Ogni volta che mi trovo ad assistere alla prova orale dell’Esame di Stato, succede la stessa cosa: quando si propone al candidato il documento che dovrebbe essere lo spunto del percorso pluridisciplinare, ogni insegnante ha chiaro in mente ciò che vorrebbe sentirsi dire per la propria disciplina. Quando, come me quest’anno, sei un commissario esterno nominato per matematica e informatica in un liceo linguistico, non hai grandi aspettative: i ragazzi possono fare quei collegamenti che sono stati abituati a fare e so che, messo di fronte alla scelta, l’insegnante di matematica in genere dà la precedenza ai contenuti disciplinari, in altre parole agli studi di funzione, e il candidato difficilmente si lancerà in collegamenti di spessore che non ha avuto modo di cogliere nel corso dell’anno. Ciò che intendo è che il collegamento resistenza partigiana – resistenza elettrica capita con una certa frequenza, anche se, in questo caso, declinato in ambito matematico. Perciò, nel momento in cui comincia la prova del candidato di turno, mi diverto a cercare quei collegamenti che mi piacerebbe sentirmi raccontare, spesso imparando un sacco di cose nuove nel frattempo, e creandomi l’opportunità, nel caso di difficoltà del candidato, di proporre un argomento in tema.

Il primo documento di oggi aveva a che fare con la Rivoluzione russa: il primo suggerimento di Google mi rimandava a Perel’man e alla congettura di Poincaré, ma l’ho ritenuto un po’ forzato, avendo in comune solo la nazionalità. Mi è piaciuta, invece, la storia di Igor Tamm, premio Nobel per la fisica nel 1958, raccontata da Pisani nelle pagine di MaddMaths! Già il titolo conquista: Igor Tamm e il calcolo che… salva la vita. Pisani racconta che, proprio durante la Rivoluzione russa, il fisico insegnava in Ucraina e, aggirandosi per un villaggio in cerca di cibo, un giorno si è imbattuto in un gruppo di banditi. Il capo della banda, una volta saputa la sua professione, gli ha chiesto di dargli «una stima dell’errore che si commette troncando uno sviluppo in serie di Mac Laurin all’n-mo termine». E ha aggiunto: «Fallo e sarai libero, fallisci e ti sparo». Fortunatamente Tamm non ha sbagliato!

Il secondo documento è stato più semplice: il protagonista era Nietzsche, ritratto da Munch, perciò ho googlato “Nietzsche e matematica” e mi sono imbattuta in un interessante articolo di Paolo Caressa, pubblicato sul numero di febbraio 2021 della rivista Prisma, Il teorema dell’eterno ritorno. «Il suo argomento per l’eterno ritorno è matematicamente sensato e si può ricondurre al fatto che, se f: X → Y è una funzione fra gli insiemi X e Y, con X infinito e Y finito, allora f non può essere biunivoca, cioè non può far corrispondere ciascun elemento di X a un solo elemento di Y», dove X è l’insieme degli infiniti istanti, mentre Y è l’insieme degli elementi di cui consta il mondo (ed è per forza un insieme finito). Anziché parlare di funzioni biunivoche, però, mi sono accontentata di fare riferimento alla circonferenza che rappresenta l’eterno ritorno, chiedendo se la circonferenza fosse una funzione…

La terza proposta era l’immagine di una trincea e richiamava, quindi, la Prima guerra mondiale. Devo dire che, in questo caso, ho trovato abbastanza semplice il collegamento, avendo parlato del ruolo degli scienziati tra le due guerre mondiali proprio in una serie di lezioni di educazione civica, proposte alla mia ultima quinta. Ho provato comunque a googlare e ho ritrovato l’articolo di Pietro Nastasi Un matematico alla grande guerra: Mauro Picone. Nell’articolo si parla dei calcoli per ricostruire delle tavole di tiro adeguate, visto che il lancio di granate avveniva in montagna, oltre alle enormi possibilità di calcolo della calcolatrice Brunswiga (e noi che pensiamo sempre e solo a Turing contro Enigma!), ma si parlava soprattutto del fatto che Mauro Picone è stato il fondatore dell’Istituto per le Applicazioni del Calcolo, che oggi porta, appunto, il suo nome. È un peccato che questa storia non sia stata raccontata agli studenti…

Il quarto argomento aveva a che fare con gli Organi dello Stato e in questo caso il riferimento immediato, almeno per quanto mi riguarda, era al libro di Chiara Valerio La matematica è politica. Il secondo riferimento, invece, ha a che fare con il fascismo: si tratta di Vito Volterra, matematico impegnato in politica, è stato senatore a partire dal 1905, ha contribuito alla Fondazione della SIPS, la Società Italiana per il Progresso delle Scienze, ma soprattutto ha rifiutato di prestare il giuramento di fedeltà al fascismo. La sua storia è ben raccontata nella graphic novel La funzione del mondo, che racconta la sua vita e la nascita della modellizzazione.

