Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico
Argomento: cinematica nel piano

Durata: 60 minuti

Pi greco!
Ho rimandato l’uscita di questa newsletter fino ad oggi, per poterla inviare proprio in occasione del Pi-Day! Perciò, al centro della scena non può che esserci la Giornata Internazionale della Matematica, che si festeggia dal 2019, proclamata dall’UNESCO e curata da un progetto dell’Unione Matematica Internazionale. Il tema di quest’anno è Playing with Maths – Giocare con la matematica ed è particolarmente interessante la Sfida Creativa proposta, «atta a vedere la matematica nel nostro ordinario, a riconoscere schemi in quello che vediamo tutti i giorni e immortalarli in un’istantanea»: hanno partecipato numerose scuole e alcune delle fotografie ispirano davvero matematica e spingono a realizzare qualcosa di unico. Il poster di quest’anno è bello e colorato, con sei indovinelli e giochi da risolvere. Sul sito di MaddMaths! è possibile vedere l’elenco degli eventi italiani.
MaddMaths! propone anche la terza edizione del CALENPLARIO: Riccardo Moschetti e Roberto Zanasi propongono una serie di problemi, riveduti da Maria Angela Chimetto e Sergio Zoccante, ogni tre giorni, (il martedì, il giovedì e il sabato) alle 3:14, dal 14 marzo fino al 28 giugno. Sarà possibile iscriversi e partecipare insieme ad altre persone. 

Pi greco in video
Non posso non condividere alcuni filmati realizzati da Mathematical Visual Proofs, il canale che si occupa di dimostrare per immagini alcuni risultati matematici. Il primo video è molto efficace nel mostrare l’area del cerchio usando il metodo di esaustione, e sfogliando il cerchio come se fosse fatto da una serie di strati che appaiono quasi impalpabili. Il secondo video è un’approssimazione molto grezza di pi greco: considerando una griglia quadrata di 101 punti con coordinate intere, colorando in blu i punti con coordinate prime tra loro e facendo il rapporto tra il numero dei punti blu e il totale dei punti, si ottiene sei volte il reciproco del quadrato di pi greco, grazie al quale si ottiene l’approssimazione di 3,12. Questa approssimazione mi ha ricordato, in qualche modo, quella proposta al Senato dello stato dell’Indiana, il 12 febbraio del 1897. Stando a Christopher Waldo, della Purdue University, quando nel 1916 l’Accademia delle Scienze dell’Indiana ha deciso di celebrare il proprio secolo di vita realizzando un volume con il quale sarebbero stati ripercorsi i maggiori risultati scientifici, Waldo ha citato un «singolo atto di prevenzione [che] rende maggior merito all’Accademia delle scienze dell’Indiana […] di qualsiasi contributo che abbia mai pubblicato o che possa mai pubblicare in futuro sui propri resoconti». Il risultato è quello di aver impedito che passasse una legge assurda, come gli stava raccontando un senatore, certo che fosse imminente un evento storico importante: «“Se passa questo emendamento – gli dice testualmente – stabiliremo per legge un nuovo e finalmente corretto valore di p. Pensi, professore: l’autore offre al nostro Stato gratuitamente l’utilizzo di questa scoperta nei nostri testi scolastici, mentre tutti gli altri Stati dovranno pagarci i diritti.”» Sul numero 61 di Prisma, in edicola da pochi giorni, è possibile leggere l’intero articolo di Marco Malvaldi: offre l’occasione per un’interessante riflessione sui bias cognitivi e sollecita la nostra attenzione sul rischio di fare affermazioni certe «su problemi dei quali abbiamo una comprensione troppo limitata anche solo per capire come sono sorti».
Magari se non vi piace 3,12 come approssimazione e non apprezzate nemmeno la proposta dello stato dell’Indiana, potete sempre scegliere di considerarlo uguale a 2: si parte da un semicerchio di raggio 1 e, quindi, di lunghezza pi/2, poi si costruiscono altri due semicerchi con raggio pari alla metà del precedente, ma in cui la somma delle semicirconferenze dà sempre lunghezza pi/2 e così via, fino a mostrare che le semicirconferenze si confondono con il diametro. Un po’ come nel caso della radice quadrata di 2 che diventa uguale a 2, confondendosi con l’ipotenusa. Eppure, se ingrandiamo l’immagine o se la guardiamo con gli occhi della matematica, scopriamo che la realtà non è come appare. Il quarto video confronta e^pi e pi^e, usando un ramo di iperbole e un piccolo integrale, mentre il quinto, comparso oggi, offre cinque diverse formule di pi in pi/2 minuti e usando solamente il disegno di un rettangolo di dimensioni 2 e 3, con quattro triangoli al suo interno. 

Pi greco e il carnevale della matematica
Il carnevale della matematica di marzo è uscito proprio questa mattina, alle 3.14: ospitato sul blog Dropsea, quindi da Gianluigi Filippelli, amministratore e divulgatore per il sito Edu INAF e per l’Osservatorio Astronomico di Brera, ha per tema, ovviamente, il pi greco. Presentato attraverso un video, nel quale ci vengono raccontate le caratteristiche del numero 176, è davvero ricco di contenuti, spunti, curiosità. L’articolo con il quale ho partecipato è intitolato Cerchi fra i banchi e di fatto è un percorso, fatto per immagini e ricco di file Geogebra, tra le indicazioni ministeriali della seconda liceo scientifico. Ho cominciato con la rappresentazione a colori di 180 cifre del pi greco, e ho proseguito con alcune costruzioni geometriche realizzate con Geogebra, dalla circonferenza per tre punti non allineati, alla costruzione delle tangenti da un punto esterno, ai punti notevoli di un triangolo, fino ad arrivare al cerchio dei 9 punti, che mi ha ricordato un’opera di Lanfranco Bombelli citata nel libretto Il cerchio di Bruno Munari. La conclusione ha per protagoniste le lunule di Ippocrate, il logo della Mathesis e un paio di giochi proposti nella competizione Matematica senza frontiere. 

