Daniela Molinari

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Lunedì, 11 Settembre 2023 15:09

Tubi, rose e... impacchettamento

A mia mamma piacciono tantissimo le rose di pesche: un po’ di pasta sfoglia (si compra in rotolo, già pronta!), qualche pesca, un paio di cucchiai di marmellata di albicocche e via in forno!
Per il suo compleanno, non potevano mancare…

 

Ne avevo fatte in quantità e ne sono avanzate 7. Le ho disposte su un piatto, nel modo più “economico” (in termini di spazio) possibile. È la pratica a indicare la strada, ma anche la matematica ci dà una mano:

«Chiunque deve disporre lattine di fagioli in un ampio spazio, può contare su un teorema matematico, noto come Teorema di Thue, secondo il quale la disposizione esagonale permette di raggiungere la massima densità possibile. Pertanto, ancora una volta, come spesso accade con i quesiti matematici, la soluzione migliore risulta essere fondata su una delle strutture più semplici e meglio conosciute.» (R. Eastaway, J. Wyndham, Matematica dietro le quinte, edizioni Dedalo).

Le mie non erano lattine, ma piccoli muffin di pesche, dalla forma tondeggiante, come quelle delle lattine!

Mio papà vede le rose sul piatto. Dice che gli ricordano la Tenaris… strano! Mio papà ha passato quasi tutta la sua carriera lavorativa alla Tenaris e qualsiasi cosa gliela ricorda. Ma questa volta ha ragione: la Tenaris produce tubi e, quando vengono stoccati, sono disposti in modo da occupare il minor spazio possibile, quindi seguendo una struttura esagonale (come quella delle lattine di fagioli!).

«Se il fascio di tubi era più grande, mi pare diventassero 19.»

Il successivo numero esagonale è 19, ma sono numeri esagonali particolari, detti centrati. Così la disposizione dà la sequenza: 1, 7, 19, 37, 61, …

La si può costruire in questo modo: il primo numero è 1, poi si aggiunge 6, ovvero 6x1. L’esagono successivo ha i lati con 3 punti ciascuno, i vertici più il punto medio, perciò possiamo dire che l’esagono successivo avrà perimetro 12, in altre parole 6x2. Quello dopo ancora avrà 18 punti, cioè 6x3… e via così. Quindi, all’ennesimo esagono, avremo: 1+6(1+2+…+n-1), se consideriamo come primo esagono quello degenere e ridotto a un punto solo.

Erroneamente, avevo pensato ai numeri esagonali, ma i veri numeri esagonali sono quelli rappresentati nella figura a destra e la sequenza è diversa: 1, 6, 15, 28, 45, 66, …. Come si può notare, crescono più lentamente e danno luogo a un disegno diverso. Non solo: hanno una formula diversa! Io me la sono costruita e se vogliamo arrivare a 66, otteniamo:

1+(6x1-1)+(6x2-3)+(6x3-5)+(6x4-7)+(6x5-9)=1+6(1+2+3+4+5)-(1+3+5+7+9)=66

Sabato, 09 Settembre 2023 10:53

La valutazione che educa

La riflessione sulla valutazione ha accompagnato il mio percorso fin dall’inizio della mia carriera, forse a causa dei miei trascorsi da studente, tanto che al termine del Corso di Perfezionamento in Didattica della matematica, intrapreso all’indomani della laurea, ho scritto la tesina: «La valutazione in matematica – “Utilizza la valutazione per aiutarti ad insegnare meglio e per aiutare i tuoi studenti ad apprendere meglio”». Il sottotitolo, virgolettato, mi rimanda ad una citazione di cui, però, adesso non so trovare la fonte, ma mi pare riassuma bene anche il libro di Cristiano Corsini, «La valutazione che educa». Ho conosciuto questo libro sui social e ho pensato fosse un buon modo per fare un po’ di aggiornamento nel corso dell’estate. Il mio modo di valutare è sicuramente cambiato molto da quando ho cominciato a insegnare, quasi venticinque anni fa, ma ho realizzato, leggendo le riflessioni di Corsini, che, per quanto certe cose facciano parte di me, del mio modo di fare, da sempre, su altre è importante che lavori ancora.