L’ultimo collegamento mi ha messo un po’ in difficoltà: si trattava di una citazione tratta da Notre-Dame de Paris di Victor Hugo che, per un caso fortuito, sto ascoltando in auto durante il viaggio per raggiungere la sede d’esame (160 km al giorno sono tanti…). Ho setacciato il web, ma non ho trovato nulla che collegasse l’opera del grande scrittore alla matematica. Mi sono imbattuta in un testo dell’Università degli Studi di Firenze, ma non sono riuscita a scaricarlo, perciò ho rimandato la ricerca. Rientrata a casa, sono stata in grado di aprire il pdf, e di scoprire che Hugo non aveva grande simpatia per la matematica, ma mi sono imbattuta anche in una versione pdf del romanzo. Una rapida ricerca mi ha permesso di verificare che la matematica viene citata solo due volte: «Quella zingara che sapete, quella che viene tutti i giorni a danzare sul sagrato, nonostante il divieto ufficiale! Ha una capra indemoniata con le corna del diavolo, che legge, scrive, conosce la matematica come Picatrix, e che basterebbe a far impiccare tutti gli zingari.» La seconda non è migliore, visto che Gringoire dice di aver «calcolato matematicamente la resistenza di quella castità alla seconda potenza». Inoltre, Victor Hugo non recupera nemmeno citando tre volte Pitagora: prima lo mette insieme a Nicolas Flamel e Zoroastro, poi lo indica come filosofo, e infine facendo dire a Jean du Moulin: «sarò un vero Pitagora di scienza e di virtù».

L’avventura tra letteratura e matematica per oggi si chiude qui, ma spero che domani le pagine di Gian Italo Bischi dedicate a Matematica e letteratura possano riservarmi citazioni più ottimistiche di quella di George Orwell (da “1984”): «Un bel giorno il Partito avrebbe proclamato che due più due fa cinque, e voi avreste dovuto crederci.»

Seconda giornata di prove orali: L'esame che vorrei

Verifica di fisica, classe terza liceo scientifico
Argomento: gravitazione

Durata: 60 minuti

Alla ricerca di ispirazione per il Carnevale della Matematica, con il tema “matematica estiva” lanciato da Maurizio Codogno, faccio scorrere le foto della scorsa estate e realizzo che le foto di prati verdi e boschi rigogliosi che costellano in genere le mie estati (sono un’appassionata di camminate in montagna) si alternano a foto di bottiglie di Klein colorate realizzate all’uncinetto, di pantaloni molto ampi e altre amenità legate alla topologia. Dal 2016 ad oggi, le mie estati sono state arricchite dalla preparazione dei laboratori per il Festival di BergamoScienza, che si tiene ad ottobre, e, quindi, so che anche quest’anno la mia matematica estiva sarà ricca di prospettiva, visto che il mio cellulare già esplode di fotografie inerenti disegni prospettici, illusioni ottiche, anamorfosi, carte geografiche e tanto altro.

Vorrei concentrarmi, però, in questo caso, sulla matematica in montagna: il mio occhio ormai allenato (ossessionato, direbbe qualcuno) è abituato a individuare la matematica ovunque, e, mentre sono impegnata a raggiungere la meta del giorno, la mente vaga e cerca la matematica nella natura.

Comincio con gli straordinari giochi di luce che sul finire dell’estate interessano le due montagne (sacre, per gli antichi Camuni) che si fronteggiano nella Media Valle Camonica, il Pizzo Badile, protagonista al mattino, e la Concarena, che si ammanta di luce al tramonto. I raggi di luce, che all’Equinozio proiettano l’ombra delle montagne nel cielo, si mostrano come semirette con un’origine comune.

Quando si cammina in montagna, uno dei problemi con i quali ci si confronta di più è quello della pendenza: sono in bilico tra una terza e una quarta liceo scientifico e realizzo che quella che abbiamo visto fino a questo momento come pendenza della retta (ed esplorato in lungo e in largo anche con la cinematica e i diagrammi dei moti unidimensionali), ora diventerà la tangente dell’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse, visto che cominceremo ad aggirarci tra i meandri della goniometria. La pendenza ha un ruolo determinante nella scelta di una camminata in montagna, perché non conta solo il dislivello che si deve colmare per raggiungere la meta, ma anche lo sviluppo del percorso. Diciamo che la pendenza è forse l’aspetto matematico più bistrattato durante le camminate di gruppo: il tratto che per chi ha allenamento e abitudine alla fatica è in genere un falso-piano, per chi è affaticato diventa una salita ripidissima.

