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Lunedì, 19 Ottobre 2015 18:18

È logico!

TRAMA:

Il maialino Otto è il protagonista di questo simpatico racconto di Anna Cerasoli, che dopo “Gatti neri gatti bianchi” si cimenta ancora con la logica per i più piccoli. Otto è l’amatissimo maialino della mamma, orgogliosa perché il suo piccolo è capace di sporcarsi come nessun altro: “si girava e rigirava nel pantano con tale cura che nessuna piega della pelle sfuggiva alla melma appiccicosa”.

L’ultima domenica di maggio il contadino e la moglie, dimentichi di tutto e tutti a causa di un furente litigio, dimenticano di chiudere il cancello dell’orto: è l’occasione per tutti i maiali di fare una ghiotta scorpacciata di carote e ravanelli, ma per Otto è anche l’occasione di assaporare la libertà e di fare una nuova amicizia, con Ghigo, cucciolo di una famiglia di cinghiali che si è unita ai maiali nella razzia. Quando il contadino accorre e disperde gli affamati ghiottoni, Otto è costretto a separarsi dal suo nuovo amico, ma Ghigo gli promette che, se farà bel tempo, tornerà a trovarlo. Quando non lo vede arrivare, Otto pensa che sia successo qualcosa e va a cercarlo: lo trova, vicino a un cespuglio, ferito a una zampa da una trappola. Lo aiuta nella fuga, ma entrambi vengono catturati dal contadino, che decide di farne salsicce. Otto riesce a fuggire e, arrivato alla porcilaia, istruisce gli altri maiali perché lo aiutino a liberare anche Ghigo. Ed è così che Otto e Ghigo possono godersi la tanto agognata libertà.

 

COMMENTO:

Ancora un piccolo capolavoro di Anna Cerasoli, una matescrittrice ricca di creatività e fantasia. D’altra parte, ciò che caratterizza un matematico è proprio la creatività! Il libretto, arricchito dalle illustrazioni di Aurora Cacciapuoti, è consigliato ai piccoli che potranno ascoltare con curiosità questa storia di amicizia e libertà, mentre è quasi d’obbligo per i più grandicelli, che potranno mettersi alla prova con i quesiti logici alla fine del libro. “È logico!”: un’occasione per imparare divertendosi e continuare il proprio percorso di scoperta della ricchezza della matematica.

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Mercoledì, 26 Agosto 2015 09:58

Tutti in festa con Pi Greco

TRAMA:

Chiunque abbia interesse a “scoprire la bellezza e l’utilità” della matematica è seriamente invitato a leggere questo libro! Dedicato agli alunni della scuola secondaria di primo grado, il libro si presta in realtà a vari livelli di lettura, grazie anche alla struttura pensata dalla Cerasoli: il testo è costituito da tre parti che possono essere lette separatamente, ma che si intersecano l’una con l’altra. La parte principale è la narrazione dedicata specificamente a p, la seconda è data da una ventina di box azzurri e la terza da una ventina di box arancioni.

La prima parte comincia con la presentazione di p, il numero che “non ha una fine”, e prosegue con la storia di Archimede, che fin da piccolo aveva imparato “a giocare con i numeri, a ragionare, a non spaventarsi di fronte ai problemi, a correggere gli errori senza scoraggiarsi”. Il metodo di Archimede per determinare le cifre decimali di pcon una grande approssimazione è descritto dettagliatamente e con molta semplicità: il lettore è invitato ad applicare delle semplici formule per il calcolo delle aree e a mettersi alla prova per trovare una nuova cifra decimale.

Non è possibile parlare di Archimede senza ricordare la Biblioteca di Alessandria e il ruolo svolto da Eratostene nel campo della cultura: è proprio da una lettera scambiata con Eratostene che possiamo conoscere il livello di precisione raggiunto da Archimede, per il quale “la circonferenza di un circolo è uguale al triplo del diametro, più una parte che è maggiore di 10/71 e minore di 1/7”. È proprio il legame tra la circonferenza e il suo diametro che ci permette di trovare la simpatica relazione secondo la quale aumentando di un solo metro la lunghezza di un nastro ipoteticamente avvolto intorno all’Equatore, gli permetterà di sollevarsi in ogni punto di circa 16 centimetri.

