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«Le geometrie oltre Euclide» è stato pubblicato da Scienza Express a maggio 2024. L’autore, Alberto Saracco, è docente di geometria presso l’Università di Parma ed è un noto divulgatore: su YouTube è presente con il celebre canale che porta il suo nome, mentre su Instagram è noto come Un matematico prestato alla Disney, infine collabora con il sito MaddMaths!
Il sottotitolo «Misurare la Terra, descrivere l’Universo» delinea il percorso che ci viene proposto: a partire dalla geometria degli antichi egizi, attraverso una crescente astrazione, la storia di questa disciplina ci porta al fine della geometria e ai tempi moderni, con la descrizione dell’Universo. Nella premessa Alberto Saracco dichiara che racconterà «in maniera leggera e divulgativa la storia della geometria»: lo stile è sicuramente leggero e divulgativo, ma accanto a temi di facile lettura, ci sono argomenti più complessi e tecnici, perché, essendo un insegnante, l’autore non può rinunciare a sfidare il lettore, dato che gli piace «stimolare un lavoro maggiore da parte di chi vuole – e può – impegnarsi». Alberto Saracco non è uno storico ma un divulgatore e un geometra differenziale e complesso, perciò la prospettiva con la quale ci mostra la geometria è particolare. L’obiettivo principale resta quello di «accendere o alimentare la passione per la matematica in chi legge». Il percorso proposto è stato prima un laboratorio presso il Liceo Marconi di Parma, realizzato più di un decennio fa, poi un seminario al Festival della Scienza di Genova nel 2018, e, grazie all’incoraggiamento di Daniele Gouthier nel 2022, è diventato un libro.

La storia della geometria comincia con i tenditori di corde dell’Antico Egitto, che avevano come obiettivo quello di misurare la terra, da qui il termine geometria; i Babilonesi in qualche modo arricchiscono questa branca del sapere con delle conoscenze teoriche mentre i greci ci presentano una geometria sintetica, che permette una comprensione profonda. Attraverso vari indizi possiamo ricostruire le caratteristiche della geometria greca: il ragionamento è fondamentale, come ci ricorda il monito di Platone all’ingresso della sua scuola, la fatica è necessaria, non esistono strade alternative per evitarla, e il sapere che viene costruito non ha come obiettivo l’utilità. Con il passare del tempo, la geometria acquisisce sempre maggiore astrazione, e con la scuola pitagorica si arricchisce della dimostrazione, mentre Euclide non fa altro che sistematizzare il sapere guadagnato fino a quel momento. Con la geometria analitica si passa a una geometria più tecnica, grazie ad un’algebra che si è evoluta, da descrittiva in simbolica, grazie ai contributi di Al Khwārizmī.
Esaurita la prima parte del percorso, probabilmente nota a molti, almeno per sommi capi, si arriva al centro della narrazione: dopo il tentativo di Saccheri di liberare Euclide da ogni macchia nel 1733, dimostrando per assurdo il quinto postulato, nel 1830 nascono le geometrie non euclidee con Lobačevskij e Bolyai, che non temono gli «strilli dei beoti» come Gauss, ma non godono certo, durante la loro vita, di un grande riconoscimento. Queste risposte fuori dagli schemi portano a un fiorire di interesse attorno alla geometria e alla nascita di nuove geometrie, che, contrariamente agli obiettivi di inutilità dei greci, si rivelano estremamente utili per descrivere l’Universo. A questo fa seguito il programma di Erlangen di Klein, che nel 1872 definisce la geometria come «studio delle proprietà invarianti sotto l’azione di un certo gruppo di trasformazioni», mentre Hilbert procede con l’assiomatizzazione della geometria euclidea, esplicitando anche quegli assiomi che Euclide riteneva sottintesi. Insomma, da una geometria rigida come quella euclidea, l’astrazione ha portato a geometrie più flessibili che, avendo meno strumenti a disposizione, sono adatte per più figure: con questa varietà di geometrie «possiamo capire meglio il mondo matematico, sfruttando di volta in volta la geometria più adatta.» Le nuove geometrie permettono di fare passi avanti in diversi campi: la geometria differenziale permette di descrivere l’Universo, come ha fatto Einstein attraverso la relatività generale, la geometria proiettiva permette di capire come funziona la vista, e la topologia con i grafi descrive le connessioni neurologiche, ma non solo. In altre parole, questa geometria si rivela uno strumento indispensabile per indagare e comprendere la vita, l’Universo e tutto quanto.