«… chi va in montagna mi capisce al volo: una di quelle volte che ti sei alzato la mattina presto, stai sudando ormai da ore come un becco, sotto lo zaino, verso il rifugio che è là… son tre ore che è là… perché li spostano! Ci ho messo anni a capirlo: lo fanno per il tuo bene ma li spostano, chiaro!» [dal monologo teatrale di Marco Paolini Il racconto del Vajont]

Camminare in montagna aiuta a mettere le cose in prospettiva, per questo l’attività ha degli innegabili benefici psicologici, ma fa anche vedere le cose da un’altra prospettiva: «Tu sei là che ti domandi chi è che te l’ha fatta fare tutta ‘sta fatica, ti casca l’occhio indietro un attimo, e capisci da solo che valeva la pena di fare tutta la fatica del mondo per arrivare là, in quel momento li, perché giù, il fondo valle da dove sei partito, è già coperto di nuvole, ma tu ormai sei sopra. È limpido sopra. A trecentosessanta gradi hai le montagne, le crode, (…) che ti par di poterci volar sopra come un rapace» [Marco Paolini] Infine, la prospettiva cambia la nostra percezione delle altezze:

La seconda foto è stata scattata dal fondo valle, mentre la prima è stata scattata dal Bivacco Adamone, che si trova a un’altitudine di 1456 m. La percezione che si ha dal fondo valle delle altitudini è ben diversa dalla realtà: il Pizzo Badile ha un’altitudine di 2435 m, mentre la conca del Tredenus che lo circonda possiede parecchie cime, tutte più alte, ad esempio: Cima del Dosso (2785 m), Cima Meridionale (2796 m), Corno delle Pile (2805 m). Ecco spiegati gli inganni della prospettiva e, forse, anche il motivo per cui tendiamo a stimare la meta più vicina di quanto non sia.

Lungo il cammino, fra la vegetazione possiamo riconoscere delle felci: costituiscono un ottimo esempio di frattali, dei quali prima di BergamoScienza 2018 e della costruzione del grande triangolo di Sierpinski avevo un’idea molto vaga. Secondo la definizione di Wikipedia, «un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale». Infatti, anche se concentriamo la nostra attenzione su un piccolo rametto di felce, questo potrebbe essere, nella giusta scala, la felce più grande dalla quale è stato preso.

Se abbiamo la fortuna di andare in montagna dopo una nottata di pioggia, oltre a poter apprezzare maggiormente il panorama, che è più limpido, potremmo anche imbatterci in una lumaca che attraversa il sentiero. Ma la spirale sul suo guscio è logaritmica o archimedea? La spirale archimedea mantiene costante la distanza tra due spire successive, mentre per la logaritmica questa distanza cresce secondo una progressione geometrica. Mi sono portata a casa la domanda e ho cercato, nei giorni successivi, una risposta. L’ho trovata nel blog Base 5 di Gianfranco Bo, il quale ipotizza anche una risposta sul motivo per cui la spirale della chiocciola sia logaritmica: la chiave potrebbe essere nella necessità del mantenimento della forma durante la crescita, ma per un approfondimento non resta che dare un’occhiata al suo lavoro.

Ritroviamo il lavoro di Gianfranco Bo anche nel post I fiori di Fibonacci del blog Sanoma. In effetti, ammirare i fiori, in montagna o altrove, rimanda sempre alla successione di Fibonacci, la sequenza di numeri che comincia con la coppia di 1 e prosegue autogenerandosi: il terzo numero è la somma dei primi due (2) e così ogni numero è la somma dei due che lo precedono, facendoci ottenere 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89… Nel mio collage di foto compare del Semprevivo dei tetti, esempio matematico classico come possiamo vedere in questa mostra fotografica organizzata dall’Università di Pisa, il fiore del Ginepro, la minuartia austriaca, per me ottimo esempio di pentagono regolare, la genzianella primaverile, che spicca per il suo colore, la primula comune, che possiamo trovare anche senza bisogno di salire ad alta quota, il papavero alpino retico, la macchia di colore che spunta tra le rocce, e infine la mitica stella alpina.

Se durante la camminata raggiungiamo un laghetto, come nel caso del Lago Smeraldo in Val di Non o del lago d’Aviolo in Valle Camonica, si può osservare la simmetria assiale all’opera. La bellezza, in questo caso, è duplicata, grazie all’armonia delle forme e ai colori, che ci restituiscono il sapore di un lago incontaminato.