Per poter incidere positivamente sugli apprendimenti, la valutazione deve avere quattro caratteristiche fondamentali:

  • la tempestività, perché solo una comunicazione immediata dei risultati può renderli efficaci ai fini dell’apprendimento
  • la chiarezza e la partecipazione, la prima requisito indispensabile per la seconda
  • la coerenza tra i criteri valutativi e gli obiettivi
  • l’orientamento verso il futuro, perché ogni valutazione diventi un modo per plasmare il futuro

Per quanto abbia sempre considerato necessaria la tempestività (è inammissibile per me somministrare una seconda prova se non ho corretto la prima), non ho mai ritenuto fondamentale la partecipazione degli studenti, anche se l’utilizzo delle rubriche di valutazione nei compiti assegnati su Classroom è sempre stato il mio modo di aiutare i ragazzi ad aver chiaro il mio metro di valutazione e, al tempo stesso, a conformare alle mie richieste con più facilità. Corsini sottolinea più volte questo aspetto: «La valutazione comunica ciò che è importante apprendere, studentesse e studenti tendono ad agire di conseguenza e focalizzano l’apprendimento in modo da rispondere alle domande più frequenti.» D’altra parte, uno dei primi consigli che diamo ai nostri studenti quando si avvicina l’Esame di Stato è quello di ascoltare la prova orale dei loro compagni per avere un’idea di come si svolge, e quante volte durante l’anno scolastico indichiamo il momento delle interrogazioni come occasione preziosa per capire come orientare lo studio?

Mentre leggevo, meditavo e, per aiutare la memoria, sottolineavo, alcuni passaggi hanno creato in qualche modo una risonanza dentro di me, in parte perché ritrovare in parole ciò che penso ha dato maggiore convinzione al mio agire, in parte perché mi ha permesso di cambiare idea sul mio modo di vedere la valutazione. «La valutazione ha il potere di generare conseguenze che possono essere annichilenti o emancipanti», ed è fuor di dubbio che, se valutiamo per riprodurre invece che per trasformare (concetto ripreso in più parti del libro), la nostra rilevazione non potrà essere un aiuto all’emancipazione. Nell’esercizio del nostro potere come docenti, dobbiamo davvero fare attenzione a non mettere al centro del percorso la valutazione, ma il rapporto con i nostri ragazzi: la valutazione deve essere un mezzo, perché il vero fine è lo sviluppo umano del quale abbiamo piena responsabilità.

Come insegnanti, siamo invitati a rinunciare a ogni forma di monarchia (e peggio ancora di tirannia) e a creare spazio per una democrazia partecipativa. Nello Statuto (1998) degli studenti e delle studentesse è scritto che «Lo studente ha diritto a una valutazione trasparente e tempestiva, volta ad attivare un processo di autovalutazione che lo conduca ad individuare i propri punti di forza e di debolezza e a migliorare il proprio rendimento» e se la rilevazione deve guidare l’autovalutazione, lo studente non può che essere parte attiva in questo processo, perché davvero da questo si generi un’emancipazione. Più e più volte Corsini sottolinea come il docente abbia in mano il futuro dei propri studenti: «Per essere formativa la valutazione deve porsi l’obiettivo di dare forma alle attività future», perché mentre tempestività, chiarezza, partecipazione e coerenza sono le caratteristiche della buona valutazione, l’orientamento verso il futuro è ciò che le dà un senso. Nella mia tesina ho parlato della valutazione come di un «trampolino di lancio per raggiungere nuovi obiettivi», perché durante il percorso scolastico, l’insegnante usa la valutazione per guidare le tappe successive, mentre lo studente può lasciarsi prendere dall’ansia, può accrescere la propria autostima, può ricevere nuova forza per affrontare il resto del cammino. Insomma, la valutazione genera continui cambi di direzione sia nel lavoro del docente, sia nel percorso di apprendimento dello studente: insegnamento e apprendimento sono come due facce di una stessa medaglia e non c’è modo di separarle.
Dopo aver elencato tutti gli ostacoli che possono rendere più difficile la valutazione, partendo dal dato di fatto che non può esistere una valutazione oggettiva, Corsini ne dà una definizione, indicandola come misura della distanza tra gli obiettivi del docente e la realtà rilevata nello studente. Citando Dewey (1859-1952), l’autore richiama la necessità di un atteggiamento scientifico, «una qualità che si manifesta in qualsiasi ambito della vita. In negativo, è la libertà dal dominio della routine, del pregiudizio, del dogma, della tradizione acriticamente accettata, del puro egoismo. In positivo, è la volontà di indagare, di esaminare, di discriminare, di trarre conclusioni solo sulla base dell’evidenza, dopo essersi preoccupati di raccogliere tutte le evidenze disponibili.»