Playing with Maths
Seguendo il tema della Giornata Internazionale, IlariaF Math ha deciso di riprendere le dirette sul suo canale, aprendo la rassegna il 7 marzo scorso con Paolo Alessandrini, autore del libro Matematica in campo. Dopo la domanda di rito su cosa sia per Paolo la matematica, e vi spoilero subito che non poteva che definirla un gioco (anche se non aggiungo altri dettagli), Paolo ha parlato di bellezza e di efficacia. Poi, seguendo il tema del libro, Paolo ha raccontato come il gioco del calcio porti con sé, oltre all’ovvia fluidodinamica, al moto parabolico e alla geometria del fuorigioco, anche la topologia, i poliedri (visto che il pallone è un poliedro!), il calcolo combinatorio e tanto altro. Come sempre, Ilaria è un’ottima padrona di casa e Paolo ha sempre un sacco di curiosità con cui intrattenere il pubblico: se vi siete persi la diretta, dovete assolutamente guardarlo! Stasera, alle 20.45, avrà luogo la seconda diretta, durante la quale Ilaria intervisterà Daniele Aurelio, fisico, insegnante, componente del gruppo Physics4Teenagers e coordinatore del Mathsjam di Pavia, l’unico attivo in tutta Italia.
Un paio di settimane fa, Davide Calza e Riccardo Moschetti hanno pubblicato un nuovo video per il Math-Segnale: si tratta dell’analisi matematica del problema numero 15 del World Math Championship del 2022. Il gioco è davvero interessante e la capacità di Davide e Riccardo di tirarne fuori un problema di carattere generale e di riuscire a dimostrarlo in modo semplice non manca mai di meravigliarmi. La descrizione del video è sufficiente a farci incuriosire: «La sfida tra Alice e Bob sembra quasi impossibile. Senza avere praticamente nessuna informazione, e bendata, Alice dovrà trovare il modo di girare tutte le pedine della scacchiera in modo che abbiano lo stesso colore, tutto questo mentre Bob può modificare in continuazione il tavolo da gioco. Come farà?» L’algoritmo descritto mi ha ricordato, in qualche modo, la sequenza di mosse per risolvere il cubo di Rubik e, visto che mia figlia dodicenne è un’appassionata, ho deciso di farle vedere il filmato: come risultato, si è presentata con una benda, una griglia quadrata 2x2 e quattro dischi colorati, chiedendomi di fare Bob. Conoscendo il gioco, ho cercato di renderle le cose difficili, scegliendo la configurazione migliore, ma il risultato è stato che è riuscita a vincere in 7 mosse! 

Consigli di lettura
Dall’ultima newsletter ho realizzato tre recensioni: la prima riguarda due libri per ragazzi, A Pisa con Galileo e A Cambridge con Newton, scritti da Silvia Merialdo, con le illustrazioni di Gaia Aloisio ed Emanuela Carbonara. La protagonista è Andrea che con Galileo Galilei va alla scoperta dell’universo e con Newton della gravità, passeggiando con loro nei luoghi dove hanno vissuto. I due scienziati vengono descritti a tutto tondo, tanto che non può che infastidire il carattere litigioso e un po’ burbero di Newton. Semplici, chiari e simpatici, i due racconti contribuiscono ad avvicinare alla scienza i giovani lettori, stimolandone la curiosità.
La seconda proposta è un testo di non facile reperimento, trattandosi di Ultima lezione a Gottinga di Davide Osenda. È un fumetto, pubblicato nel 2009, impreziosito dall’introduzione di Piergiorgio Odifreddi, anche grazie al fatto che le tavole sono state esposte in versione gigante sui muri dell’auditorium di Roma durante il Festival della Matematica. La seconda presentazione è di Andrea Plazzi, editor nel campo dei fumetti, noto per la sua consulenza per le opere di Leo Ortolani. Il fumetto è davvero piacevole, anche se l’argomento non è semplicissimo, visto che l’ultima lezione ruota attorno all’ipotesi del continuo di Cantor.
Il terzo libro è davvero per tutti: è Matematici di profilo, di Umberto Bottazzini. Si tratta di 48 brevi biografie, o, per meglio dire, ritratti, di matematici e matematiche attraverso i quali è possibile ricostruire la storia della matematica. I profili sono stati pubblicati su Il Sole 24 Ore con il quale Bottazzini ha collaborato a lungo, come dimostrato da questo articolo del 2020: L’affascinante storia di «pi greco». Questa affascinante storia si apre con il Don Giovanni di Mozart e il problema della quadratura del cerchio, ovvero il «problema di costruire con riga e compasso un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato». Passando attraverso la Bibbia e re Salomone, Bottazzini cita Il pendolo di Foucault di Umberto Eco e La montagna incantata di Thomas Mann, ma poi ricorda i grandi personaggi che hanno reso immortale questo numero (o forse è questo numero ad aver reso immortali i matematici che l’hanno studiato!). Così ci viene ricordato che il celebre simbolo è stato scelto da Eulero, mentre la dimostrazione dell’irrazionalità risale al 1768 ad opera di Johann Heinrich Lambert. Che dire poi della trascendenza? Ferdinand von Lindemann dà la soluzione definitiva al rompicapo della quadratura del cerchio nel 1882: con riga e compasso è impossibile! 

Sono aperte le iscrizioni al secondo convegno nazionale CARME: Ricerca in pratica: la ricerca in didattica della matematica per la scuola. Si terrà a Pistoia, il 17 e 18 maggio prossimi, e le iscrizioni si chiuderanno il 15 aprile. 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela 

Fonte dell’immagine: https://shorturl.at/ioQ39

Si può dire che p sia il protagonista del programma di seconda liceo scientifico: nella prima parte dell’anno scolastico, ci si immerge nell’insieme dei numeri reali e gli irrazionali sono posti al centro della scena. Come dimenticare l’irrazionale per eccellenza?

Nell’immagine è riportata una rappresentazione visiva di alcune cifre decimali di p, 180 per la precisione, che è facile ricostruire assegnando al colore la cifra corrispondente. L’immagine è stata realizzata per uno dei cartelloni esposti durante la seconda partecipazione al Festival di BergamoScienza dell’istituto dove insegno, che ha avuto come protagonista il cerchio.

La classe seconda è il momento in cui si alza il livello di difficoltà: dopo aver risolto equazioni, disequazioni e sistemi lineari, si affrontano, con gli irrazionali nella cassetta degli attrezzi, i problemi di secondo grado ed ecco che in geometria fa la sua comparsa la circonferenza, definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, il centro.