Anche i corsi d’acqua regalano grandi soddisfazioni matematiche: ogni volta che mi affaccio sulla Valle Adamé e vedo il serpeggiare del torrente Poia, che di anno in anno scava sempre di più il suo percorso creando nuove anse, non posso che ricordare la presenza nascosta del pi greco. Il matematico Hans-Henrik Stolum, in un lavoro pubblicato su Science nel 1996, ha mostrato che se si divide la lunghezza effettiva di un fiume, dalla sorgente alla foce, per la sua lunghezza in linea d’aria, si ottiene, approssimativamente, pi greco. Sul sito Matematica Russell, curato dal dipartimento di matematica e fisica dell’omonimo liceo di Roma in collaborazione con gli studenti, troviamo una precisazione: «Questo rapporto, però, non è una legge, infatti il rapporto di pi greco si trova più comunemente in quei fiumi che scorrono attraverso pianure che hanno un dislivello molto tenue.» Il torrente Poia ha, appunto, le caratteristiche necessarie.

Il penultimo tassello di questa camminata in montagna rimanda alle tassellazioni (che per quanto mi riguarda assocerò sempre alla prima esperienza con i laboratori di BergamoScienza): questo ultimo tratto del sentiero che porta al Lago della Vacca, realizzato con il granito dell’Adamello, ricorda in qualche modo una tassellazione. È un tratto pianeggiante, durante il quale si può ammirare il panorama, senza essere sovrastati dalla fatica.

L’ultimo passo, però, è quello più goloso: ormai raggiunta la meta, si può accedere al Rifugio, per riposare, riscaldarsi con un bel tè caldo e mangiare una fetta di torta. La mente, ormai allenata a trovare la matematica ovunque, non può che ritrovare la scodella di Galileo tra le tipiche scodelle dei rifugi, e chiedere di avere un settore circolare abbastanza ampio, quando sceglie la torta che preferisce.

Matematica e storia
Grazie a Un matematico prestato alla Disney (il prof. Alberto Saracco), mi sono imbattuta nel simpatico articolo di Ben Orlin, autore del blog (e dell’omonimo libro) Math with bad drawings. La riflessione è dedicata al legame tra matematica e storia, dove la storia è presentata come opposto della matematica (o la matematica come opposto della storia). In un grafico con in ascissa la volontà di considerare oggetti complessi come “punti in uno spazio ad alta dimensionalità” e in ordinata il livello-nausea di avversione al lavoro considerato “utile”, matematica e storia risultano agli antipodi. “In matematica, nuovi dati non possono mai confutare un’idea bellissima” e dato che “ogni cosa discende dagli assiomi, pensa intensamente a qualcosa e raggiungerai la verità”. In altre parole, “la matematica contiene sé stessa, mentre la storia è incontenibile”. Alla ricerca di notizie sull’autore e incuriosita dal blog, ho trovato alcuni post messi in evidenza, grazie alla loro popolarità, e ne ho letti due in particolare. Il primo presenta 39 modi di amare la matematica e mi sono soffermata in particolare sul numero 4 e sul simmetrico 5: “Amo il modo in cui la matematica fa emergere l’adolescente nascosto in un professore” e “Amo il modo in cui la matematica fa emergere il professore nascosto in un adolescente”. E poi il numero 17: “Amo il viaggio, amo le strade senza uscita, gli ostacoli, le svolte sbagliate – e amo il raggiungimento della destinazione, finalmente”. Infine, i numeri 37, 38 e 39: “Amo il fatto che la matematica significhi 6000 cose diverse per 6000 persone diverse”. Alla fine dell’elenco, Ben Orlin si domanda se la matematica sia un fine o un mezzo e riconosce che può essere entrambi, visto che “appartiene a scienziati, ingegneri, finanziatori, attuari, artisti e persino autori televisivi”, tanto che il secondo post che voglio citare è quello delle lettere che la matematica potrebbe scrivere all’economia, al Congresso (la mia preferita!), agli studenti, alla fisica, all’informatica, ai test standardizzati ad alto rischio, alla poesia, al comportamento umano, ai libri di testo e alla persona che sta cercando di convincersi che un acquisto stravagante si ripagherà. Al Congresso, la matematica ha deciso di presentarsi, “credo non ci siamo mai incontrati”, agli studenti raccomanda di non essere spaventati da lei, che è solo “una misteriosa sottostruttura che governa l'universo, una forza potente e amorale, al di fuori di ogni controllo”, mentre protesta con i libri di testo: “Quando ho acconsentito che mi venisse fatto un profilo, mi aspettavo un ritratto onesto, non di essere un’assassina. Mi fate sembrare un mostro!”. Con la poesia, infine, la matematica si compiace del fatto che spesso sono considerate affini: “Forse perché siamo entrambe bellissime? O entrambe esoteriche?” (ovvero: incomprensibili ai più?) 