L’ultima parte del percorso è dedicata alle prove OCSE, IEA, INVALSI, partendo dal ruolo politico della valutazione, che viene usata in questo caso per misurare l’efficacia di ogni scuola. Aver rinunciato ad una somministrazione campionaria delle prove, estendendole a tutte le scuole del territorio italiano, ha reso le prove inadatte a misurare le competenze, rendendo necessarie (e più snelle per la correzione) le domande a risposta chiusa. Ricordando che una competenza ha sette dimensioni fondamentali (cognitiva, attiva, metacognitiva, emotiva, sociale, situata e dinamica) e che le prove nazionali e internazionali si occupano solo delle dimensioni cognitiva e attiva, l’autore ne mostra il limite, ricordando inoltre che non è possibile giudicare le singole scuole senza tener conto delle iniquità sociali di cui spesso la scuola si fa carico, ma non esita a elencarne anche gli aspetti positivi, come l’aiuto a «confutare empiricamente» lo stereotipo che «vuole le ragazze “naturalmente” meno competenti dei ragazzi in matematica e scienze», riconoscendolo «imputabile al contesto culturale piuttosto che a presunti fattori biologici».
La conclusione è affidata ad esempi e riflessioni inerenti agli strumenti di rilevazione, distinti tra prove oggettive, tradizionali e autentiche, e alle rubriche valutative, fino a chiudere il percorso con la correlazione tra le scelte valutative fatte dal docente e la motivazione. L’ultimo capitolo, riassuntivo, ripercorre le parole chiave del libro, ricordando i «riscontri descrittivi», l’importanza della «comunicazione di indicazioni di miglioramento», il fatto che voto e valutazione non siano sinonimi e che il voto, diverso dalla misurazione, non abbia una sua valenza formativa, ma ricorda anche come sia importante la flessibilità del docente e come la visione meritocratica della valutazione non faccia che generare nuova rigidità.

Confrontandosi con la valutazione nel suo complesso, senza far riferimento alla singola disciplina, l’autore si limita a richiamare la coerenza tra i criteri valutativi e gli obiettivi, ma non sottolinea che la valutazione ha a che fare con il contenuto anche sotto un altro punto di vista, dato che esso dipende anche dall’idea della disciplina che l’insegnante ha sviluppato nel corso del suo cammino. Per il resto, è una lettura necessaria, perché per quanto non si possa condividere tutto ciò che Corsini ha rilevato, è pur vero che una riflessione sulla valutazione è sempre doverosa, visto che essa mette in gioco (e a volte in crisi) il nostro rapporto con gli studenti.

«Non esistono ricette, dunque. Tuttavia, pedagogia e docimologia possono fornire qualche suggerimento utile.»

Sabato, 02 Settembre 2023 21:27

30 agosto 2023

Verifica di fisica, classe prima liceo scientifico.
Argomento: statica dei solidi e statica dei fluidi

Durata: 120 minuti.

Prova di recupero del debito (settembre)

Giovedì, 31 Agosto 2023 15:17

31 agosto 2023

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: operazioni con radicali, equazioni di secondo grado e di grado superiore, sistemi di secondo grado, disequazioni di secondo grado intere e frazionarie, irrazionali e con valori assoluti.

Durata: 120 minuti.

Prova di recupero del debito (settembre)

Mercoledì, 30 Agosto 2023 13:26

30 agosto 2023

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: cinematica unidimensionale, cinematica del piano e dinamica

Durata: 120 minuti.

Prova di recupero del debito (settembre)

Sabato, 26 Agosto 2023 23:12

210 - 26 agosto 2023

Tempo, creatività e matematica
Il tempo è di difficile definizione: è fuor di dubbio che l’inverno sembri lunghissimo, mentre l’estate si esaurisca in un soffio (soprattutto se la vostra vita ruota attorno alla scuola!), ma non è del tempo come durata quello di cui vorrei parlare: vorrei parlare del tempo necessario a realizzare le cose, il tempo dell’attesa, il tempo impiegato dal lievito per gonfiarsi.
Recentemente Beatrice Mautino, divulgatrice nota sui social come divagatrice, ha guidato una riflessione sul proliferare della divulgazione: «la divulgazione è diventata una cosa anche molto remunerativa […] ma per guadagnare davvero attraverso i social bisogna accettare le regole degli algoritmi che chiedono di avere tanti contenuti (uno o più al giorno), con tempi di fruizione brevi (modello reel)». L’argomento è stato ripreso anche da Dario Bressanini, Ruggero Rollini e tanti altri, che hanno condiviso le proprie esperienze. La pubblicazione frequente genera un abbassamento della qualità e non è difficile intuirne il motivo: per condividere cose di qualità, c’è bisogno di tempo e di creatività e la creatività, appunto, ha i suoi tempi. Parlando di Poincaré in un articolo per Repubblica del 2012, Piergiorgio Odifreddi racconta: «i suoi risultati più famosi, come lui stesso raccontò, gli erano venuti con ispirazioni improvvise: dopo aver bevuto una tazza di caffè, sul predellino di un autobus sul quale stava salendo, passeggiando sulla spiaggia, attraversando la strada... In momenti, cioè, in cui l’inconscio aveva preso le redini del pensiero, dopo che a lungo e consciamente questo si era concentrato sui problemi da risolvere.» A lungo e consciamente, ricorda Odifreddi: la creatività ha bisogno di tempo! 