Il libro è stato pensato per gli studenti delle superiori: è alla loro portata anche se, per accedere alla bellezza della matematica, è sempre necessario compiere un po’ di fatica. I box offrono un’occasione di approfondimento e un’ulteriore sfida di apprendimento, proponendo il metodo iterativo di Archita per il calcolo delle radici quadrate, i paradossi di Zenone, le sfere di Dandelin, le equazioni di secondo grado risolte con il metodo di Cartesio e le varietà. Insieme agli enunciati di alcuni teoremi e di assiomi, troviamo anche alcune dimostrazioni, perché «parlare di matematica senza mai toccare con mano una dimostrazione è ingannare il lettore»: non c’è bisogno di spaventarsi, però, perché seguendo il percorso un passo per volta, si riesce a comprendere tutto. La narrazione è arricchita dalle illustrazioni di Nicole Vascotto, che permettono di capire ancora meglio il tema, anche se non manca il monito di Poincaré: «La geometria è l’arte di ragionare bene su disegni fatti male». Il libro è ricco di matematici, alcuni più famosi di altri, ma l’autore ricorda che «difficilmente una scoperta scientifica o matematica può essere considerata la scoperta di un singolo individuo», a partire dagli Elementi fino alle scoperte più recenti.

Il lavoro di Alberto Saracco è particolarmente ricco: non è solo un percorso storico, ma un viaggio ragionato e di ragionamento nella terra delle geometrie, che ci permette di notare come il ruolo della geometria sia cambiato nel corso dei secoli e come l’apertura di nuove strade abbia aperto nuovi campi di applicazione, fornendo risposte sempre più interessanti e ampie. Un libro pensato per gli studenti delle superiori che in qualche modo sopperisce alle carenze di percorsi di studio per i quali sembra esistere solo la geometria analitica, visto che persino quella euclidea è ritenuta spesso troppo impegnativa per essere insegnata al biennio. Un libro per aprire gli orizzonti di ognuno e per permettere a tutti di cogliere fino in fondo la bellezza della geometria.

Alla ricerca di ispirazione per il Carnevale della Matematica, con il tema “matematica estiva” lanciato da Maurizio Codogno, faccio scorrere le foto della scorsa estate e realizzo che le foto di prati verdi e boschi rigogliosi che costellano in genere le mie estati (sono un’appassionata di camminate in montagna) si alternano a foto di bottiglie di Klein colorate realizzate all’uncinetto, di pantaloni molto ampi e altre amenità legate alla topologia. Dal 2016 ad oggi, le mie estati sono state arricchite dalla preparazione dei laboratori per il Festival di BergamoScienza, che si tiene ad ottobre, e, quindi, so che anche quest’anno la mia matematica estiva sarà ricca di prospettiva, visto che il mio cellulare già esplode di fotografie inerenti disegni prospettici, illusioni ottiche, anamorfosi, carte geografiche e tanto altro.

Vorrei concentrarmi, però, in questo caso, sulla matematica in montagna: il mio occhio ormai allenato (ossessionato, direbbe qualcuno) è abituato a individuare la matematica ovunque, e, mentre sono impegnata a raggiungere la meta del giorno, la mente vaga e cerca la matematica nella natura.

Comincio con gli straordinari giochi di luce che sul finire dell’estate interessano le due montagne (sacre, per gli antichi Camuni) che si fronteggiano nella Media Valle Camonica, il Pizzo Badile, protagonista al mattino, e la Concarena, che si ammanta di luce al tramonto. I raggi di luce, che all’Equinozio proiettano l’ombra delle montagne nel cielo, si mostrano come semirette con un’origine comune.

Quando si cammina in montagna, uno dei problemi con i quali ci si confronta di più è quello della pendenza: sono in bilico tra una terza e una quarta liceo scientifico e realizzo che quella che abbiamo visto fino a questo momento come pendenza della retta (ed esplorato in lungo e in largo anche con la cinematica e i diagrammi dei moti unidimensionali), ora diventerà la tangente dell’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse, visto che cominceremo ad aggirarci tra i meandri della goniometria. La pendenza ha un ruolo determinante nella scelta di una camminata in montagna, perché non conta solo il dislivello che si deve colmare per raggiungere la meta, ma anche lo sviluppo del percorso. Diciamo che la pendenza è forse l’aspetto matematico più bistrattato durante le camminate di gruppo: il tratto che per chi ha allenamento e abitudine alla fatica è in genere un falso-piano, per chi è affaticato diventa una salita ripidissima.