Matematica e arte
Le lezioni sono terminate un po’ in tutta Italia: mancano all’appello ancora la Toscana e le province autonome di Trento e Bolzano, ma siamo tutti in dirittura d’arrivo. Eppure, alcuni cammini cominciano proprio alla fine del percorso: ad esempio, la maturità! Sono appena state nominate le commissioni e a breve comincerà, almeno per quanto mi riguarda, una nuova avventura. Nel frattempo, ho vissuto gli ultimi giorni immersa nel progetto di BergamoScienza: dopo il percorso di formazione che si è svolto tra febbraio e aprile, da mercoledì 5 a venerdì 7 giugno si è svolto il campus di formazione/progettazione. È stato il nostro nuovo inizio, ma anche il proseguimento di un cammino: per due giorni e mezzo, abbiamo fatto circolare idee, abbiamo fatto discorsi da nerd, a tavola e facendo una camminata, confrontandoci sulla prospettiva, su come presentare al meglio il contenuto ai ragazzi che parteciperanno ai nostri laboratori. Nei due laboratori che stiamo progettando, proporremo un binomio: matematica e arte nel primo e matematica e scienze nel secondo. Nel primo, il contesto ci porterà a fingerci curatori di un museo, impegnati ad allestire le sale, a disporre adeguatamente le statue per sfruttare l’effetto ottico per un servizio fotografico, o a ideare un’insegna originale che sfrutti l’anamorfosi; nel secondo, il passaggio cardine è dalle due dimensioni alle tre e viceversa, sfruttando la vicenda di Rosalind Franklin e le costellazioni, lasciandosi ingannare dalle illusioni ottiche e cercando la carta geografica perfetta, alla ricerca della verità. Il nostro percorso di esplorazione della prospettiva ci ha insegnato che la verità è sfuggente e che non solo le fotografie non descrivono sempre la realtà, ma che anche i nostri occhi a volte ingannano e che l’interpretazione di ciò che abbiamo davanti è fondamentale. Cosa ha a che fare la matematica con tutto questo? La matematica ci offre degli strumenti di lettura, ma non solo: «Lo studio della prospettiva è uno dei campi in cui la matematica diventa un elemento fondamentale per la produzione di opere d’arte, anzi, è forse il campo in cui l’unione dei due mondi è considerata più naturale», come dichiarato da Giovanni Filocamo nel suo La matematica è un’opera d’arte. 

Matematica e letteratura
Alla ricerca di alcuni spunti da sfruttare durante l’esame di maturità, mi sono imbattuta in una lezione del prof. Gian Italo Bischi, dell’Università di Urbino. Matematica e letteratura sono indicate spesso come le due culture, come se fossero due saperi completamente distinti e questa separazione è diventata effettiva nel corso del Novecento. «In questa conferenza si cercherà invece di dimostrare come negli ultimi 150 anni matematica e letteratura si siano molto avvicinate, fino a condividere gli stessi scopi e influenzandosi a vicenda anche quando si sono mosse lungo percorsi paralleli, mostrando crisi, tendenze e svolte molto simili.» L’intento viene dichiarato con l’immagine di copertina, che rappresenta Luigi Pirandello e Albert Einstein, il primo considerato lo scrittore più rappresentativo del Novecento (e forse il più citato durante gli orali degli Esami di Stato), e il secondo che non ha certo bisogno di presentazioni. Per chi desidera avere un cartaceo da studiare, all’argomento è stato dedicato il numero 42 di Alice & Bob.
E poi ho ricordato la playlist di IlariaF Math dedicata alla Divina Commedia: il primo video è ambientato in Paradiso (Par. XVII, 13-18) e ha come protagonista la geometria, il secondo (Inf. XXVII, 118-123) è dedicato alla logica ed è spiegato con i diagrammi di Eulero-Venn, con il terzo si torna in Paradiso (Par. XXXIII, 133-138) e alla geometria, con la quadratura del cerchio. Questa trilogia è stata pubblicata a inizio 2022 ed è stata seguita da un quarto video, pubblicato a febbraio 2023, che cita due brani del Paradiso (Par. XXVIII, 16-21, Par. XIX, 40-42). L’obiettivo di Ilaria è di fornire degli spunti didattici, ma anche di sottolineare come la cultura sia unitaria: «legare tra di loro discipline umanistiche e scientifiche» è utile per «avere una comprensione più approfondita della nostra cultura».
Infine, non posso non ricordare il libro di Bruno D’Amore Più che ‘l doppiar de li scacchi s’inmilla. Nella prima parte del libro, ci sono diciassette racconti, nei quali l’autore segue Dante, dall’infanzia all’età adulta, mentre è impegnato a comporre la Divina Commedia: un ottimo modo per approfondire i temi matematici della celebre opera. 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