Tempo di BergamoScienza
Come la chiusura di un anno scolastico, anche la fine dell’estate è tempo di bilanci, e io posso dire di aver speso questa estate a maturare alcune riflessioni sulla topologia: l’abbiamo scelta come argomento per i nostri laboratori di BergamoScienza, ma io non l’ho mai veramente apprezzata a causa di un esame ai tempi dell’università. Abbiamo cominciato il nostro percorso con i futuri animatori, offrendo loro una serie di lezioni propedeutiche in forma di attività o conferenze, a marzo e ad aprile e, al termine dell’anno scolastico, li abbiamo coinvolti in un campus residenziale di tre giorni, durante i quali i ragazzi sono stati invitati a proporre attività e giochi a tema topologico. Questo tempo è servito anche a noi insegnanti per prendere maggiore consapevolezza dei punti cardine che guideranno il nostro percorso. Il Festival si svolge dal 29 settembre al 15 ottobre e questo ci “obbliga” ad un po’ di lavoro estivo: personalmente ho concretizzato la topologia attraverso alcune attività pratiche, unendo la passione per la matematica a quella per l’uncinetto. Tutto è cominciato con una collega che mi ha parlato di una bottiglia di Klein realizzata all’uncinetto: la mia ricerca mi ha fatto accedere a uno schema in Pinterest, ma da questo sono arrivata al blog Arachne’s Loom (la tela del ragno: un arazzo di matematica, musica e arti creative). In uno dei suoi post, Ruth allega lo schema di massima della bottiglia di Klein, ma si lancia anche in alcune riflessioni confrontando lavoro a maglia ed analisi, dichiarando da subito che «Risolvere problemi di analisi, come lavorare a maglia, è un processo meticoloso, e il più piccolo e insignificante errore può rovinare tutto il lavoro successivo. Come lasciar cadere un punto, ad esempio.» Ho ripreso lo schema di Ruth, dopo aver realizzato due bottiglie di Klein, e facendo una descrizione dettagliata di ciò che bisogna fare (sono allegate alla pagina dedicata a BergamoScienza). L’idea era di realizzare un video, ma la registrazione che ho fatto del lavoro non era a fuoco… In realtà, conterei di fare un altro video sulla bottiglia di Klein, ma realizzata in forma più semplice: i due nastri di Mobius necessari sono in preparazione, e li userò come suggerito da quel matto di Cliff Stoll (che a me ricorda un po’ Doc di Ritorno al futuro), che oltre a fare video simpaticissimi, ha anche 1000 bottiglie di Klein sotto la sua casa!
Il mio studio si è reso evidente grazie anche ai pantaloni che ho realizzato, dopo aver visto il filmato Topology riddles, al quale sono approdata mentre cercavo materiali sull’argomento. Nel filmato (davvero bello!) si parla di questi pantaloni realizzati da due matematiche della Cornell University, Tara Holm e Lila Greco, e ho deciso di realizzarli. Ci sono due filmati sull’argomento: nel primo filmato, uno short, presento il funzionamento dei pantaloni, mentre nel secondo descrivo (abbastanza nel dettaglio) la realizzazione dei pantaloni, perché qualcun altro possa provare a farlo. Non sono una sarta professionista, ma una stoffa elastica e una buona macchina da cucire mi hanno fornito un ottimo aiuto, la cosa più interessante, però, è che nel momento in cui spendevo tempo per realizzare queste creazioni, ho avuto modo di riflettere sulle proprietà topologiche di questi oggetti, a un livello di grande consapevolezza, che non sarebbe stato possibile in nessun altro modo. 

