento di Scienze umane e sociali dell’Università di Bergamo, che ha parlato di comunicazione della scienza, mentre Domingo Paola ha parlato di chatGPT, presentandolo come uno strumento per effettuare un approccio critico e consapevole alla matematica.
La seconda parte del Congresso si è svolta online, dal 13 al 15 dicembre: anche le relazioni di questa seconda parte hanno visto la “presenza” di Calvino, ma la narrazione è stata declinata in modo originale, attraverso gli origami o con lavori di narrazione matematica realizzati dai ragazzi, che sanno inventare situazioni davvero originali, che si adattano ai problemi che gli vengono proposti. Si è parlato anche di gender gap, non solo nei risultati delle prove Invalsi, ma anche nella storia, con le vicende di Mileva Maric e di Maria Gaetana Agnesi.
Tutte le conferenze del Congresso sono presenti sul canale YouTube della Mathesis di Bergamo.
Calvino, visto il centenario di quest’anno e vista la sua produzione matematica del secondo periodo, ha avuto un ruolo da protagonista durante questo Congresso, ma la dimensione narrativa chiesta agli interventi ha permesso di coinvolgere anche persone esterne all’ambiente matematico, come Pierpaolo Antonello, docente di letteratura, o Marco Lazzari, esperto di comunicazione. 

Matematica in podcast
Quest’ultima settimana è stata particolarmente ricca di spunti, se pensiamo anche solo a Pam, il podcast di matematica che è stato realizzato da Marco Menale, con il contributo dell’Indam, l’Istituto Nazionale di Alta Matematica “Francesco Severi”, pubblicato da MaddMaths! e ideato da Marco Menale e Salvatore Cuomo. L’obiettivo principale di questa serie è quello di far diventare la cultura matematica «parte integrante della formazione di ogni persona». Con le prime quattro puntate pubblicate questa settimana (altre tre sono in programma per la prossima), possiamo renderci conto di come il mondo professionale sia costellato di multidisciplinarietà e, quindi, come sia importante creare dei ponti di comunicazione fra linguaggi molto diversi tra loro, superando le diffidenze iniziali. Questa serie ci permette di capire come funzionano i modelli matematici, che, dapprima estremamente semplificati, si arricchiscono di particolari, per diventare sempre più complessi ed efficaci, oltre che estremamente versatili. Studiando questi modelli possiamo renderci conto di come la matematica ci aiuti a vivere meglio e a gestire alcune situazioni, arricchendo la visione che abbiamo delle cose. Durante la prima puntata, l’ospite è stata Paola Antonietti, professoressa di analisi numerica al Politecnico di Milano e responsabile del laboratorio di modellistica e calcolo scientifico MOX. Il sottotitolo «Matematica alla scoperta del cervello» ci rimanda al progetto Brainum, nato per capire il funzionamento di questo organo e per trattare alcune patologie degenerative. Il secondo episodio, «Conservare i beni culturali con la matematica», ha avuto come ospite Roberto Natalini, Direttore dell’Istituto per le Applicazioni del Calcolo “Mauro Picone” e coordinatore di MaddMaths!, che ha descritto il ruolo della matematica nella gestione delle opere d’arte. Il terzo episodio è stato dedicato ai detriti spaziali e alla ricerca in Italia e ha avuto come ospite Alessandra Celletti, professoressa di fisica matematica all’Università di Roma Tor Vergata, Vicepresidente dell’ANVUR e membro della Commissione “Women in Mathematics – EMS” e grazie ai suoi incarichi è riuscita a fare il punto della situazione della ricerca in Italia parlandone in generale ma concentrandosi anche sul ruolo delle donne. Il quarto episodio, «Matematici e api», ha avuto come ospite Giuseppe Saccomandi, professore di meccanica razionale all’Università degli Studi di Perugia. Ha fatto una lezione di filosofia in piena regola, partendo dal confronto tra l’evoluzione genetica e quella culturale, che ci permette di cambiare il nostro modo di guardare la natura e il mondo. In questa evoluzione, la matematica ha un ruolo da protagonista, influendo sul progresso scientifico. 