PS: Traduzione dell’immagine

Com'è andata la tua prova di matematica?
Male... ma solo perché avevo finito il tempo. La parte peggiore, comunque, è stata che Susie Derkins ha vinto la nostra scommessa su chi avrebbe ottenuto il punteggio migliore. Dovevo pagarle 25 cents. Ma senti questa: l'ho fregata! Le ho dato solo tre "dimes" (ovvero 30 cents)
Io credo che sarebbe meglio che tu studiassi di più
Oh, non cominciare!

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico
Argomento: forze e moto

Durata: 60 minuti

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico
Argomento: prova parallela di fine anno sul programma di seconda. Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi; coefficienti irrazionali; equazioni parametriche; problemi; geometria euclidea; dominio di funzione

Durata: 120 minuti

Prova realizzata in collaborazione con il prof. Francesco Mognetti

Verifica di matematica, classe terza liceo scientifico
Argomento: Esponenziali e logaritmi

Durata: 120 minuti

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico
Argomento: Disequazioni di secondo grado e loro applicazioni (equazioni e disequazioni irrazionali, disequazioni con valore assoluto) e geometria euclidea (teoremi di Euclide, teorema delle corde, similitudine di triangoli)

Durata: 120 minuti

Matematica in convegno
Questa duecentoventiduesima newsletter è il resoconto del secondo convegno nazionale organizzato dal CARME (Center for Advanced Research on Mathematics Education) di Pistoia, che si è svolto venerdì 17 e sabato 18 maggio, e contiene, quindi, riflessioni sulla didattica della matematica.
Comincio con una citazione di Jerome Bruner, nominato proprio in apertura di convegno, che, secondo quanto ci dice Wikipedia, «è stato uno psicologo statunitense che ha dato notevoli contributi allo sviluppo della psicologia cognitiva, della psicologia culturale e della psicologia dell’educazione»: «OGNI PERSONA, ad ogni età, con la propria cultura e le proprie strutture mentali PUÒ APPRENDERE». Questi due giorni, così intensi e pieni, non sono stati significativi solo per l’apprendimento dei contenuti: come succede quando si è fortunati, si fa un pieno di entusiasmo, mentre nuove idee si affollano in mente grazie agli stimoli che si raccolgono. Tra gli interventi dei saluti iniziali, è stato forse Ezio Menchi, vicepresidente di UNISER, a definire l’insegnamento della matematica un privilegio, descrivendolo come importante, difficile, bello. 

Argomentare la matematica
La necessità di argomentazione in matematica è stata portata subito alla nostra attenzione dal primo intervento, quello della prof.ssa Maria Alessandra Mariotti dell’Università di Siena, che ha parlato dell’argomentazione in matematica come di uno step fondamentale per l’apprendimento. IlariaF Math, sempre sul pezzo, aveva intervistato la professoressa a dicembre 2022, approfittandone per presentare il suo libro “Argomentare e dimostrare come problema didattico”. La citazione riportata da Ilaria nella descrizione* del video ben riassume anche i contenuti essenziali della conferenza di Pistoia: il «tema dell’argomentazione, chiaramente espresso nelle Indicazioni Nazionali, è un tema cruciale che si presta a considerazioni su aspetti interdisciplinari riguardanti, in particolare, la relazione tra apprendimento della lingua e apprendimento in matematica. Educare all’argomentazione presenta, nell’ambito matematico, problemi didattici specifici che si articolano da un lato con i problemi didattici relativi alla costruzione dei concetti e dall’altro con l’introduzione degli allievi alla pratica della dimostrazione». Gli esempi presentati, in particolare quello sulla proporzionalità, hanno permesso di riflettere e, per quanto mi riguarda, la richiesta di “spiegazione e motivazione” del procedimento mi ha aperto un mondo. Tra i miei appunti ritrovo che «l’elaborazione discorsiva genera nuove relazioni di significato» e che anche se vengono commessi errori, si creano le basi per una discussione collettiva. 