Uno dei primi teoremi che si incontrano riguarda la circonferenza passante per tre punti non allineati, e la dimostrazione permette, in realtà, di fare una semplice costruzione con Geogebra, evitando di usare lo strumento “Circonferenza – tre punti”. Il teorema fa intravedere i teoremi sulle corde, che presto permetteranno di vederne la lunghezza in relazione alla loro distanza dal centro, e di realizzare che davvero l’asse di una corda passa per il centro.

Il passo successivo è quello di considerare le circonferenze in relazione alle rette e, in particolare, in relazione alle tangenti. Così, può capitare di dover imparare a costruire le rette tangenti a una circonferenza tracciate da un punto esterno, basandosi sul fato che una retta tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza. Questo risultato ci regala un anticipo sui triangoli rettangoli inscritti in una semicirconferenza.

Il percorso in matematica assomiglia a una danza, con un passo avanti e uno indietro, a creare una coreografia, ritornando su cose già viste, ma affrontandole in maniera diversa, e così nel capitolo successivo le circonferenze incontrano i triangoli, sempre inscrivibili in e circoscrivibili a una circonferenza, ma non solo:

Tra il circocentro (E) come punto di incontro degli assi e centro della circonferenza circoscritta, l’incentro (I) punto di incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta, il triangolo ABC incontra anche altre tre circonferenze, di centri rispettivamente M, L e G, detti excentri, punti di incontro della bisettrice dell’angolo interno non adiacente con le bisettrici degli altri due angoli esterni e quelle blu sono le circonferenze exinscritte, tangenti a un lato e al prolungamento degli altri due. È stato vedendo un’opera di Lanfranco Bombelli (1921/2008), pittore, incisore e architetto, che ho pensato a questa rappresentazione e…

Ripensare al Cerchio per nove punti è stato un attimo: eccola in tutta la sua bellezza! Indicata in rosso passa per tre terne di punti: quelli rappresentati in verde sono i punti medi dei lati del triangolo; quelli in fuxia sono i piedi delle altezze relative ai lati e poi ci sono gli ultimi, più difficili da definire, perché, individuato con O l’ortocentro (il punto di incontro delle altezze di un triangolo), essi sono i punti medi del segmento che ha per estremi O e un vertice del triangolo. Ho scoperto, giusto oggi, che questa circonferenza è nominata come Cerchio di Feuerbach (almeno, stando a quanto dichiarato su Wikipedia), matematico tedesco, fratello del più famoso filosofo. Qualcuno, invece, la nomina come cerchio di Eulero, ma credo che, in questo caso, il celebre matematico potrebbe accontentarsi della paternità della retta, che passa per tre punti notevoli: ortocentro, baricentro, circocentro.

Mentre scorro le pagine del libretto di Bruno Munari intitolato Il cerchio (e scopro ora che ci sono anche Il quadrato e Il triangolo…) dove ho trovato il riferimento a Lanfranco Bombelli, mi imbatto nelle voci “Raggio decrescente” e “Raggio crescente”:

Mi è parso così interessante, che non ho resistito alla tentazione di realizzare quello crescente con Geogebra, arrivando fino al poligono di 14 lati (inventandomi metodi ingegnosi per rappresentare quelli da 7, 9, 11 e 13 lati). Mi piace citare, in particolare, ciò che scrive Munari, oltre alle indicazioni per la costruzione: «Può sembrare che il raggio, aumentando oltre ogni limite, diventi infinito; invece si avvicina a un limite che è circa dodici volte quello del raggio del cerchio primitivo», esattamente come quello decrescente «si avvicina a un limite che è circa un dodicesimo di quello del raggio del cerchio primitivo».

Non ho resistito alla tentazione di riprendere in mano anche questa simpatica dimostrazione senza parole, che utilizza le lunule e il triangolo di Pitagora. Il triangolo rappresentato è rettangolo e ha come lato di appoggio l’ipotenusa. Sui due cateti vengono costruite (e colorate) le lunule, la «parte di piano compresa fra due archi circolari di raggio diverso aventi in comune gli estremi e giacenti dalla stessa parte rispetto alla corda comune». In questo caso, il raggio delle semicirconferenze esterne è pari a metà del cateto e il centro è il punto medio del cateto, mentre l’arco più interno è la semicirconferenza con raggio pari a metà dell’ipotenusa e centro nel punto medio della stessa. La prima differenza è facile, la seconda, invece, ha a che fare con il teorema di Pitagora: come riportato sul sito del Giardino di Archimede, il museo della matematica: «Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro». Chi ha avuto modo di visitare il museo, avrà provato a mettersi alla prova con i diversi puzzle realizzati proprio con questo teorema di Pitagora generalizzato.

Sul sito, troviamo poi il caso particolare delle lunule di Ippocrate:

In questo caso, l’area indicata in rosso ha la stessa estensione di quella indicata in blu.

«Se poi il triangolo è isoscele, una lunula è uguale a mezzo triangolo. Questo è il primo caso storicamente accertato (la dimostrazione è attribuita a Ippocrate di Chio) in cui si è dimostrato che una figura rettilinea (il triangolo) è uguale a una curvilinea (la lunula).» Questo ci porta al logo della Mathesis:

Una scelta non casuale, visto che la Mathesis è la «Società italiana di scienze matematiche e fisiche fondata nel 1895».

Il 14 marzo è, dal 2020, la Giornata internazionale della matematica e quest’anno il tema dei festeggiamenti è: Giocare con la matematica. Non potevano mancare un paio di giochi, in chiusura, presi dalle ultime due edizioni di Matematica senza Frontiere:

L’immagine a sinistra è stata proposta quest’anno: dopo averne indicato la costruzione, si chiedeva di determinare l’area della parte colorata, in funzione del lato del quadrato (indicato con a). continuando la tassellazione con altre circonferenze, è stato abbastanza semplice sottrarre, dall’area della circonferenza con raggio pari a metà diagonale del quadrato, un quadrato di lato a e moltiplicare il risultato per 2, ottenendo . Il disegno più colorato, invece, è stato proposto nella competizione dell’anno scorso e dovrebbe rappresentare la finestra con il vetro temperato di una chiesa. Sapendo che per il verde sono stati usati 400 cm² di vetro, che superficie è necessaria per ricoprire il blu? (E scopriamo che si tratta ancora di 400 cm²).

Il cerchio è davvero una figura eccezionale e Munari dichiara nell’introduzione del suo libretto: «Il cerchio è una figura essenzialmente instabile, dinamica: dal cerchio nascono tutti i ruotismi, tutte le inutili ricerche del moto perpetuo». E dal cerchio è giunto a noi p, come dimenticarlo?