Meraviglie di creatività all’orizzonte
Dopo tanto tempo speso in riflessioni (topologiche), la mia creatività è all’apice e mi pare si possa dire lo stesso di tanti miei contatti: Davide e Riccardo del Math-segnale sono “spariti” dal mio radar per un po’, ma ora ne capisco il motivo! Hanno realizzato un bellissimo video, chiaro come sempre e con bellissime animazioni, che ci racconta di una delle tante meraviglie matematiche, la topologia! Dodici: una meraviglia poliedrale è il titolo del video realizzato per partecipare alla terza edizione del Summer of Maths Exposition, organizzato dal canale 3Blue1Brown. La lunghezza del video, il fatto che sia in inglese, e l’argomento stesso (il risultato non è certo banale!) ci obbliga a prenderci del tempo, per poter cogliere fino in fondo la bellezza della matematica e per poter condividere l’entusiasmo che anima Davide e Riccardo!
IlariaF Math ha continuato a proporre contenuti anche durante l’estate ed è riuscita a creare un legame tra le passioni che animano la sua vita: il video che propongo è dedicato al Giappone e, oltre ad essere un resoconto filmato delle sue vacanze, ci regala anche un po’ di matematica, con un simpatico problema di geometria da risolvere, un sangaku. Ho avuto occasione di incontrare Ilaria qui a casa mia nel corso dell’estate e abbiamo avuto modo di parlare un po’ e di confrontarci: è stato un pomeriggio davvero piacevole!
Se si parla di creatività e tempo, non si può non nominare Federico Benuzzi, che approfitta dell’estate per rigenerarsi e per continuare ad allenarsi, dedicando tempo a provare, provare, provare, come ci ricorda in questo video sul senso del suo lavoro e sul senso di spendere tempo per le cose che ci appassionano. Federico ci intrattiene con i suoi approfondimenti sugli argomenti di attualità, come la polemica sull’acqua di Fukushima ad esempio, o con riflessioni, come quella riguardante giornalisti scientifici e divulgatori, che ci racconta anche il suo modo di realizzare video, chiedendo sempre una partecipazione attiva allo spettatore. 

Suggerimenti di lettura
Il primo libro è Il fattore coniglio di Antti Tuomainen, un romanzo che ha come protagonista un matematico attuariale, che legge la vita con le lenti del calcolo delle probabilità e della statistica, perché «fin da bambino avevo capito che la chiave era la matematica. La gente tradiva, i numeri no. Ero circondato dal caos, ma i numeri rappresentavano l’ordine.» La matematica dell’incertezza di Marco Li Calzi ha lo stesso oggetto, ma trattato in forma di saggio: l’autore ha la capacità di rendere accessibile a chiunque la complessità dell’argomento, smontando lo stereotipo secondo il quale la matematica ci può fornire solo certezze. In realtà, la matematica è la nostra arma vincente quando ci troviamo a decidere in condizioni di incertezza e, nella vita di tutti i giorni, decidiamo sempre in condizioni di incertezza! Davide del blog Math is in the air, in occasione dell’uscita del libro, aveva intervistato Marco Li Calzi, ripercorrendo gli argomenti del testo e offrendone così un assaggio ricco di aneddoti e racconti. L’ultima lettura si intitola Slowmath e, purtroppo, non è un libro facile da trovare, visto che non è più in commercio. La rete bibliotecaria mi ha permesso di leggerlo, ma è un peccato che non sia più reperibile, dato che Eugenio Biasin, l’autore, ci mostra con l’esempio il valore del tempo e della creatività in matematica. Il valore del tempo lo percepiamo dalla quantità di recensioni, stimoli e spunti didattici raccolti dall’autore in trent’anni di insegnamento e messi a disposizione di ognuno di noi, un materiale particolarmente ricco per chi si trova all’inizio della propria carriera. La creatività la fa da protagonista e il percorso offertoci da Biasin ci permette di cogliere fino in fondo la bellezza della matematica. 

Buona matematica e buona ripresa delle attività scolastiche! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

 

PS: la traduzione della vignetta, che probabilmente rispecchia ciò che passa per la testa di molti studenti in questi ultimi giorni di vacanza:
«Sono morta»
«Cosa c’è che non va?»
«Devo leggere questo libro di 280 pagine in tre giorni! Sarà come leggere 70 pagine al giorno! Non posso farcela! Sono morta. Sono morta. Sono davvero morta.»
«Veramente sono 93 pagine al giorno…»
«Ho notato che non mi aiuti mai in matematica quando voglio»
«… virgola tre tre tre tre tre tre tre…»

Sabato, 26 Agosto 2023 14:51

BergamoScienza 23

 
Dal 29 settembre al 15 ottobre avrà luogo la XXI Edizione del Festival di BergamoScienza e il nostro Istituto parteciperà, per l'OTTAVA volta, con due laboratori 
Sabato, 19 Agosto 2023 22:17

Slowmath

«Slowmath – Guida alla matematica non competitiva» è stato pubblicato nel 2015 dalla Casa Editrice Aracne. L’autore è Eugenio Biasin, docente di matematica alle scuole superiori, autore di numerosi articoli di didattica della matematica e del libro «Il prof sul lettino», pubblicato da Aracne nel 2010.