Valutare la matematica
Elisabetta Nigris, pedagogista dell’Università Bicocca di Milano, e Ketty Savioli, matematica e docente alla primaria all’Istituto Comprensivo di Chieri (To), hanno animato il secondo intervento con un vivace botta e risposta sul tema della valutazione. Partendo dal fatto che la valutazione non possa essere realmente oggettiva, ovvero non influenzata da pregiudizi, ma deve ambire ad essere lucida e coerente, forse dovremmo concentrarci sul fatto che essa è un ponte tra l’insegnamento e l’apprendimento e può diventare motore di cambiamento. Mi è piaciuta in particolare l’immagine dell’errore come un iceberg: vediamo solo ciò che emerge, ma è importante indagare ciò che si trova sotto il pelo dell’acqua. Infine, è stato bello leggere il vissuto dei bambini in merito alla valutazione, ma sono riuscita a salvare poche parole, quelle che hanno fatto vibrare qualcosa dentro di me: la valutazione è «una vocina che ti aiuta a salire di livello», è «rifornimento», è la consapevolezza che ti porta a dire «non sono bravissima ma sono migliorata». E una valutazione che ti permette di crescere non può essere vissuta con ansia. 

Matematica modello
Per i lavori di gruppo di venerdì pomeriggio ho scelto il laboratorio proposto da Domenico Brunetto, del Politecnico di Milano, sul tema della modellizzazione: si è parlato dei MOOC (Massive Online Open Courses), corsi online gratuiti, aperti a tutti e a frequenza libera, per consolidare le conoscenze di base e per agevolare il passaggio dalla scuola superiore all’università, all’interno del POK, la Polimi Open Knowledge. Partendo da un esempio, è stato citato anche il Rally Matematico Transalpino, «un confronto fra classi, dalla terza elementare al secondo anno di scuola secondaria di secondo grado, nell’ambito della risoluzione di problemi di matematica, e si svolge in Belgio, Francia, Italia, Lussemburgo e Svizzera». La parte del centrale del laboratorio ha riguardato il gioco del rugby e, in particolare, l’intervento del kicker dopo il raggiungimento della meta, per trasformare la meta aggiungendo due punti: il posto migliore per il kicker ha a che fare con il posto migliore in cui deve mettersi un attaccante per colpire una punizione in area, nel gioco del calcio, secondo quanto racconta Paolo Alessandrini in Matematica in campo, l’ultima lettura che ho fatto e che consiglio davvero. 

Matematica inclusiva
Il sabato mattina è cominciato all’insegna dell’inclusione, con Elisabetta Robotti, dell’Università di Genova, che ha parlato di inclusione come di un processo continuo, ma soprattutto ha sottolineato la necessità del cambio di prospettiva, citando Katherine E. Lewis e il suo “Difference not deficit”: in altre parole, è fondamentale superare la dicotomia tra normale/speciale, ricordando che le barriere esistono solo nel caso in cui progettiamo un mondo su misura solo per una categoria. Cambio di prospettiva significa, ad esempio, rendersi conto che se scegliamo di perdere tempo per certe attività, stiamo in realtà investendo del tempo per i nostri studenti, che saranno i cittadini di domani. 

Algebra precoce e geometria antica
Giancarlo Navarra ha parlato del Progetto ArAl, cominciando dalla domanda provocatoria su quando inizi la trattazione dell’algebra a scuola. Ha parlato da subito del simbolo dell’uguale e di come si costruisca, troppo spesso, una gabbia procedurale attorno a tale simbolo, come se la necessità di fare-calcolare-operare-trovare risultati portasse troppo spesso ad un atteggiamento matofobico. Anche Navarra ha parlato di cambi di prospettiva, evidenziando la necessità dell’argomentazione, anche nei primi cicli scolastici, e ha mostrato come ogni tema possa essere presentato sia da un punto di vista procedurale che da uno relazionale, individuando le strutture, chiamando le cose con il loro nome e argomentando. Per formare alunni metacognitivi è necessario avere docenti metacognitivi, da qui la necessità di un aggiornamento continuo.
Per l’attività laboratoriale del mattino, ho scelto quella costruita attorno al tema della Disfida di Niccolò Tartaglia e Ludovico Ferrari – che dopo la nostra partecipazione al Festival di BergamoScienza nel 2022 mi è rimasta nel cuore – proposta da Veronica Gavagna e Riccardo Bellè. In piccoli gruppi, ci sono state assegnate tre costruzioni da realizzare con riga e compasso balaustrone, ma imponendoci vincoli irrinunciabili. Il laboratorio ci ha permesso di sperimentare in prima persona un’attività didattica che sarebbe bello presentare in classe. 