Buon pi-day a tutti!

PS: In allegato i file Geogebra per realizzare le immagini

«Matematici di profilo» è stato pubblicato nel novembre del 2021 dalla Casa Editrice Sole24 ore e l’autore è Umberto Bottazzini, uno dei maggiori esperti internazionali nell’ambito della storia e dei fondamenti della matematica. Nel 2006 ha vinto il Premio Pitagora per la divulgazione matematica e nel 2015 l'Albert Leon Whiteman Prize, il riconoscimento per la storia della matematica bandito dall’American Mathematical Society, «per le sue numerose opere in Storia della Matematica, in particolare sulla nascita della Matematica moderna in Italia e sullo sviluppo dell'Analisi nel XIX e inizio XX secolo».

Le 48 brevi biografie di questo libro «provengono da articoli apparsi nel corso degli anni nelle pagine de Il Sole 24 Ore-Domenica»: riorganizzate in ordine cronologico, rielaborate e liberate dai «riferimenti occasionali alle circostanze che hanno motivato gli articoli originali», costituiscono una storia della matematica discreta, ovvero fatta da una successione di punti distinti (i matematici), uniti da incontri e circostanze. Come nel gioco dei puntini della Settimana Enigmistica, il lettore riesce a individuare il disegno finale solo procedendo nella lettura, e il quadro restituisce ai suoi occhi una storia della matematica in versione semplificata, ma ricca di dettagli. «Questo libro non si rivolge agli specialisti», dichiara Bottazzini in apertura e ha come obiettivo il superamento dell’«idea che i matematici siano esseri bizzarri e stravaganti». Tra le pagine ritroviamo «uomini e donne che vivono immersi nelle temperie del loro tempo, protagonisti nel corso dei secoli della grande avventura della matematica», che hanno dimostrato «di possedere straordinarie capacità di invenzione, immaginazione e fantasia». I profili contengono notizie biografiche scevre di dettagli, visto che, ad esempio, gli anni di nascita e di morte sono riportati in un elenco alla fine del libro: si tratta, soprattutto di biografie matematiche, che mostrano come la vita dei protagonisti sia intessuta di matematica e, al tempo stesso, come la storia della matematica sia ricca di vita. Ogni profilo inizia con un evento importante, quello che ha spinto l’autore a scegliere il matematico per questa rassegna, in cui spesso, il protagonista è un altro matematico, che, con la sua autorevolezza, mostra l’importanza del lavoro svolto. Come in un ritratto pittorico, Bottazzini, con sapienti pennellate di parole, condensa in poche righe il lavoro svolto, la sua importanza nel percorso storico, mentre i legami con i precedenti e i successivi ci permettono di cogliere come nessun matematico sia un’isola, e quanto quegli incontri siano stati determinanti per costruire il nuovo percorso. Ogni capitolo è dedicato a un matematico o a una matematica, solo occasionalmente a una coppia di matematici, che non possono essere separati perché troppo presenti l’uno nella vita dell’altro.

La rassegna non poteva che aprirsi con Pitagora e la dimostrazione matematica, Euclide, autore di «uno dei testi più influenti nell’intera storia dell’umanità», e Archimede, che ha legato il proprio nome alle basi della matematica. Con un salto di quattordici secoli, si arriva a Fibonacci, che porta in Europa la sapienza orientale, a Piero della Francesca, con il suo Trattato d’Abaco, a Luca Pacioli con la Summa, fino a Cardano, «una delle figure più straordinarie e controverse del Rinascimento», il cui nome non può essere separato da quello di Tartaglia. Galileo non poteva che essere tra i protagonisti, con il suo lavoro sull’infinito, le «“meraviglie”», le «“fantasticherie” e [i] paradossi», mentre Torricelli e Cavalieri arrivano nella parte finale del suo percorso. Cartesio apre la strada a una nuova matematica, mentre Fermat, «genio universale» e «matematico dilettante», con Pascal contribuisce alla nascita della probabilità. Leibniz e Newton condividono «la gloria dell’invenzione del calcolo infinitesimale», mentre i Bernoulli, oltre ai grandi contributi matematici, partecipano alla nascita di «uno dei più grandi matematici della storia», il prolifico Eulero. Maria Gaetana Agnesi ha lasciato un segno nella storia della matematica con le sue «Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana» e con la sua versiera, mentre Girolamo Saccheri, nel voler liberare Euclide dai suoi nei, contribuirà alla nascita delle geometrie non euclidee. Lagrange, “nuovo Newton” per i contemporanei, è «uno dei più grandi matematici di sempre», mentre Laplace contribuisce a dare visibilità al teorema di Bayes; l’insegnamento di Cauchy «“era una nube oscura, illuminata talvolta da lampi di genio”», come scrive il contemporaneo Menabrea. Sophie Germain, seconda donna della rassegna, condivide il capitolo con Maryam Mirzakhani: entrambe eccezionali e vittime di una morte prematura, ma la vicenda della Germain, con la necessità di fingersi uomo per poter studiare matematica, non può che ricordare un romanzo. Abel e Galois sono accomunati dalla gioventù e dalla loro capacità di lasciare un segno indelebile nella matematica, contribuendo alla nascita di una nuova branca, l’uno con le funzioni ellittiche, l’altro con i gruppi. Gauss, Bolyai e Lobačevskij sono uniti dal quinto postulato di Euclide e dalla nascita delle geometrie non euclidee, mentre Riemann non poteva mancare nella rassegna, essendo stato «un grande matematico, senza dubbio il più profondo e geniale dell’epoca e tra i più grandi della storia». Dedekind, è stato una «sorgente inesauribile di idee e una fonte continua di ispirazione», Cantor ha legato il proprio nome all’infinito, e Boole «ha segnato la nascita della moderna logica matematica». Visto il periodo, Bottazzini dedica un intermezzo ai matematici del Risorgimento, citando in particolare Luigi Cremona, Enrico Betti e Francesco Brioschi, e procede poi con Sofya Kovalevski, che sentiva che il suo destino era «“servire la verità, cioè la scienza, e tracciare la strada per le donne perché ciò significa servire la giustizia”». Poincaré abbraccia con la sua opera «non solo la matematica ma i più diversi campi della fisica», tanto da essere stato candidato tre volte al Nobel, mentre Ricci Curbastro e Levi-Civita, forse meno noti, ci hanno regalato, secondo Einstein, «“un meraviglioso esempio di come la matematica ha fornito lo strumento teorico per una teoria della fisica”». La rassegna italiana procede con Volterra, «un gigante, che ha dominato il panorama della matematica e della scienza non solo italiana nei primi trent’anni del secolo scorso», Enriques, «uno dei maestri della “scuola italiana” di geometria algebrica», e Castelnuovo, che «ha imposto i geometri italiani sulla scena matematica internazionale». Ramanujan non può che essere ricordato insieme a Hardy, mentre Hilbert porta con sé i celebri ventitré problemi che hanno contribuito a dare forma alla matematica successiva. Brouwer parla di matematica “intuizionista”, mentre le lezioni di Emmy Noether «divennero un punto di riferimento per i giovani matematici in Germania e all’estero». Gödel ha ottenuto «fondamentali risultati che hanno segnato lo sviluppo della moderna logica matematica», von Neumann ha contribuito all’«organizzazione funzionale alla quale si ispirano ancora oggi le macchine», e Wiener ha imparato da Hardy che «“la matematica era non solo una materia che si poteva studiare ma anche discutere e vivere”». Il secondo intermezzo è dedicato alla matematica tra le due guerre, con la lungimiranza della fondazione Rockefeller che darà luogo a «un programma di emergenza per far fronte alla emigrazione degli scienziati ebrei». Durante e dopo la guerra, troviamo Turing, pioniere dell’Intelligenza Artificiale, e de Finetti, con la concezione soggettivistica della probabilità; De Giorgi è ricordato per il suo appassionato impegno civile e per aver dimostrato il diciannovesimo problema di Hilbert, contemporaneamente a Nash, vincitore, con Nirenberg, del Premio Abel nel 2015. L’anno dopo il premio è andato a Wiles, colui che ha dimostrato l’ultimo teorema di Fermat, e che è uno dei due matematici ancora viventi di questa rassegna. L’altro è Perel’man, legato a Poincaré per merito della topologia, protagonista dell’incomprensibile rifiuto della medaglia Fields e del premio del Clay Institute.