«… chi va in montagna mi capisce al volo: una di quelle volte che ti sei alzato la mattina presto, stai sudando ormai da ore come un becco, sotto lo zaino, verso il rifugio che è là… son tre ore che è là… perché li spostano! Ci ho messo anni a capirlo: lo fanno per il tuo bene ma li spostano, chiaro!» [dal monologo teatrale di Marco Paolini Il racconto del Vajont]

Camminare in montagna aiuta a mettere le cose in prospettiva, per questo l’attività ha degli innegabili benefici psicologici, ma fa anche vedere le cose da un’altra prospettiva: «Tu sei là che ti domandi chi è che te l’ha fatta fare tutta ‘sta fatica, ti casca l’occhio indietro un attimo, e capisci da solo che valeva la pena di fare tutta la fatica del mondo per arrivare là, in quel momento li, perché giù, il fondo valle da dove sei partito, è già coperto di nuvole, ma tu ormai sei sopra. È limpido sopra. A trecentosessanta gradi hai le montagne, le crode, (…) che ti par di poterci volar sopra come un rapace» [Marco Paolini] Infine, la prospettiva cambia la nostra percezione delle altezze:

La seconda foto è stata scattata dal fondo valle, mentre la prima è stata scattata dal Bivacco Adamone, che si trova a un’altitudine di 1456 m. La percezione che si ha dal fondo valle delle altitudini è ben diversa dalla realtà: il Pizzo Badile ha un’altitudine di 2435 m, mentre la conca del Tredenus che lo circonda possiede parecchie cime, tutte più alte, ad esempio: Cima del Dosso (2785 m), Cima Meridionale (2796 m), Corno delle Pile (2805 m). Ecco spiegati gli inganni della prospettiva e, forse, anche il motivo per cui tendiamo a stimare la meta più vicina di quanto non sia.

Lungo il cammino, fra la vegetazione possiamo riconoscere delle felci: costituiscono un ottimo esempio di frattali, dei quali prima di BergamoScienza 2018 e della costruzione del grande triangolo di Sierpinski avevo un’idea molto vaga. Secondo la definizione di Wikipedia, «un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale». Infatti, anche se concentriamo la nostra attenzione su un piccolo rametto di felce, questo potrebbe essere, nella giusta scala, la felce più grande dalla quale è stato preso.

Se abbiamo la fortuna di andare in montagna dopo una nottata di pioggia, oltre a poter apprezzare maggiormente il panorama, che è più limpido, potremmo anche imbatterci in una lumaca che attraversa il sentiero. Ma la spirale sul suo guscio è logaritmica o archimedea? La spirale archimedea mantiene costante la distanza tra due spire successive, mentre per la logaritmica questa distanza cresce secondo una progressione geometrica. Mi sono portata a casa la domanda e ho cercato, nei giorni successivi, una risposta. L’ho trovata nel blog Base 5 di Gianfranco Bo, il quale ipotizza anche una risposta sul motivo per cui la spirale della chiocciola sia logaritmica: la chiave potrebbe essere nella necessità del mantenimento della forma durante la crescita, ma per un approfondimento non resta che dare un’occhiata al suo lavoro.

Ritroviamo il lavoro di Gianfranco Bo anche nel post I fiori di Fibonacci del blog Sanoma. In effetti, ammirare i fiori, in montagna o altrove, rimanda sempre alla successione di Fibonacci, la sequenza di numeri che comincia con la coppia di 1 e prosegue autogenerandosi: il terzo numero è la somma dei primi due (2) e così ogni numero è la somma dei due che lo precedono, facendoci ottenere 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89… Nel mio collage di foto compare del Semprevivo dei tetti, esempio matematico classico come possiamo vedere in questa mostra fotografica organizzata dall’Università di Pisa, il fiore del Ginepro, la minuartia austriaca, per me ottimo esempio di pentagono regolare, la genzianella primaverile, che spicca per il suo colore, la primula comune, che possiamo trovare anche senza bisogno di salire ad alta quota, il papavero alpino retico, la macchia di colore che spunta tra le rocce, e infine la mitica stella alpina.

Se durante la camminata raggiungiamo un laghetto, come nel caso del Lago Smeraldo in Val di Non o del lago d’Aviolo in Valle Camonica, si può osservare la simmetria assiale all’opera. La bellezza, in questo caso, è duplicata, grazie all’armonia delle forme e ai colori, che ci restituiscono il sapore di un lago incontaminato.