Già nell’introduzione l’autore dichiara che il suo obiettivo è quello di offrirci una visione originale della matematica, attraverso la «presentazione di idee matematiche belle, interessanti, di ampio respiro, interne alla disciplina o collegate ad altri aspetti della cultura». Con la prima di una lunga serie di citazioni, dà la parola a Imre Toth, matematico rumeno, che si dice indifferente da sempre «al lato sofisticato dei trucchi matematici. Quello che m’interessava era la struttura interna di questa complessa scienza».

Il libro è diviso in due parti: la prima parte, intitolata «Parole, immagini e protagonisti della matematica», offre un elenco di letture per cogliere la complessità e la bellezza della matematica. I cinque capitoli sono intitolati con lo stesso stile, ovvero quello di un aggettivo che precede l’oggetto del capitolo: così abbiamo «interessanti saggi», «piacevoli romanzi», «divertenti fumetti», «coinvolgenti pellicole» e «secolari congressi». Tra i saggi, raggruppati in biografie, problemi, argomenti e riflessioni, troviamo un elenco di una quarantina di testi, accompagnati da una breve descrizione e, a volte, da alcune citazioni. A questi fa seguito una trentina di romanzi, suddivisi tra ossessioni, vite, storia, filosofia, delitti, fantascienza ed enigmi, mentre il capitolo successivo è dedicato ai fumetti. L’elenco non è aggiornato, ma dà l’idea di un ambito in crescita, esattamente come il capitolo dedicato ai film. L’ultimo capitolo costituisce un collegamento tra le due parti: dopo una breve storia dei congressi internazionali, si parla delle medaglie Fields e dei premi che ad esse si sono aggiunti, come il premio Abel e il premio Gauss. Inevitabile, poi, parlare del Congresso di Seoul, avvenuto nel 2014, durante il quale è stata premiata Maryam Mirzakhani. Tra i numerosi vincitori della medaglia citati da Biasin, troviamo quello che, all’epoca della pubblicazione del libro, era l’unico premiato italiano, Enrico Bombieri, ma non manca una previsione (azzeccata!): «la situazione della ricerca scientifica nel nostro paese non è certo delle più rosee, ma di bravi matematici ne abbiamo eccome, molti dei quali attivi in università e centri di ricerca di primo piano nel mondo. Uno fra tutti Alessio Figalli…», vincitore della Medaglia Fields nel 2018.
La seconda parte è intitolata «Forme, numeri e idee» e offre una serie di percorsi, tra quelli ritenuti più significativi da Biasin, che si aprono con «La sorprendente relazione di Eulero». Dopo una riflessione sulla necessità dell’insegnamento della geometria, l’autore cita questo teorema, di natura topologica, e, dopo la dimostrazione, presenta tre interessanti conseguenze. «La misteriosa quarta dimensione» è oggetto del secondo capitolo, che si apre con una citazione tratta dal celebre «Flatlandia», e, dopo le rappresentazioni dell’ipercubo, approda ai politopi quadridimensionali. La conclusione del capitolo è dedicata a Mister Politopo, Donald Coxeter, matematico che ha contribuito allo sviluppo della geometria quadridimensionale. Da lui a Escher, il passo è breve, come scopriamo nel terzo capitolo, intitolato «Le meravigliose Coxeter-azioni di Escher»: le xilografie «Limite del cerchio» sono nate da una rappresentazione di Coxeter. Con «Gli intriganti segreti della moderna crittografia», l’autore non ha paura di darci definizioni rigorose e di guidarci nelle dimostrazioni, mentre un esempio ben orchestrato ci permette di capire il funzionamento dell’algoritmo RSA. L’ultimo passo è quello più coraggioso, da un punto di vista concettuale, visto che è dedicato a «L’inattesa incompletezza della matematica»: i celebri teoremi di Gödel guidano il percorso e ci riportano alle radici filosofiche della matematica.

La prima parte costituisce un’introduzione alla seconda, nella quale Biasin ci accompagna in un percorso studiato ad arte. Purtroppo, molti tra i numerosi suggerimenti di lettura della prima parte sono poco accessibili, se non grazie alle biblioteche: difficilmente i testi divulgativi di matematica diventano dei best seller («Il teorema del pappagallo» è più un’eccezione che una regola) e, se non li si acquista al momento della pubblicazione, diventa difficile reperirli quando è passato un po’ di tempo. Anche il testo di Biasin ha subito la stessa sorte e mi è stato possibile leggerlo solo grazie alla rete bibliotecaria. Personalmente, lo ritengo un ottimo approfondimento e, per gli insegnanti, l’occasione di accedere a un’esperienza trentennale, quella dell’autore: la sua scelta di condividere con il lettore una cultura costruita nel tempo non può che lasciarci meravigliati di fronte alla sua passione per la matematica.