Matematica sotto l’albero
Il Math-Segnale è tornato con un video a fine novembre, giocando d’anticipo e proponendo alcuni regali matematici ai quali è possibile attingere, per chi fosse ancora alla ricerca di idee. Non si tratta solo di libri o magliette, ma di oggetti matematici, come un gioco da tavolo, un orologio da polso, un cubo, dei gessi, una bottiglia di Klein e tanto altro. Oggetti molto particolari che possono stimolare la curiosità o diventare originali soprammobili: se siete in ritardo per i vostri regali, attingete a questa lista, che non solo vanta una descrizione accurata di ogni oggetto, ma offre anche, in descrizione, i link per procedere all’acquisto.
Fra le proposte di Davide e Riccardo manca l’abbonamento a Nuova Lettera matematica, la rivista quadrimestrale che ripropone i temi e lo stile della storica rivista Lettera Matematica del Pristem, «che è stata per molti anni punto di riferimento per chi, partendo dal linguaggio e i metodi della matematica, desiderasse esplorare il mondo che le ruota attorno, le connessioni con altri campi del sapere e le applicazioni alla descrizione della realtà». Nel comitato di redazione troviamo Gian Italo Bischi (direttore), Ciro Ciliberto, Mauro Comoglio, Liliana Curcio, Roberto Lucchetti, Enrico Rogora, Emma Sallent Del Colombo. 

Matematica alla radio
Non potevo che portare avanti la mia riflessione sulla didattica della matematica con la puntata di Radio3 Scienza del 5 dicembre, intitolata L’ora di matematica e condotta da Roberta Fulci. Tutto ha inizio con la riforma Blanquer che, in Francia, ha reso la matematica non obbligatoria per gli ultimi anni delle scuole superiori tra il 2019 e il 2022. Questo ha portato ad un calo vertiginoso in questa materia, rendendo necessario farla diventare di nuovo obbligatoria. La riflessione è svolta da Silvia De Toffoli, filosofa della matematica, e da Pietro di Martino, professore di didattica della matematica all’Università di Pisa. I temi che vengono toccati sono gli stessi che sono stati affrontati durante il Congresso della Federazione Mathesis e cioè il linguaggio della matematica, i pregiudizi, il fatto che la valutazione in matematica venga vista come un giudizio sulla persona invece che sulle prestazioni e, infine, la consapevolezza che la scelta di rendere opzionale lo studio della matematica veicoli il messaggio che la matematica sia solo per alcuni, quelli “portati”. La riflessione di Pietro di Martino scava più in profondità: secondo molti la matematica è fondamentale perché insegna a ragionare… ma, insegna a ragionare? È spesso trasmessa come una serie di meccanismi, acquisiti da studenti che vengono addestrati: presentare la matematica come un ragionamento richiede coerenza da parte dell’insegnante, che deve aver compiuto una riflessione matura e consapevole sulla propria disciplina. 

Matematica da leggere
Qualche giorno fa ho pubblicato la recensione di La matematica della felicità di Rocco Dedda, meglio noto sui social come Un quarto d’ora col prof. Il testo è per tutti, ma si presta ad alcune riflessioni didattiche importanti: nella prima parte, Rocco Dedda offre alcuni spunti per collegamenti interdisciplinari, anche con argomenti apparentemente lontani dalla matematica; nella seconda parte, la riflessione è estremamente didattica e ruota attorno al bivio che può fare la differenza, portandoci verso la matematica della felicità o quella dell’infelicità; la terza parte è dedicata alla storia della matematica, strumento che può spingere i nostri studenti a imboccare la via giusta. Come ogni volta che pubblico una recensione nuova, ho condiviso il link sui social e al post ha risposto Annalisa Santi, autrice del blog Matetango, che ha proposto un suo articolo del 2015, nel quale parla di Odio e amore… una dicotomia matematica! Dopo aver descritto matofobia e matefilia, rispettivamente paura e amore per la matematica, dicendo che il verbo excrucior, preso dal celebre Odi et amo di Catullo, «rimanda con la sua pronuncia all’idea del dolore lacerante», mi ha ricordato il celebre anatema di Harry Potter. Annalisa Santi fa un’analisi di questi sentimenti contrastanti che la matematica suscita in chi deve studiarla, ma propone un esempio per ricordare che l’amore o l’odio per la disciplina non può essere semplicemente “colpa” dell’insegnante: «per amare o odiare la matematica devono entrare altre componenti».
Oltre al libro di Rocco Dedda, suggerirei di aggiungere alla lista dei regali anche il libro illustrato di Cheryl Bardoe e Barbara McClintock, Nothing stopped Sophie. Il libro è una breve biografia illustrata di Sophie Germain, disponibile solo in inglese, ma facilmente reperibile negli store online. Saggiamente illustrato, concede ai bambini di conoscere questa matematica attraverso acquerelli colorati estremamente significativi. 

Buona matematica! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela 

PS: L’immagine allegata accompagnava un articolo del Post di nove anni fa, Ma a cosa mi serve la matematica?