Anche i corsi d’acqua regalano grandi soddisfazioni matematiche: ogni volta che mi affaccio sulla Valle Adamé e vedo il serpeggiare del torrente Poia, che di anno in anno scava sempre di più il suo percorso creando nuove anse, non posso che ricordare la presenza nascosta del pi greco. Il matematico Hans-Henrik Stolum, in un lavoro pubblicato su Science nel 1996, ha mostrato che se si divide la lunghezza effettiva di un fiume, dalla sorgente alla foce, per la sua lunghezza in linea d’aria, si ottiene, approssimativamente, pi greco. Sul sito Matematica Russell, curato dal dipartimento di matematica e fisica dell’omonimo liceo di Roma in collaborazione con gli studenti, troviamo una precisazione: «Questo rapporto, però, non è una legge, infatti il rapporto di pi greco si trova più comunemente in quei fiumi che scorrono attraverso pianure che hanno un dislivello molto tenue.» Il torrente Poia ha, appunto, le caratteristiche necessarie.

Il penultimo tassello di questa camminata in montagna rimanda alle tassellazioni (che per quanto mi riguarda assocerò sempre alla prima esperienza con i laboratori di BergamoScienza): questo ultimo tratto del sentiero che porta al Lago della Vacca, realizzato con il granito dell’Adamello, ricorda in qualche modo una tassellazione. È un tratto pianeggiante, durante il quale si può ammirare il panorama, senza essere sovrastati dalla fatica.

L’ultimo passo, però, è quello più goloso: ormai raggiunta la meta, si può accedere al Rifugio, per riposare, riscaldarsi con un bel tè caldo e mangiare una fetta di torta. La mente, ormai allenata a trovare la matematica ovunque, non può che ritrovare la scodella di Galileo tra le tipiche scodelle dei rifugi, e chiedere di avere un settore circolare abbastanza ampio, quando sceglie la torta che preferisce.

La scelta di visitare Padova, con una seconda liceo scientifico, non è certo stata casuale, considerati i 18 anni che Galileo Galilei ha passato in questa città (i migliori della sua vita*). Padova può, quindi, essere considerata la culla della scienza moderna e, visto che in seconda liceo scientifico in fisica si affronta lo studio della cinematica, che si completa poi, nella seconda parte dell’anno, con la dinamica, Padova diventa una tappa obbligata.

Il passaggio da Palazzo Bo è stato il primo passo alla scoperta di questa città, in un percorso che si è arricchito di matematica ad ogni passo.

A Palazzo Bo abbiamo avuto modo di visitare il teatro anatomico, con la sua struttura ellittica a cono rovesciato, come un anfiteatro romano, con sei ordini concentrici. Ripensando alle dimensioni della struttura, non si può non rimanere colpiti dall’illusione ottica che fa percepire il teatro come se fosse più piccolo. Le sei ellissi accoglievano gli studenti che dovevano assistere alle autopsie e potevano contenere fino a 250 spettatori.

Il teatro anatomico fotografato dal basso verso l’alto, e il modellino presente nell’anticamera, che permette di coglierne l’intera struttura.

L’ellisse ci ha accolto anche a Prato della Valle, dove ci siamo recati per un pranzo sul prato: con i suoi 90.000 m² è una delle piazze più grandi d’Europa e le 88 statue (in realtà, dopo il passaggio di Napoleone, 78) permettono di incontrare il matematico Giovanni Poleni e anche Galileo Galilei, al quale manca il dito medio della mano destra.

La statua n° 36, raffigurante Galileo Galilei, e uno scorcio del canale che delimita il parco

Purtroppo, la struttura di Prato della Valle si può cogliere bene solo osservandola dall’alto, e per quanto sia stato meraviglioso il panorama che abbiamo goduto dalla Specola, il nostro sguardo non ha potuto raggiungere Prato della Valle.

La Specola di Padova è stata sede dell'Osservatorio Astronomico ed è ora una delle più importanti strutture di ricerca dell'Istituto Nazionale di Astrofisica. Nella Sala della Meridiana, abbiamo potuto ammirare le ellissi delle orbite dei pianeti (tra i quali, vista l’antichità del dipinto, mancano Urano e Nettuno – insieme a Plutone, pianeta-nano) nell’affresco del sistema solare. Non può mancare, nella stessa sala, l’analemma (più propriamente lemniscata) che, con la sua forma a 8 deformato, descrive la posizione del Sole nei diversi giorni dell’anno.