Giovedì, 17 Agosto 2023 20:57

Il fattore coniglio

«Il fattore coniglio» è un romanzo pubblicato a marzo 2023 dalla casa editrice Mondadori per la collana Strade Blu. Primo romanzo di una trilogia, dovrebbe essere seguito da «Il Paradosso dell’alce», non ancora pubblicato in Italia, e «La teoria del castoro», che verrà pubblicata in Finlandia a ottobre del 2023. L’autore è Antti Tuomainen, copywriter pluripremiato, che nel 2007 ha fatto il suo debutto letterario, ottenendo grandi soddisfazioni e premi anche come scrittore.

Il protagonista della trilogia è Henric Pekka Olavi Koskinen, un attuario quarantaduenne, convinto di poter trovare qualsiasi risposta nella matematica: «Fin da bambino avevo capito che la chiave era la matematica. La gente tradiva, i numeri no. Ero circondato dal caos, ma i numeri rappresentavano l’ordine.» La sua vita così ordinata e prevedibile, basata su un equilibrio che pare cristallizzato – «Vivo per conto mio, da solo. Considerate tutte le variabili stocastiche, è di gran lunga l’opzione più sensata» – viene sconvolta. Dapprima, dopo anni di lavoro come attuario presso un’assicurazione, impegnato a valutare i rischi attraverso il calcolo delle probabilità, si dimette, «perché non sopportavo di vedere il mio posto di lavoro trasformato in un parco giochi». Poi, all’inaspettata morte del fratello, riceve in eredità proprio un parco divertimenti, o, come precisa lui stesso più volte, un parco avventura. Purtroppo, riceve in eredità anche un grande debito, dovuto al vizio del gioco del fratello, e questo, attraverso una serie di imprevisti, sconvolge la vita di Henric fino a farlo dubitare di riuscire a risolvere i suoi problemi con la matematica, come ha sempre fatto.

Il libro è davvero interessante perché offre un modo esilarante di considerare la matematica, attualizzandola e mostrandone l’efficacia nella quotidianità. Oltre all’originalità del protagonista, c’è la suspence che ci fa sentire la necessità di andare oltre, dalla prima all’ultima pagina, nella speranza di riuscire a trovare una soluzione che possa in qualche modo portare un vantaggio al protagonista, «un attuario […] aduso alla logica e alla prevedibilità; in una parola, a ragionare». È proprio questo suo modo di interpretare la realtà che a un certo punto presenta un limite: è come se la matematica non fosse adatta per interpretare il mondo che ci circonda, perché la maggior parte delle persone non agisce in base alla logica e sembra che l’arma di difesa di Henric sia ora inefficace.
Nel racconto non mancano riflessioni sulla vita, date dalle citazioni di Schopenhauer (che è anche il nome del gatto del protagonista) che nel suo saggio “Della vanità e dei dolori della vita” parla dell’esistenza umana come di un debito per il quale «la richiesta di pagamento assume la forma dei bisogni pressanti, dei desideri tormentosi e delle infinite miserie che l’esistenza stessa ha creato». Ad una vita che avviene nel peggiore dei mondi possibili, si contrappone l’interpretazione di Leibniz, che parla di «migliore dei mondi possibili», ma per Henric è più attendibile il filosofo, perché, dati i problemi che si trova ad affrontare, «trovare una soluzione a questi problemi è una questione di vita o di morte, letteralmente». La copertina del libro, invitandoci alla lettura con conigli dispersi tra formule matematiche, ci ingolosisce parlando di «un esilarante noir pieno di amore, morte e matematica attuariale» ed è l’amore per Laura, la direttrice del parco, a sovvertire l’ordine più che mai, visto che le parole di Henric non sono più «il risultato né di un pensiero critico né di alcun processo computazionale» come invece avveniva in precedenza.

La successione degli eventi è così assurdamente improbabile da rendere impensabile una soluzione matematica, forse proprio perché il protagonista appare così rigido: è solo apparenza, perché la matematica regala una flessibilità tale da permettere ad Henric di cavarsela.

Giovedì, 17 Agosto 2023 20:54

La matematica dell'incertezza

«La matematica dell’incertezza» è stato pubblicato nel 2016 dalla casa editrice Il Mulino nella collana Intersezioni. L’autore è Marco Li Calzi, docente presso l’Università Ca’ Foscari di Venezia e direttore del Collegio Internazionale, appassionato di teoria delle decisioni e teoria dei giochi.