La storia di parriva fino ai giorni nostri, perché solo nell’Ottocento è stato dimostrato, da un matematico tedesco, che le sue cifre continuano all’infinito. Il fatto che la sequenza delle cifre sia infinita ci garantisce che “quella sequenza conterrà certamente ogni altra sequenza di cifre” e possiamo così ritrovare la nostra data di nascita o il nostro numero di telefono, o qualsiasi altra sequenza di numeri ci possa venire in mente.

Il calcolo dell’area del cerchio è affascinante, e probabilmente più facile da memorizzare, se si usa il metodo di Archimede, che ha immaginato di suddividere il cerchio in tante striscioline e di trasformarlo in un triangolo, ma nemmeno il grande scienziato ha potuto risolvere l’impossibile problema della quadratura del cerchio, con il solo utilizzo di riga e compasso. Il cerchio è ineguagliabile nella sua area, perché – a parità di perimetro – è il poligono che racchiude l’area maggiore, come ben sapeva la regina Didone, fondatrice di Cartagine. Archimede non si fermò all’area e al perimetro della circonferenza: determinò anche il volume e la superficie della sfera, mentre Eudosso determinò il volume del cono.

La storia si conclude con la morte di Archimede ad opera di un soldato romano, durante l’assedio di Siracusa, ma la sua morte rappresenta solo il termine della sua esistenza terrena, considerata l’immortalità delle sue opere e, in particolare, del suo metodo.

Nei box azzurri, che si alternano con quelli arancio alla narrazione, sono raggruppate attività da svolgere durante la festa di p, giochi per comprendere meglio questa costante e tante curiosità, come la nascita della festa che viene celebrata ogni anno il 14 marzo, ideata dal fisico americano Larry Shaw e proclamata ufficialmente da Obama nel 2009, come occasione che “incoraggi i giovani verso lo studio della matematica”. Sul risvolto della copertina troviamo inoltre il puzzle dello Stomachion, ideato da Archimede e le due facce della Medaglia Fields, il premio più ambito dai matematici di tutto il mondo. I box arancio, ricchi di approfondimenti e di quesiti matematici un po’ più impegnativi, ci raccontano la storia della misura del meridiano terrestre, ci spiegano i termini irrazionale e trascendente che descrivono il pe completano l’elenco delle scoperte di Archimede con la descrizione delle leve.

 

COMMENTO:

Un libro bellissimo sia nella veste grafica che nella sua realizzazione: anche questa volta la Cerasoli ci ha regalato un testo unico, costruito attorno all’affascinante irrazionale p. Sembra che il numero catalizzi attorno a sé le figure geniali del suo tempo e lo sviluppo storico nel quale ogni avvenimento è inserito ci permette di rileggere anche la storia romana, con le guerre puniche e l’assedio di Siracusa. Così, in questo misto di realtà e leggenda, storia e mito, l’irrazionale più famoso non può che restare impresso nella nostra memoria.

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Mercoledì, 26 Agosto 2015 09:58

Matemago

TRAMA:

Ritroviamo il protagonista di “Sono il numero uno”, “Io Conto” e “Tutti in cerchio”: dopo aver imparato ad amare la matematica, che ora è la sua materia preferita “quasi come il rugby”, il piccolo protagonista comincia un corso estivo di matematica, tenuto da Dario, studente universitario. La scoperta delle gioie della matematica avviene grazie a giochi, curiosità e applicazioni: si comincia con il teorema dei quattro colori, grazie alla richiesta di colorare la cartina dell’Italia, distinguendo le sue regioni e si procede con i sette problemi del millennio, confrontati con i ventitré problemi di Hilbert e per quanto questi temi possano sembrare fuori dalla nostra portata, Andrew Wiles si è appassionato proprio da bambino al teorema di Fermat. Per risolvere i problemi è necessario allenarsi e impararne le ricette, ovvero i diagrammi di flusso, gli algoritmi e infine le formule – regine tra le ricette – odiate dagli studenti, ma utili “strumenti per smontare e risolvere i problemi”.