Ogni matematico di questa rassegna apre la strada al successivo e, al tempo stesso, deve la propria grandezza a chi l’ha preceduto.
Il libro è poco impegnativo, ma ricco di spunti e curiosità interessanti, e offre l’opportunità di sentire la vera voce dei matematici, viste le numerose citazioni.

Verifica di fisica, classe terza liceo scientifico
Argomento: leggi dei gas ideali e teoria cinetica

Durata: 60 minuti

«Ultima lezione a Gottinga» è stato pubblicato nel 2009 da 001 Edizioni, ma ha fatto la sua comparsa l’anno precedente durante il Festival della Matematica, dove è stato esposto in versione gigante sui muri dell’Auditorium di Roma. L’autore è Davide Osenda, un informatico appassionato di acquerelli che, quando era studente universitario, si è ritrovato per la prima volta fra le mani il libro Gödel, Escher e Bach di Douglas Hofstadter. Lo ha trovato «disorganico, ipnotico e mirabile», ma questa incredibile opera ha generato in lui il desiderio di presentare in maniera diversa proprio il tema dell’infinito. È così che prende piede la scelta di realizzare questo fumetto ad acquerelli, e di ambientarlo a Gottinga nel corso della Seconda guerra mondiale, probabilmente nel 1933. Il protagonista della prima parte è il professor Fiz, che, presentendo probabilmente la fine della sua epoca, visto che sono cominciati i rastrellamenti nazisti, tiene la sua ultima lezione di matematica in università. È una lezione un po’ particolare, visto che il professore non ha un pubblico, o almeno così crede: infatti, nascosto tra i banchi, si trova Alkuin Winkler. I nomi dei due protagonisti sono davvero ben studiati: ci regalano un’immagine di serietà e leggerezza, e non posso non citare, al riguardo, quanto hanno scritto i Rudi Mathematici nella recensione comparsa nel numero 131 della loro rivista (dicembre 2009). Per quanto riguarda il prof. Fiz, scrivono: «si può certo immaginare che il nome discenda dalla facile assonanza con il sistema FZ, quello di Fraenkel Zermelo: un nome visceralmente matematico». Mentre «il suo ultimo e imprevisto discepolo è invece già commistione tra passato e futuro, tra numeri e America. Ha il nome di Alcuino, precursore della matematica medievale e ricreativa, e il cognome dell’attore che interpreta Fonzie. Perché la matematica sa essere spettacolo».

Alkuin assiste in silenzio a questa lezione e, quando il professore decide di allontanarsi, si palesa, chiedendo che l’argomento venga concluso: a quel punto la matematica non è più un monologo con la lavagna, ma un dialogo che coinvolge anche altri strumenti, come le carte da gioco. «Il mio tempo, ormai, è venuto.» dichiara il professore alla fine, prima di stringere la mano ad Alkuin, augurandogli una vita piena: «Se la sua passione per la matematica non appassirà, avrà tempo per approfondire queste discipline pure e lontane…» Mentre il professore si avvia in silenzio verso il suo triste destino, Alkuin si perde nel mondo colorato della matematica e, dopo essere stato accompagnato al confine dai partigiani, riesce a fuggire. Lo ritroviamo a Princeton nel 1963, l’anno di uscita della dimostrazione di Cohen, la parola finale all’ipotesi del continuo di Cantor.

Il racconto si snoda attraverso gli infiniti, partendo dall’inizio, visitando l’albergo infinito di Hilbert, mostrandoci il percorso di Cantor fino all’intervento di Gödel. La lezione è bellissima e particolarmente ispirata: mostra un docente alla ricerca delle parole giuste, delle metafore più illuminanti, dà l’idea di come i matematici riescano a perdersi nel proprio mondo anche quando attorno a loro il resto del mondo sta crollando. E la stessa cosa succede, in un secondo momento, ad Alkuin, che nel momento della sua fuga, quando è costretto ad una lunga attesa in una cascina abbandonata, trova rifugio nella matematica. L’immagine della matematica come rifugio e fuga dalle brutture del mondo è forse il dipinto più bello tra gli acquerelli proposti da Osenda.