L’affresco del Sistema Solare e la meridiana tra i piedi degli studenti

Dalle ellissi alle circonferenze il passo è breve, visto che la circonferenza è un’ellisse con i fuochi coincidenti. Nella Sala delle Figure, sulle pareti troviamo rappresentati, a figura intera, otto scienziati, Tolomeo, Copernico, Tycho Brahe, Galileo, Keplero, Newton, Montanari e Poleni. Secondo quanto riportato nella nota numero 9 di questo lavoro di Valeria Zanini, L'eredità scientifica e culturale di Giuseppe Toaldo, a 300 anni dalla nascita, «Giovanni Santini (1787-1877), terzo direttore dell’Osservatorio, decise che la volta fosse ridipinta con una serie di cerchi concentrici di stelle su sfondo azzurro. Tutto attorno furono dipinte, in medaglioni, le effigi di sedici celebri astronomi e matematici: Ipparco, Tolomeo, Copernico, Galileo, Keplero, Cassini, Newton, Maraldi, Bradley, Herschel, Lagrange, Laplace, Bessel, Gauss, Piazzi, Oriani.» Anche il quadrante presente nella Sala delle Meridiane riporta alla circonferenza, trattandosi di un quarto di cerchio, ma ce n’è uno anche nella Sala delle Figure.

Con le sue cupole e i suoi rosoni, anche la Basilica del Santo ci parla di circonferenze.

A Palazzo Bo abbiamo ritrovato anche una spirale, nella stele di Giò Pomodoro dedicata a Galileo Galilei, ma la spirale ha dominato anche tra fossili, ammoniti e chiocciole al Museo della Natura e dell’Uomo, lungo il percorso Evolution-Revolution.

All’inizio della nostra visita guidata al museo, ci siamo imbattuti in una lemniscata (o in un simbolo di infinito, se preferite) come a farci presente, fin da subito, che il percorso dell’evoluzione non avviene in linea retta. Al tempo stesso, le dimensioni ci hanno permesso di notare come l’uomo costituisca solo un piccolo tassello, visto che occupa un piccolo segmento nel Quaternario.

Della nostra visita a Palazzo Bo vanno sottolineate, in chiusura, due cose: la prima è la statua di Elena Lucrezia Cornaro Piscopia, prima donna al mondo a ottenere una laurea, il 25 giugno del 1678. Un ricordo di lei è presente anche nella Cattedrale, in quanto oblata benedettina. Citando la voce a lei dedicata su Wikipedia: «Figlia di un nobile della Repubblica di Venezia che ne favorì in tutti i modi l'educazione, a diciannove anni prese i voti come oblata benedettina, proseguendo gli studi di filosofia, teologia, greco, latino, ebraico e spagnolo. Ormai nota agli studiosi del tempo, a partire dal 1669 fu accolta in alcune delle principali accademie dell'epoca. Quando il padre chiese che la figlia potesse laurearsi in teologia all'Università di Padova, il cardinale Gregorio Barbarigo si oppose duramente, in quanto riteneva "uno sproposito" che una donna potesse diventare "dottoressa", perché avrebbe significato "renderci ridicoli a tutto il mondo".»

L’ultimo ricordo che portiamo con noi, al termine di questa visita, è la Scala del Sapere di Gio Ponti: rappresenta il cammino della conoscenza di ogni studente durante la sua carriera e il termine, «Ancora imparo», in cima alla scala – dove ritroviamo uno studente ormai anziano che non è più nemmeno in grado di reggere i libri – ricorda a tutti noi che la vita stessa è un percorso di apprendimento che non ha mai fine.

Questo è solo un assaggio di ciò che si può trovare a Padova: c'è anche molto altro, come ho scoperto nel libro La scienza nascosta nei luoghi di Padova, presentata come "geografia scientifica urbana" da Telmo Pievani.

* Galileo Galilei si è trovato così bene a Padova, che qualcuno ha deciso per lui che dal 2 agosto 1823 la sua quinta vertebra lombare, donata dal medico vicentino Domenico Thiene, venisse conservata proprio a Palazzo Bo.

Fotografie realizzate durante la visita di istruzione a Padova, il 3 aprile 2024, con la classe 2AS.

Il libro "La scienza di Talete" (scaricabile gratuitamete dal sito di Gioia Mathesis), del prof. Aldo Bonet, di cui qui è allegata una parte insieme a un articolo scritto per il sito Matematicamente: "L'autore fa una breve introduzione sulle origini dell’astronomia, passa in rassegna le classiche fonti storiche sulla vita e le opere di Talete e sulla cultura dell’antico Egitto, espone un metodo per la misurazione delle altezze delle piramidi che potrebbe essere stato usato dal grande saggio dell'antichità. Immagina anche la realizzazione di un ipotetico distanziometro per misurare dalla costa le distanze delle navi in mare, il quale permette anche di spiegare la scoperta dei teoremi geometrici e la predizione di eventi astronomici che la tradizione attribuisce a Talete."

È inoltre disponibile un articolo del prof. Bonet "Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni", pubblicato in "L'educazione Matematica", Anno X, Serie II, Vol 4, n°3 - Dicembre 1989.

Per contattare l'autore, il sito è www.storiadellamatematica.it.