La matematica è più vicina alla nostra realtà di quanto crediamo e ce lo dimostrano Facebook e Google, l’uno con i grafi e l’altro con il PageRank, l’algoritmo che, assegnando un peso numerico ad ogni collegamento ipertestuale, permette di ricostruire l’importanza di un sito all’interno di una serie. Persino ripulire dalle erbacce i vialetti del cortile o sostituire i sacchetti della spazzatura può diventare un’occasione per fare matematica: la topologia e la soluzione del quesito dei ponti di Königsberg ci porta ai cicli di Eulero e di Hamilton, al lavoro dei postini e dei commessi viaggiatori. E se dovessimo risolvere il problema di scegliere tra due diverse tariffe telefoniche? Le coordinate cartesiane sarebbero un ottimo strumento, come lo sono per il funzionamento del GPS. Il calcolo combinatorio può essere un aiuto nell’organizzazione di un torneo, magari proprio di battaglia navale, mentre per sommare n numeri, utilizziamo il metodo escogitato da un bambino di dieci anni, Karl Friedrich Gauss, procedendo speditamente grazie a una semplice formula.

Non può mancare il triangolo di Tartaglia, “una montagna che è una vera miniera”: scavando un po’, si trovano soluzioni a molti problemi. Ad esempio, possiamo trovare la successione di Fibonacci, oppure la sequenza delle potenze di 2… d’altra parte il lavoro del matematico consiste proprio nel “trovare situazioni diverse della realtà e descriverle con uno stesso modello”.

Il sistema binario è descritto con quattro lampadine, mentre la criptografia ci permette di leggere in modo diverso il nome di Hal, il robot di “2001: Odissea nello spazio”, tributo del regista alla IBM. Dopo aver usato il calcolo delle probabilità per distinguere tra giochi equi e giochi non equi e aver accennato alla ludopatia, l’autrice introduce la matematica in cucina, con la congettura di Keplero – che indaga la disposizione migliore per le palle di cannone ma anche per accatastare le arance – e analizza la sicurezza in cucina attraverso la logica, con le tabelle dei connettivi “and” e “or”, che tradotti in 1 e 0 ci rimandano ai circuiti elettrici.

La conclusione è d’oro, considerato il rettangolo che nasce dalla sezione aurea, collegata alla serie di Fibonacci e presente in natura nella spirale logaritmica, la linea attorno alla quale si accresce il guscio di una lumaca.

 

COMMENTO:

Questo libro è una vera fonte di concetti matematici, accompagnati dal gusto della sfida, che viene lanciata a ogni lettore perché provi a risolvere i quesiti – non certo banali – proposti al termine di ogni capitolo. La Cerasoli riesce a sorprendermi anche questa volta: la semplicità della presentazione permette un’agile lettura a tutti coloro che vogliano cimentarsi, ma non manca l’effetto sorpresa che accompagna la scoperta della matematica in ambiti della nostra quotidianità in cui la sua presenza è davvero insospettabile.

Il libro è consigliato a tutti: agli studenti della secondaria di primo grado, cui è rivolto, per dimenticare la noia della matematica scolastica, agli adulti che hanno ancora troppi pregiudizi al riguardo e agli insegnanti che hanno voglia di lasciarsi alle spalle la noia della quotidianità per riscoprire un nuovo modo, più accattivante, di presentare la “solita” matematica.

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Martedì, 11 Agosto 2015 16:26

Un biglietto di sola andata

TRAMA:

Bruno Codenotti ci invita nel mondo della logica e della teoria dei giochi attraverso le vicende di Aldo, esemplare di Homo Rationalis, che “agisce sempre con uno scopo e logicamente e ha la capacità di calcolare tutto ciò che è necessario per raggiungere il proprio scopo”. L’alunno che ogni insegnante di matematica vorrebbe? Forse no, considerati gli sviluppi della vicenda, quando Aldo si finge uno studente di un Liceo Sperimentale.

Il libro di Codenotti nasce dalle conferenze divulgative tenute dall’autore e dal confronto continuo con gli insegnanti e gli alunni incontrati nel suo cammino. Le vicende di Aldo sono ben pensate, con quesiti e problemi ispirati dagli scritti di Raymond Smullyan, Henry Dudeney, George Boolos e Martin Gardner. Il lettore è invitato nel mondo della logica, senza doversi scontrare con il “formalismi che rappresentano un grosso ostacolo alla divulgazione”. Non solo, è l’autore stesso a offrirci una scappatoia nella prefazione: se i problemi che Aldo affronta nel corso della narrazione ci paiono troppo impegnativi, abbiamo la possibilità di leggere immediatamente la sua soluzione oppure di passare oltre, visto che i brani in questione sono scritti con un carattere diverso. Questa scelta non compromette la comprensione degli eventi successivi, ma scegliere di fare un po’ di fatica per affrontarli significa darsi la possibilità di “entrare più in profondità nelle tematiche, a prezzo di un piccolo sforzo.”