Durante la lezione del professor Fiz, Osenda si serve di acquerelli particolarmente colorati per illustrare il mondo della matematica. Pur scrivendo su una lavagna nera, il professore crea un mondo nuovo ricco di colori e calore che conquista Alkuin, e fa da contraltare alla persecuzione nazista che è monocolore. Questo particolare grafico è sottolineato da Piergiorgio Odifreddi nella sua introduzione intitolata «Era una notte buia e tempestosa», dove parla di «chiaroscuro infernale del nazismo» contrapposto «alla luminosità paradisiaca della matematica». La notte buia è quella in cui il professore viene arrestato, la notte buia è quella che sta attraversando Gottinga, quella che viene raccontata da Odifreddi facendo riferimento alle amare parole di Hilbert: «Non c’è più nessuna matematica a Gottinga!». Richiamando la nostra attenzione sulla matematica, Odifreddi riconosce come le illustrazioni riescano «a far intravedere con gli occhi del corpo ciò che si può vedere compiutamente solo con gli occhi della mente: la complessità del problema del continuo». La benedizione matematica di Odifreddi è seguita dalla benedizione grafica di Andrea Plazzi, laureato in matematica, ma editor nel campo dei fumetti e noto per la sua consulenza per le opere di Leo Ortolani, autore di Rat-Man. Andrea Plazzi riparte dall’inizio, con il libro da cui ha avuto origine l’ispirazione di Davide Osenda: «Gottinga colpisce per il coraggio e la sicurezza con cui l’autore tratta – in e con un linguaggio visivo – temi e argomenti concettuali e intrinsecamente astratti, che non si prestano a facili visualizzazioni». Più avanti, sottolineando la padronanza mostrata da Osenda, Plazzi ricorda che questo fumetto «non è né un libro di divulgazione scientifica né un manuale illustrato; narra una storia e lo fa con umanità profonda, che accompagna sempre il lettore».

Da quanto leggiamo nelle due prefazioni, sembra che questo fumetto dovesse essere solo l’inizio di una lunga vicenda in tre parti, ma purtroppo non ha avuto seguito. Non solo: è difficile reperire questo testo, visto che non è disponibile nemmeno negli store online. Mi è stato possibile leggerlo solo grazie alla rete bibliotecaria.

Verifica di matematica, classe terza liceo scientifico
Argomento: circonferenza

Durata: 120 minuti

«A Pisa con Galileo» e «A Cambridge con Newton» sono stati pubblicati dalla Casa Editrice Dedalo a ottobre 2023, nella collana Scienza in viaggio, che «racconta le intuizioni e le scoperte dei più grandi scienziati attraverso un viaggio nei luoghi in cui hanno vissuto». L’autrice Silvia Merialdo è laureata in fisica nucleare e ha avuto esperienze di ricerca nel Regno Unito e in Germania; è redattrice di testi di fisica per la scuola presso la casa editrice Zanichelli, ma scrive anche guide turistiche, come quella dedicata a Genova, la sua città, e quella sul trekking sull’Appennino con i bambini, e con questo libro coniuga le due passioni, descrivendo luoghi turistici e spiegando scoperte scientifiche. Entrambi i libri sono arricchiti dalle illustrazioni di Gaia Aloisio ed Emanuela Carbonara, che hanno collaborato anche al libro Un viaggio nella relatività di Federico Benuzzi.

Protagonista dei due percorsi è Andrea, una ragazzina che, grazie alla zia Paola, insegnante all’Università di Pisa presso la facoltà di ingegneria aerospaziale, ha modo di esplorare nuovi luoghi: il primo viaggio, a Pisa, è fatto proprio per raggiungere la zia, mentre il secondo, a Cambridge, è effettuato per accompagnare la zia che deve tenere una serie di lezioni. In entrambi i casi, Andrea ha come compagni di viaggio dei coetanei: nel primo caso si tratta dell’appassionato di fotografia Luca, figlio di un amico dei genitori, e nel secondo caso è Ravi, dedito al canottaggio, figlio di un’amica della zia. I due libri hanno la stessa struttura: dedicati al pubblico dei bambini della primaria, sono un misto di scienza e turismo e le illustrazioni che accompagnano la narrazione hanno il compito di mostrare i luoghi descritti e gli esperimenti raccontati. Nel percorso si inseriscono anche alcuni esperimenti che i giovani lettori possono svolgere con l’aiuto di un adulto, mentre i termini più complessi vengono evidenziati in grassetto e raccolti in un piccolo glossario molto esaustivo.

Nel caso di Galileo Galilei, «Andrea scopre l’universo» (come recita il sottotitolo). Incontra Galilei sulla Torre di Pisa, in un momento di malessere causato dalle vertigini. Dopo la torre, Andrea e Galileo si incontrano di nuovo al Camposanto, dove vengono descritti il pendolo e la passione per la Divina Commedia, poi al Palazzo della Sapienza, dove si parla di caduta dei gravi, e alla Torre del Cantone, dove l’invenzione del telescopio domina la scena. Le vicende legate al processo non potevano che essere raccontate all’interno del Battistero, mentre il metodo scientifico viene descritto con un diagramma di flusso all’interno della Cittadella Galileiana, la «ludoteca scientifica dove si possono fare esperimenti».
Insieme a Newton, «Andrea scopre la gravità», dopo che una mela le è caduta in testa nel cortile dell’Università. Dalla legge di gravitazione universale, che porta al confronto tra la mela alla Luna, all’ottica con i pericolosi esperimenti dello scienziato, dall’arcobaleno e dai prismi, con due esperimenti dedicati all’ottica, fino ad arrivare al calcolo differenziale, che l’autrice riesce a descrivere con semplicità, grazie al celebre Ponte Matematico al Queen’s College, non manca nulla. Si parla anche dei difficili rapporti di Newton con i contemporanei, delle comete e delle maree, vengono spiegati sperimentalmente i tre principi della dinamica – al terzo viene dedicato anche un esperimento – e dopo aver parlato del lavoro alla Zecca, il percorso si chiude davanti al melo.