Domenica, 17 Dicembre 2023 20:41

Nothing Stopped Sophie

«Nothing stopped Sophie – La storia dell’irremovibile matematica Sophie Germain» è stato pubblicato nel 2018 dalla Little, Brown and Company. L’autrice è Cheryl Bardoe, autrice di un testo simile dedicato a Gregor Mendel, e l’illustratrice è Barbara McClintock, che ha al suo attivo oltre quaranta libri per bambini ed è stata premiata cinque volte dal New York Times. Purtroppo, il testo non è disponibile in lingua italiana, ma è facilmente reperibile nella versione originale.

Il libro narra «la vera storia della matematica Sophie Germain, che ha risolto ciò che era irrisolvibile, per realizzare il suo sogno», come viene riportato nella aletta anteriore. Nel testo, ritroviamo più volte il ritornello proposto nel titolo: «Nothing stopped Sophie», cioè «Niente ha fermato Sophie», né la scelta dei genitori di tenerla lontana dalla matematica, togliendole gli strumenti per studiare durante la notte, né le usanze del tempo che non permettevano libero accesso alle università alle donne. Sophie ha saputo risolvere ogni problema con determinazione e originalità, come dimostrato dalla sua idea, spesso proposta in letteratura e al cinema: si è finta uomo, per poter interagire con il professor Lagrange, usando, nella corrispondenza, lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc.

Questo libro è davvero bellissimo: ci racconta la vita di Sophie, delinea i tratti del suo carattere, e ciò che l’autrice ha presentato nel testo è stato ripreso dall’illustratrice, che, come la protagonista, non ha avuto paura di sperimentare nuove tecniche, regalandoci un ritratto davvero particolare della matematica, che arricchisce il testo. In una illustrazione, troviamo Sophie circondata da numeri e formule che la abbracciano durante una festa, quando i pettegolezzi impazzano attorno a lei, inoltre Barbara McClintock è stata in grado di rappresentare il lavoro sulle vibrazioni, documentandosi attraverso video e foto sui piatti di Chladni, per rappresentare l’originalità degli studi al riguardo.

Al termine del racconto, ci sono alcune note: l’autrice, Cheryl Bardoe, sottolinea che, per poter rendere il libro accessibile ai bambini, è stata costretta a compiere delle scelte, dettate anche dal fatto che non era possibile avere informazioni accurate sulla vita della protagonista, perché un po’ in contraddizione fra loro. Suo intento era sottolineare la tenacia di Sophie, che non ha rinunciato alla sfida e non si è arresa. Parlando del marito, Dr. Matthew Bardoe, «che spinge ogni giorno i giovani ad amare la matematica», sottolinea come la matematica sia «un campo che a volte può intimidire – ma quando ci si dedica ad essa, vediamo il suo potere ovunque nel mondo». La nota di Barbara McClintock, l’illustratrice, è ancora più particolare: si definisce una pessima studentessa in matematica, tanto che ha rischiato di non sentirsi all’altezza di un libro che aveva per protagonista una matematica, ma la sfida l’ha costretta a sperimentare nuove tecniche e, leggendo di Sophie, si è resa conto di quanti parallelismi esistessero tra le loro vite: anche la Germain è stata un’autodidatta e, come l’illustratrice, ha sperimentato nuovi metodi, creando percorsi che precedentemente non esistevano in matematica. Entrambe, inoltre, hanno scelto di affrontare la sfida senza arrendersi.
Sempre nella parte conclusiva, sono riportate ulteriori notizie biografiche su Sophie Germain: viene analizzato meglio il periodo storico nel quale ha vissuto, ricordando che la Rivoluzione Francese non ha permesso alle donne di avere un ruolo centrale nella società, dato che, se avessero cercato di esprimersi intellettualmente, avrebbero dovuto correre il rischio di diventare oggetto di pettegolezzi o di venire ridicolizzate. I lavori sulle vibrazioni di Sophie non sono stati il suo unico contributo alla matematica e, per questo motivo, viene presentata una piccola bibliografia per approfondire l’argomento.

Non mancano certo gli spunti: questo libro è bellissimo e una vera opera d’arte, visti gli splendidi acquerelli che accompagnano la storia. Un libro per tutte le età e per concedersi l’opportunità di appassionarsi alla matematica.

Venerdì, 15 Dicembre 2023 14:44

14 dicembre 2023

Verifica di matematica, classe terza liceo scientifico.
Argomento: equazione di una parabola date alcune condizioni, tangenti a una parabola, segmento parabolico, fasci di parabole

Durata: 110 minuti.

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