Le vicende di Aldo si svolgono in tre luoghi diversi: nel nostro mondo, ovvero nel mondo dell’Homo Sapiens, nel mondo onirico dell’Isola di VeroFalso e nel mondo di Logicolandia. Nella nostra realtà, Aldo incontra soprattutto i giovani, perché, come gli viene ricordato, essi “sono aperti a nuove amicizie e fanno poche domande”. Durante i suoi sogni, Aldo approda all’Isola di VeroFalso dove l’indagine sulla verità gli permette anche di capire meglio se stesso. E nel mondo di Logicolandia, Aldo è nel suo elemento, ma non illudiamoci: un mondo perfettamente razionale non ci regalerebbe delle elezioni perfettamente democratiche, come ci ricorda il paradosso di Condorcet e non ci toglierebbe il cruccio di certe decisioni apparentemente assurde che vengono prese sulla base del paradosso di Braess. Infine, nemmeno la giustizia sarebbe garantita, se dovessimo fare i conti con il dilemma del prigioniero.

 

COMMENTO:

Questo libro è una vera miniera di problemi e paradossi e la sua lettura è consigliata a tutti: a coloro che hanno voglia di misurarsi con alcuni problemi di logica, ma anche a quelli che salteranno a piè pari i problemi più complessi, perché troveranno comunque il modo di rendersi conto della complessità e dei paradossi che albergano nel mondo della logica e con i quali ci scontriamo nella vita di tutti i giorni. Le vignette di Eros Pedrini alleggeriscono la narrazione, che è semplice e alla portata di tutti.

Il libro realizza davvero ciò che il sottotitolo ci ha promesso: si tratta di un “invito alla logica e alla teoria dei giochi” e certi inviti non si possono proprio rifiutare!

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Giovedì, 30 Luglio 2015 18:22

Il problema di matematica nella pratica didattica

TRAMA:

“L’attività di risoluzione di problemi è l’intima natura della matematica stessa”: nel libro di D’Amore troviamo a più riprese questa affermazione, che costituisce uno dei motivi per cui l’autore si è cimentato con questo scritto. E chi meglio di lui avrebbe potuto affrontare questo argomento? D’Amore “rappresenta una delle persone che negli anni ha contribuito maggiormente a far diventare una didattica disciplinare, la didattica della matematica, una vera e propria disciplina”. Addentrandosi in questa ricerca, l’autore si è ritrovato negli ambiti della pedagogia e della psicologia, dove si muove con un certo agio, considerata la laurea in pedagogia conseguita nel 1992. Il libro attuale, curato dalla casa editrice Digital Docet, è una rivisitazione di un testo edito nel 1993 da Franco Angeli, “Problemi, pedagogia e psicologia della matematica nell’attività di problem solving”: modificato e riveduto, con un arricchimento della bibliografia, ne conserva la struttura e le citazioni e affronta il tema della risoluzione dei problemi da più angolazioni. L’obiettivo di D’Amore è “di dare alle stampe un’opera che raccolga studi su questo delicato e interessantissimo problema didattico, ma che non sia solo teorico, bensì una fonte di ricche stimolazioni concrete per l’insegnante di scuola primaria, soprattutto, nella sua azione quotidiana”. In realtà, il testo è utilissimo anche per gli insegnanti della secondaria, visto che alcune delle considerazioni ivi presentate valgono per tutti i livelli scolastici. D’altra parte, con la promulgazione dei nuovi programmi per le scuole nel 1985, la matematica “assume finalmente un ruolo di rilievo non più solo strumentale ma educativo”, visto che “l’educazione matematica contribuisce alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti”. Come sostiene lo stesso Polya, matematico ungherese citato a più riprese nel testo, “risolvere problemi è un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano” ecco perché si può considerare il risolvere problemi come “l’attività più caratteristica del genere umano”.