Abitualmente, associamo la matematica alla certezza, tanto che di un’affermazione di cui non si può dubitare diciamo che “è matematicamente certa”, perciò, già dal titolo, è chiaro che non si potrà che parlare di probabilità, e “Probabilità” è la parola con cui si apre il preludio. «Spero di convincerti che la vita quotidiana ti espone a più rischi e a più incertezza di quanto credi», scrive Li Calzi, dichiarando fin da subito il proprio obiettivo. Se analizziamo la nostra quotidianità, possiamo constatare che le decisioni vengono prese in condizioni di incertezza, valutando i rischi o le probabilità, in molti ambiti della nostra vita, dalla medicina alle assicurazioni. Che ci piaccia o no, siamo immersi nella matematica ed essa «sa trovare (e mettere) un po’ di ordine quando il caso sembra divertirsi a scombinare tutto».

Siccome l’incertezza ha molte facce, Marco Li Calzi ha dedicato un capitolo ad ogni faccia del classico dado cubico, raccontando sei storie che possono essere lette in ordine o, appunto, lanciando un dado e lasciandosi guidare dal caso nella scelta. Alea, opinione, ipotesi, decisione, premio e rischio sono le parole-chiave dei sei capitoli. Si comincia con «Correre l’alea», che racconta i primi passi del calcolo delle probabilità, a partire dal famoso “Alea iacta est” di Cesare, fino alla celebre partita incompiuta discussa da Pascal e Fermat. Nel capitolo «Formulare un’opinione» si contrappongono la conoscenza – che è certa, perché possiamo distinguere una proposizione vera da una falsa – e la probabilità, per la quale dobbiamo formarci un’opinione, soppesando i pro e i contro. «Si può colorare la conoscenza certa in bianco e nero, ma per la conoscenza probabile servono molte sfumature di grigio», come ci ricordano pubblici ministeri, scienziati e medici. Nel terzo capitolo, «Azzardare un’ipotesi», Li Calzi descrive il «congegno aleatorio del tipo che i probabilisti amano chiamare urna», abituando il lettore al linguaggio probabilistico a suon di esempi realistici e reali, e di metafore significative e semplici da cogliere, fino a spiegare il paradosso di Simpson e il significato della distribuzione gaussiana. In un crescendo di difficoltà, il quarto capitolo spiega come «prendere una decisione»: partendo dalla scelta se portare con noi l’ombrello, l’autore arriva a distinguere tra decisioni meditate e calcolate, che richiedono tempo, e decisioni istintive e spesso inconsapevoli, che hanno il pregio dell’immediatezza, paragonandole alle scelte del dottor Jekyll e del signor Hyde e obbligando il lettore a prendere delle decisioni per mettersi alla prova. Il capitolo «Valutare un premio» permette di immergersi nel linguaggio delle assicurazioni, i contratti aleatori più comuni (e più noti), ma la conclusione, insospettabile, ci porta ad esplorare il moto browniano, dopo aver seguito lo sviluppo delle scienze attuariali. Dalla nascita delle assicurazioni, con la necessità di tutelare in qualche modo i commerci marittimi, nel sesto capitolo si arriva ad «affrontare il rischio», attraverso la matematica che contribuisce «a definire la natura e a calcolare la dimensione di alcuni rischi», a partire dal lavoro di de Moivre nel Settecento.
Le postille finali sono sei importanti citazioni che richiamano le sei parole chiave che hanno guidato la narrazione e, a dimostrazione del fatto che l’incertezza investe davvero ogni settore della nostra vita, gli autori sono un biologo, un giornalista, uno scrittore, un filosofo, un astronauta e un consulente aziendale. La chiusura è originale: le citazioni avrebbero potuto essere messe in apertura di capitolo, come un’introduzione dell’argomento, mentre poste alla fine e tutte insieme acquisiscono un significato diverso, come un riassunto e un’ulteriore evidenza dell’onnipresenza dell’incertezza.

La narrazione è arricchita da numerose citazioni letterarie (Trilussa, Shakespeare, Kierkegaard, Borges, Omero, Montale…), tabelle, schemi, disegni e grafici regalano grande chiarezza, gli aneddoti alleggeriscono il percorso divertendo, e i numerosi esempi offrono ai docenti interessati un ricco campionario al quale attingere durante le lezioni sull’argomento.
La lettura è consigliata a tutti, anche solo per diventare maggiormente consapevoli dell’incertezza che permea le nostre vite e, magari, per acquisire qualche strumento in più per gestirla.

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