In entrambi i casi, i due scienziati vengono descritti a tutto tondo e non può non colpire il carattere litigioso e un po’ burbero di Newton. Semplici, ma completi, chiari e simpatici, i due racconti contribuiscono ad avvicinare alla scienza i giovani lettori, mentre le illustrazioni movimentano la narrazione e consentono di memorizzare meglio i singoli passaggi. La curiosità e l’impazienza della piccola Andrea rappresentano i piccoli lettori, che possono trovare, in questi due libri, un’occasione per imparare divertendosi.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico, recupero per assenti
Argomento: calcolo delle probabilità

Durata: 60 minuti

Carnevale della matematica
Il Carnevale della matematica di febbraio, il numero 175, è stato ospitato dai Rudi Matematici sul Blog di Le Scienze. Lo stile è davvero inconfondibile e il tema, “La matematica dei numeri tondi, o arrotondata, o degli anniversari”, non è stato scelto a caso: in questo mese, infatti, i Rudi Matematici celebrano due numeri tondi, 25 e 300 (che sono più che mai presenti a mo’ di messaggio subliminale nelle immagini del post), che rappresentano i 25 anni della più celebre e-zine della rete e il 300° numero appena uscito. Ricevo la celebre rivista, «fondata nell’altro millennio», da quando ho cominciato a bazzicare internet (diciamo che la ricevo da almeno vent’anni) e ogni volta che ricevo la mail che mi avvisa dell’uscita, mi ritrovo a sorridere grazie allo stile elegante con cui viene raccontata qualsiasi cosa. Dovete provare a leggere questo carnevale per capire cosa intendo, così scoprirete anche che, visto che i contributi vengono presentati in ordine di ricezione, per una volta non sono finita ultima. Il mio contributo è arrivato una manciata di ore prima della scadenza, perché ho concesso tempi più lunghi del dovuto ai miei alunni di terza per completare l’analisi dei questionari pervenuti per l’indagine statistica riguardante la presenza della matematica nel mondo del lavoro. Oltre a voler sapere quanto sia presente la matematica nei singoli lavori, obiettivo dell’indagine era quello di indagare i sentimenti nei confronti della matematica e di capire se il percorso scolastico fornisca buone basi per affrontare il mondo del lavoro. Dopo aver definito gli obiettivi, predisposto il questionario, diffuso il link per la compilazione, i ragazzi hanno analizzato i questionari raccolti in un file Excel, lavorando in piccoli gruppi e hanno poi presentato i propri risultati al resto della classe, in un lavoro che non è stato conteggiato solo per educazione civica, ma anche come orientamento al mondo del lavoro. Dal punto di vista didattico, l’esperienza ha avuto un grandissimo valore, visto che i ragazzi si sono trovati vittime di alcuni bias cognitivi, hanno dovuto imparare a confrontarsi e collaborare, e hanno capito che se si lascia il comando ad Excel, ci si potrebbe ritrovare grafici che dicono il contrario di ciò che affermano i dati raccolti. È capitato, infatti, che qualcuno travisasse il risultato proprio per colpa del grafico scelto, sicuramente piacevole esteticamente, ma poco chiaro quando si trattava di farne una lettura adeguata. Nell’analisi dei dati sono state notate alcune incongruenze: in alcuni casi, pur svolgendo la stessa identica professione, è stato segnalato un uso diverso della matematica: a seconda della formazione della persona in questione (ad esempio: al livello dirigenziale si può accedere sia con una laurea scientifica che con una laurea non scientifica) è stata riconosciuta una presenza o un’assenza di matematica. In altre parole, parafrasando una celebre citazione: la matematica è negli occhi di chi guarda.

Educazione civica
Ho cominciato a trattare il calcolo delle probabilità in seconda a gennaio, sovrapponendolo in questo modo alle ultime fasi del capitolo dedicato ai radicali. Avendo svolto il grosso del lavoro sui radicali prima delle vacanze di Natale, gennaio è diventato un modo per ripassare le operazioni con i radicali e gli strumenti dell’algebra di primo grado acquisiti nell’anno precedente e dove i radicali sono presenti come coefficienti. Questa ultima parte sui radicali, per quanto irrinunciabile, viene in genere percepita come noiosa, perciò ho deciso di presentarla in un modo un po’ originale, e di gestire il recupero attraverso giochi cooperativi, lasciando poi spazio a un paio d’ore a settimana al calcolo delle probabilità. Oltre al calcolo vero e proprio, l’argomento viene usato come tema di educazione civica, visto che viene affrontata, in primis, l’azzardopatia, e poi si vede l’applicazione nelle aule di tribunale, nelle scelte in ambito medico e nelle decisioni che ogni giorno compiamo in condizioni di incertezza. Il lavoro è stato arricchito dai contenuti delle letture di cui ho parlato nelle ultime newsletter, come Fate il nostro gioco di Diego Rizzuto e Paolo Canova, La legge del perdente di Federico Benuzzi, il Teorema di Bayes scritto da Roberto Natalini per la collana di Le Scienze, e Calcolo delle probabilità del prof. Francesco Daddi, che offre un’ampissima casistica di esercizi già svolti, rivelandosi un ottimo strumento per gli insegnanti, oltre che per gli studenti.
Anche in terza ci sarà modo di affrontare l’educazione civica, grazie alla termodinamica. Per ora, avendo cominciato la teoria cinetica dei gas e avendo fatto riferimento alla celebre curva di Gauss, ho proposto agli studenti la descrizione della curva effettuata da Federico Benuzzi, con il video Gaussiana, tra culturisti e clima. Federico ha la capacità di spiegare le cose con leggerezza, e di offrire, quindi, l’occasione per un momento di evasione. 

Nuova Lettera Matematica
È uscito il quarto numero della Nuova Lettera Matematica e nel suo editoriale Renato Betti parla di curiosità come molla per raggiungere la conoscenza, introducendoci al tema della rivista, che contiene un mix di didattica e contenuti disciplinari. Gli articoli sono ricchi di illustrazioni e corredati da un’ampia bibliografia, e il numero si chiude con la nuova rubrica dei Rudi matematici e con alcuni suggerimenti di lettura. L’articolo che mi ha colpito in particolare è quello dedicato al progetto spagnolo Innovamat, che viene presentato da Albert Vilalta Riera, professore della Facoltà di Scienze dell’educazione della Universitat Autonoma de Barcelona, che esordisce ricordandoci come la matematica venga spesso percepita «come un ramo della conoscenza freddo, astratto e difficile, praticamente inaccessibile eccetto a pochi privilegiati», tanto da causare spesso una “ansia da matematica”. Secondo quanto leggiamo nell’articolo, «I problemi sono per l’attività matematica come le montagne per l’alpinismo […] Una sfida in attesa di essere superata». Il decalogo proposto può offrire numerosi spunti, visto che esordisce con una esortazione ad amare la matematica e prosegue invitando a proporre «attività di suolo basso, tetto alto e pareti grandi», dove il suolo basso indica che «non ci sono barriere in ingresso», il tetto alto permette di volare in alto e le pareti grandi suggeriscono che «non c’è un’unica strada stretta per risolvere il problema». L’ultimo comandamento suggerisce di fare «in modo che tutte le allieve e gli allievi abbiano i loro momenti di gloria matematica», perché «dobbiamo tenere sempre presente che, con le nostre decisioni, condizioniamo questi momenti di gioia». In altre parole, facciamo in modo di diffondere l’amore per la matematica. 