D’Amore esplora tutti gli ambiti: comincia con la motivazione, un problema psicologico, pedagogico, didattico, ma al tempo stesso affettivo, per incrementare la quale la famiglia ha il compito di apprezzare e sostenere la scuola. L’insegnante può lavorare sull’attivazione di comportamenti positivi, motivando e premiando, sollecitando, rendendo lo studente consapevole dei propri successi. D’altra parte, l’insegnante, soprattutto nella scuola secondaria, ha il difficile compito di “insegnare a pensare”, come ci ricorda Polya. È fondamentale che l’insegnante, non solo quello di matematica, aiuti lo studente nell’acquisizione di una conoscenza “ben strutturata” nelle singole discipline.

Non si può parlare di didattica della matematica senza far riferimento all’intuizione, il “centro nevralgico della risoluzione di un problema”. Non si possono insegnare le intuizioni, ma si può lavorare sulla conoscenza e sulle competenze: risolvere problemi, se fatto in autonomia e con piena consapevolezza, genera ulteriore competenza. Prima dell’intuizione, ogni studente ha bisogno di un tempo di latenza, durante il quale prepara il terreno per l’ispirazione, magari ricordando le proprie esperienze precedenti. In questo caso il ruolo dell’insegnante non è certo quello di intervenire in continuazione sollecitando o suggerendo: l’insegnante di matematica deve dimenticare la propria impazienza, conservando uno stato tranquillo, per “invitare implicitamente a ri-concentrarsi e a tornare al lavoro”.

Che dire poi del legame tra matematica e linguaggio? Viene ribadito a più riprese che l’educazione linguistica, in genere considerata dominio assoluto dell’ora di lettere, appartiene anche alla matematica, come si può capire nel momento in cui si chiede a uno studente di leggere con attenzione un problema o di fornire una motivazione del procedimento eseguito. La difficoltà di un problema, al di là della mancanza di intuizione, può palesarsi fin dall’inizio, con la difficoltà di comprensione del testo, con il blocco nel momento in cui si sta cercando la rappresentazione economicamente più vantaggiosa, per aiutare la propria immaginazione nella soluzione del problema.

Ripetere gli stessi problemi più e più volte ha senso solo nel momento in cui si vogliono dare degli automatismi (in tal caso, però, si fanno ripetere degli esercizi), ma non funziona in questo caso, visto che risolvere problemi significa “prendere decisioni”, valutare quali modelli applicare, scegliere un modello conveniente rispetto ad un altro. Ciò che realmente aiuta è la riflessione al termine dell’attività, per valutare la propria strategia, per acquisire nuove conoscenze, mentre l’insegnante sottolinea l’errore “con una bella dose di stupore, allegria, scherzo”.

 

COMMENTO:

Una lettura consigliatissima agli insegnanti di matematica! Durante la lettura, mi sono sentita guidata dall’autore, che, attraverso numerosi esempi e tantissimi aneddoti, ha stimolato la mia inventiva, facendo nascere in me numerose idee che conto di applicare in classe.

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Giovedì, 16 Ottobre 2014 14:15

L'assassinio di Pitagora

TRAMA:

La vicenda ha inizio il 25 marzo del 510 a.C. e si conclude, quasi cinque mesi dopo, il 12 agosto. La scena iniziale vede Pitagora, l’uomo più influente del periodo, davanti ai sei uomini più importanti della sua scuola, i Grandi Maestri tra i quali vuole trovare un successore: “solo colui che fosse stato nominato suo successore avrebbe ricevuto gli ultimi insegnamenti, salendo così un altro gradino sulla scala tra l’uomo e la divinità”. All’improvviso, Cleomenide, uno dei Maestri, muore avvelenato dalla mandragola contenuta nel vino che sta bevendo.

Qualche giorno dopo, Akenon, egizio noto per la sua abilità a investigare, si trova a Sibari, presso Glauco, un aristocratico che vuole verificare un tradimento. Akenon ristabilisce la verità, ma solo l’intervento di Arianna, la figlia di Pitagora, lo salva dalle conseguenze. Pitagora vuole coinvolgerlo nelle indagini, ma inizialmente Akenon non ha intenzione di prendervi parte: solo la seconda morte lo convincerà a fermarsi a Crotone per risolvere il mistero. Arianna lo aiuta nelle indagini, mentre Cilone, membro del Consiglio dei Mille, trama contro i pitagorici e tenta di eliminare Akenon, guardato con ostilità perché straniero e perché cerca di risolvere il caso.