Matematica in verticale e… contaminata
In mattinata, Navarra aveva sottolineato come i passaggi scolastici spesso non capitalizzino le conoscenze degli alunni e nel pomeriggio Pietro Di Martino dell’Università di Pisa ha messo al centro proprio questo problema, aprendo il proprio intervento con un video davvero significativo dell’allenatore di pallavolo Velasco, che parla delle dinamiche di squadra, quando l’attaccante dà la colpa all’alzatore se la propria schiacciata è finita fuori e l’alzatore dà la colpa ai ricevitori. Per quanto si sia riso, guardando il filmato, non è stato possibile non sentirsi toccati e non pensare, come era nelle intenzioni del relatore, alle relazioni tra i diversi ordini scolastici. Partendo da qui, siamo stati divisi in gruppi eterogenei e abbiamo avuto modo di elencare le difficoltà che abbiamo incontrato nella nostra esperienza, focalizzandoci però sulle cause. Di Martino ha poi messo tutto in prospettiva e ha analizzato ogni singolo problema, fornendo anche alcuni suggerimenti per realizzare un ulteriore confronto nelle nostre scuole e suggerendo alcuni articoli per l’approfondimento. Più di tutto mi sono portata a casa la raccomandazione ad allenare gli alunni non per fare ciò che richiedo io, ma per lavorare in situazioni nuove, in modo che non abbiano problemi quando cambieranno ordine di scuola.
L’ultimo intervento è stato quello di Caterina Di Pasquale e, nel presentarla Pietro Di Martino ha parlato di contaminazione, visto che in mezzo a tanti matematici ed esperti di didattica, l’ultimo intervento è stato affidato a una voce fuori dal coro, quella di un’antropologa. È stato un intervento molto informale, visto che la docente era seduta a terra, ma al tempo stesso era davvero ben strutturato e ha permesso di evidenziare, ancora una volta, l’importanza del cambio di prospettiva, enfatizzato anche dall’esperienza personale della relatrice. La contaminazione di cui aveva parlato Pietro Di Martino non era da limitare ai saperi, perché Di Pasquale ha spiegato come ci sia la necessità di contaminare per creare nuovi modelli e far nascere nuove relazioni. In tutto questo l’antropologia non può che essere lo spunto per far nascere una riflessione e per spiegare perché, anche con la migliore didattica possibile, possano esserci elementi di disturbo. Nell’intero panorama non bisogna perdere di vista il fatto che bisogna sempre fare i conti con l’immaginario che circonda la matematica, ricco di… 

Stereotipi
Va in questa direzione l’ultimo podcast pubblicato da MaddMaths!, Matematica al plurale – Oltre il pregiudizio: voci dalla didattica, curato dalla Commissione italiana per l’insegnamento della matematica di UMI – Unione Matematica Italiana, in collaborazione con l’Associazione italiana di ricerca in didattica della matematica. I testi sono stati realizzati da: Anna Baccaglini-Frank, Alessandra Boscolo, Chiara Giberti, Alice Lemmo, Maria Mellone, Domingo Paola, Alessandro Ramploud e Rosetta Zan, che è anche la voce narrante. Sono in totale sette episodi, un’ora e mezza di audio, e ho ascoltato i primi due durante la pausa pranzo del convegno sabato: il primo è dedicato alla matofobia e indaga il ruolo dell’errore nelle nostre paure. La matematica è speciale da questo punto di vista, perché i ragazzi sono in genere convinti che solo in matematica l’errore possa compromettere il tutto. Il secondo episodio riguarda la valutazione e si richiama l’attenzione sul fatto che, nell’accontentarci – come docenti – del risultato di un esercizio, perdiamo un sacco di informazioni. Non dobbiamo, infatti, dimenticare che «fare matematica non è conoscere, ma gestire processi di pensiero». Non vedo l’ora di ascoltare il resto. 

Non posso che concludere ricordando che i convegni sono luogo di confronto ma anche di incontri, come quello con Marco Reho, autore del canale unmatematicoinclasse, del quale non posso che suggerirvi un assaggio: il video sul multiplo comune minimo realizzato con i mattoncini, lasciandovi un invito a iscrivervi. 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

* Nella descrizione Ilaria parla anche della rivista DdM – Didattica della matematica, dalla ricerca alle pratiche d’aula, la cui direzione scientifica è affidata a Silvia Sbaragli. Si tratta di «una rivista semestrale, Open Access, in lingua italiana. La rivista è rivolta a ricercatori in didattica della matematica e insegnanti attivi nella scuola, ed è pensata per far riflettere criticamente e creativamente sul processo di insegnamento-apprendimento della matematica.»