Matematica benaugurale
In occasione della cerimonia di inaugurazione dell’anno accademico dell’Università degli Studi di Bari Aldo Moro, martedì 6 febbraio Sandra Lucente ha tenuto un intervento, seguendo il tema del “senso del limite”. È possibile leggere il suo intervento, riportato su MaddMaths!, o ascoltarla direttamente su YouTube, gustandosi fino in fondo il suo modo di presentare una matematica che si esprime attraverso gli oggetti. Il racconto si snoda attraverso i secoli, fino ad arrivare ai giorni nostri e contiene un po’ l’eco del racconto in forma di dialogo presentato in Quanti? Tanti!, il suo ultimo libro. Infatti, il percorso si apre con Euclide, per passare poi ad Aristotele, fare un salto fino a Galileo Galilei e raggiungere infine Georg Cantor, nel tentativo di confrontare e di misurare per comprendere. La partenza è con la frase di Euclide «l’intero è maggiore della parte», mentre Aristotele dice che «il tutto è maggiore della somma delle parti», Galileo Galilei va oltre dicendo che «c’è un tutto non maggiore della sua parte», mentre Georg Cantor conclude con «negli insiemi infiniti l’intero è equipotente ad una sua parte propria»: con i suoi discorsi sull’infinito, Cantor scompagina le carte, ma al tempo stesso ci regala un nuovo paradiso. Con l’ingresso nel Novecento «persino i matematici hanno imparato a rispondere alle domande con la parola “dipende”», che ritroviamo nelle geometrie non euclidee e nella topologia, mentre anche Calvino sembra schierarsi dalla parte di Aristotele quando in una lettera d’amore alla moglie scrive «“io credo che noi due a e b se siamo insieme non valiamo solo la somma a+b ma una quantità maggiore di a+b”». La conclusione è che «Ogni parte è essenziale per l’intero» e viene scandito più volte, nell’ultima parte del discorso, perché sia chiaro, perché si sedimenti dentro l’ascoltatore, perché «è il paradigma con cui dovremmo vivere questo nuovo tempo» e succede esattamente come nel segmento: se togliamo uno degli infiniti punti, non abbiamo più un segmento! 

Tornando a Euclide
Abitando a 40 km di distanza dalla scuola in cui insegno, passo una frazione importante della mia giornata in auto. Ho imparato ad arricchire questi momenti con l’audiolettura dei classici. Ho ripreso in mano I pilastri della Terra di Ken Follett, letto quasi una trentina di anni fa e vi ho ritrovato, con stupore, Euclide. Uno dei protagonisti dice di aver scoperto Euclide e, per quanto uno dei suoi interlocutori riconosca che «Un uomo guadagna sempre se comprende qualcosa!», lui si trova in difficoltà nel tentativo di far capire l’importanza di quanto ha appreso: «Ora che capisco i principi della geometria posso trovare soluzioni per problemi nuovi che sconcertavano il mio patrigno». Ciò che lo sconcerta di più è il metodo di Euclide, che, a partire dai cinque assiomi, «deduce tutto il resto per mezzo della logica». 

Elogio della matematica
L’elogio della matematica di Enrico Bucci, comparso su Il foglio il 29 gennaio scorso, è il naturale proseguimento di una riflessione scaturita da un confronto sui social, in seguito alla condivisione del lavoro fatto dai miei alunni sull’indagine statistica. Per necessità di sintesi, sui social ho condiviso solo l’incipit dell’articolo, nel quale era presente la frase del medico dal quale è scaturita, poi, la mia idea di svolgere un’indagine statistica. Uno dei miei contatti ha ribadito in un commento che davvero la matematica non serve a nulla, ma, ha proseguito: «potrebbe servirti per essere libero di scegliere che vita fare in futuro». Si tratta del collega che gestisce il profilo @uselessmaths, che porta già nella scelta del nome la sua convinzione. Enrico Bucci parte dalla stessa base e conclude ribadendo un passaggio importante e cioè che per motivare davvero gli alunni, dovremmo disabituarli «al perenne suono della domanda “a che serve”, per educarli invece a quello della domanda “perché”». L’importanza della matematica si esprime nel fatto che è il linguaggio con il quale si esprime la nostra mente ed è l’unico modo per condividere senza rischiare ambiguità: «La conoscenza della matematica è direttamente proporzionale alla nostra capacità di formulare, esaminare e comunicare questa forma di pensiero di cui costituisce il linguaggio più appropriato». 

Per concludere, ricordo che: «Ogni anno, in occasione di questa giornata, l’IMU organizza un concorso interattivo aperto a tutti, e per il 2024 si tratterà della Math Remix – 2024 creative challenge, una sfida atta a vedere la matematica nel nostro ordinario, a riconoscere schemi in quello che vediamo tutti i giorni e immortalarli in un’istantanea.» C’è tempo fino al 4 marzo e tutte le informazioni si possono trovare sul sito di MaddMaths! 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela 

PS: Traduzione della vignetta: “Ok, Calvin, controlliamo i tuoi compiti di matematica.” “Non facciamolo e diciamo di averlo fatto.” “La tua insegnante dice che hai bisogno di spendere più tempo sugli esercizi. Siediti.” “Più tempo?! Ho già speso dieci interi minuti! Dieci minuti! Sprecati! Giù per lo scarico!” “Qui hai scritto 8+4=7. Lo sai che non è giusto.” “E va bene, ho sbagliato di un po’. Fammi causa.” “Non puoi aggiungere cose e ritrovarti con meno di quello che avevi in partenza!” “Certo che posso! È un paese libero! Ho i miei diritti!”