 

COMMENTO:

Il libro è fedele agli episodi storici del VI sec. a.C., periodo nel quale Pitagora è stato uno degli uomini più influenti. I personaggi principali come Milone, il genero di Pitagora, Cilone, vendicativo e meschino, e Telis, il capopopolo sibarita, sono realmente esistiti e reale è la vicenda che li vede coinvolti, almeno nella sua parte principale, se escludiamo la finzione letteraria del giallo.

Nonostante le sue 700 pagine, la vicenda scorre velocemente, mentre si viene catturati dal mistero e dalla storia di Akenon e Arianna, sia per il loro passato che per quanto si trovano a condividere.

Geniale la trovata dell’autore che presenta alcune pagine di un’inesistente Enciclopedia matematica, scritta da Socram Ofisis nel 1926 (Socram è Marcos al contrario): si comincia con la storia di Pitagora e si continua con la presentazione dei contenuti matematici, ovvero il pentacolo, il pi greco, la sezione aurea, il teorema di Pitagora e i numeri irrazionali.

Il libro è consigliato a tutti coloro che amano la lettura, perché è un modo diverso dal solito per imparare qualcosa della matematica e della filosofia del mondo pitagorico e della storia della fine del VI secolo a.C.

Per chi volesse avere ulteriori informazioni, può visitare il sito dell’autore http://www.marcoschicot.com, nel quale viene raccontata la genesi del libro, della quale è responsabile Lucia, la primogenita di Chicot.

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Sabato, 23 Agosto 2014 17:06

La sezione aurea

TRAMA:

L’antica Grecia è a ragione considerata la culla della nostra cultura: scienze, filosofia, arte, letteratura, ma soprattutto matematica, hanno trovato qui i propri natali. Platone ebbe il merito di scoprire i poliedri regolari, detti appunto platonici, e di costruire la realtà su di essi: questi sono legati indissolubilmente alla sezione aurea e, con ogni probabilità, l’interesse per il rapporto aureo è scaturito proprio dai tentativi di costruirli, anche se i primi a parlare di numeri irrazionali pare siano stati i pitagorici, nel VI sec. a.C.

Con la pubblicazione, nel 300 a.C., degli Elementi di Euclide, l’opera matematica più grandiosa e influente che sia mai stata scritta, il rapporto aureo comincia a diffondersi. Scavalcando gli arabi, che si occuparono principalmente di algebra, si arriva a Leonardo Fibonacci, che ha avuto il merito di diffondere in Europa le cifre indo-arabiche. Fibonacci usò consciamente il rapporto aureo nella soluzione di alcuni problemi e, formulando il quesito dei conigli, ne ha ampliato in modo decisivo la portata e le applicazioni, grazie al legame trovato successivamente da Keplero.

Nel Rinascimento, alcuni pittori hanno fornito contributi matematici di un certo rilievo: il più prolifico fu Piero della Francesca, con tre opere matematiche, con le quali dimostra che la prospettiva è fondata solidamente su basi scientifiche. Alcune delle questioni algebriche che affrontò furono riprese dal matematico Luca Pacioli, che, con il suo Compendio de divina proportione, presenta un riassunto dettagliato delle proprietà del rapporto aureo, portando a un rinnovato e diffuso interesse per la sezione aurea.

Il rapporto aureo divenne fondamentale anche per il funzionamento dell’universo, grazie al contributo di Keplero, che – trovato convincente il sistema copernicano – scelse di separare le orbite dei pianeti con i solidi platonici. Il modello era sbagliato, ma era sicuramente innovativo.

Nel mondo dell’arte, Paul Sérusier fece uso del rapporto aureo in alcune opere, soprattutto per “controllare, e in qualche caso disciplinare” le sue invenzioni, mentre Le Corbusier, che all’inizio aveva idee negative al riguardo, fece culminare la sua ricerca nel “Modulor”, che era in grado di conferire dimensioni armoniose a tutto, dalle maniglie delle porte agli spazi urbani. Numerosi autori hanno sostenuto che il rettangolo aureo sarebbe esteticamente più soddisfacente di tutti gli altri rettangoli, tanto che uno dei fondatori della moderna psicologia, Gustav Theodor Fechner decise di effettuare degli esperimenti, negli anni Sessanta dell’Ottocento, per verificarlo. Nel secolo scorso, ne sono stati sottolineati l’ingenuità e i difetti metodologici, visto che “non sembra esserci alcuna base razionale della teoria estetica che considera la sezione aurea un ingrediente decisivo della bellezza delle forme visive”. Anche in ambito musicale, le speculazioni riguardanti il rapporto aureo sono numerose: accanto a usi incontestabili del rapporto aureo, ve ne sono altri dovuti all’immaginazione dei loro scopritori. Tutti i tentativi di svelare la presenza di fin varie creazioni artistiche, dalla pittura alla musica alla poesia, si basano sul presupposto che esista un canone di bellezza ideale, ma la storia ci dice che non sempre alla base della bellezza c’è la sezione aurea.

Per realizzare le tassellature del piano, si è sempre saputo che il pentagono – il poligono più legato al rapporto aureo – non è adatto a ricoprire una superficie in modo completo e regolare. Nel 1974, Roger Penrose, fisico di Oxford, ha scoperto due schemi fondamentali di intarsio per coprire una superficie, sfruttando una simmetria quintupla, ovvero basandosi sul rapporto aureo. Apparentemente questi suoi studi dovevano restare confinati nell’ambito della matematica ricreativa, ma nel 1984 l’ingegnere israeliano Dany Schectman ha trovato una lega di alluminio con simmetria quintupla.

Nell’ultimo capitolo, l’autore si concentra sulle diverse interpretazioni della matematica: tra la visione della matematica come dotata di un’esistenza indipendente dal pensiero umano e quella di una matematica inesistente al di fuori del pensiero, l’autore sostiene che solo gli assiomi sono frutto di una scelta umana, ma dopo di essi la matematica gode in un’esistenza autonoma. “Il rapporto aureo è un prodotto della geometria, un’invenzione umana. Ma gli uomini non immaginavano in quale magico regno di fate ed elfi quel prodotto li avrebbe portati.”

 

COMMENTO:

Storia della matematica, arte, musica, poesia sono gli ingredienti di questo prezioso libro, nel quale la sezione aurea non viene solo definita, ma ne viene indagata la presenza nelle opere d’arte più famose e nei posti meno comuni, come i quasi-cristalli. Proprio il carattere eclettico del libro permette di incontrare i gusti di tutti i lettori, non solo degli appassionati di matematica ed è in particolare consigliato a tutti coloro che si interessano di arte. Il lettore viene guidato partendo dai contenuti più semplici, come il significato dei numeri per i pitagorici, fino ad arrivare ai frattali, con la loro bellezza e complessità. Peccato manchino le immagini a colori, almeno nell’edizione della Rizzoli.

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Martedì, 05 Agosto 2014 14:52

Più per meno diviso

TRAMA:

Nel primo libro pubblicato a stampa, Larte de labbacho – meglio noto come l’Aritmetica di Treviso – comparso nel dicembre del 1478, le quattro operazioni sono indicate con et per l’addizione, de per la sottrazione, in per la divisione e fia per la moltiplicazione. Dopo questa, le pubblicazioni si susseguono, in un crescendo di passione per le abbreviazioni.

I segni per l’addizione e la sottrazione compaiono nel 1481, nella Mercantile Arithmetic or Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft (l’aritmetica mercantile ovvero il calcolo agile e pulito per tutti i mestieri), del 1489 di Johannes Widmann. Per quanto riguarda il segno grafico di “=”, che sostituisce la frase “uguale a”, il merito va a Robert Recorde che nel suo “The Whetstone of Witte” del 1557, sceglie queste linee parallele proprio perché uguali tra loro.

Per la moltiplicazione, la croce di Sant’Andrea (×) è stata introdotta da William Oughtred, un reverendo che passa il proprio tempo a dar ripetizioni di matematica ai figli dei notabili locali. Nel 1631 pubblica un volumetto di piccole dimensioni, solo 88 pagine, suddiviso in 20 brevi capitoli, un testo elementare, noto come il Clavis. Solo più tardi John Collins proporrà il pallino, il simbolo più sintetico. Attualmente, ci viene proposta la croce alle elementari, ma, già alle medie, preferiamo il simbolo di Collins, fino ad arrivare al calcolo letterale, nel qual caso la moltiplicazione non è indicata con nessun segno.

Per quanto riguarda la divisione, possiamo trovare l’obelus (÷) sulle calcolatrici elettroniche, mentre abitualmente usiamo il colon ( : ): il primo è stato introdotto da John Pell, professore di matematica, anche se il libro è opera del suo allievo svizzero Johann Rahn, ma, come dichiara lui stesso, si tratta di “copie di documenti prodotti in sua presenza o che lui gli aveva dato da trascrivere”. Leibniz invece propone il secondo, che verrà diffuso da un suo allievo.

 

COMMENTO:

Il libretto, pubblicato come e-book per la collana Altramatematica, è una breve storia della matematica, limitata allo studio del percorso di chi ha inventato i segni delle quattro operazioni.

La vicenda mette in luce alcuni particolari interessanti: la difficoltà di introdurre nuove notazioni dà l’idea di un mondo, quello matematico, che si muove molto lentamente prima di accettare un’innovazione e anche il fatto che il passaggio dall’algebra retorica all’algebra sincopata avvenga abbastanza naturalmente, mentre è più difficile introdurre dei simboli. Il primo passaggio è istintivo, visto che tutti tendiamo ad abbreviare per scrivere più velocemente, mentre per il secondo la maggiore diffusione è legata al numero di persone che ne fanno uso, in particolare riferito agli allievi dei grandi matematici, che li pubblicizzano, non solo attraverso i libri ma anche e soprattutto con la corrispondenza.

Per quanto riguarda le quattro operazioni, non ci sono grandi nomi della matematica, tranne per quanto riguarda Leibniz, e non è facile reperire informazioni. Peppe Liberti condivide con noi questo percorso, che ci viene presentato con grande semplicità e con aneddoti che ne alleggeriscono il contenuto.

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Domenica, 03 Agosto 2014 22:29

Sono il numero 1 - Io conto - Tutti in cerchio

TRAMA:

In questa trilogia dedicata al mondo della scuola primaria, Anna Cerasoli ci porta a visitare il mondo dell’aritmetica, con i numeri e le quattro operazioni nel primo volume, le frazioni e il calcolo delle probabilità nel secondo volume e la geometria nel terzo. Nel primo libro, dalle tacche sugli ossi alle cifre indo-arabiche, la maestra presenta i numeri paragonandoli al legno lavorato dal falegname: per svolgere al meglio il proprio lavoro, questi ha bisogno dei propri attrezzi, che in matematica corrispondono alle operazioni. L’autrice parte con l’addizione e prosegue con la moltiplicazione e i numeri primi, con la sottrazione che porta alla nascita dei numeri negativi, lo zero con le sue particolarità, la divisione che porta ai numeri decimali e infine le potenze.

Nel secondo volume, il piccolo protagonista esplora il mondo delle frazioni, un mondo a parte in cui le cose funzionano al contrario, perché aumentando il denominatore di una frazione, questa diventa sempre più piccola. Nel libro, non mancano i riferimenti alla storia della matematica: Gauss, Sophie Germain, Sofja Kovalevskaja, Pitagora e la musica, Talete con le proporzioni.

Sia nel primo che nel secondo volume lo sviluppo della storia è intervallato dalle “furbate”, ovvero suggerimenti per affrontare al meglio la matematica: nel primo libro troviamo alcuni suggerimenti per svolgere più in fretta le operazioni, come le moltiplicazioni per 9, per 4, per 5… mentre nel secondo libro le “furbate” aiutano nel calcolo delle percentuali, sia a mente che con la calcolatrice. Il primo volume, inoltre, si conclude con alcune pagine quadrettate, intitolate “Provaci tu!”, mentre nel secondo volume compare il gioco del Memory Mat.

Il terzo volume è a sé ed è dedicato alla geometria: il protagonista ha un nuovo compagno di avventure, Nuvola, un cane al quale servirebbe conoscere la geometria per poter entrare nella cuccia con il suo osso. Anche in questo volume non manca il riferimento alla storia della geometria, visto che si comincia con i tenditori di corde in Egitto, si prosegue con Euclide, il quale ci ricorda che non esistono vie regie per accedere alla matematica, e poi si prosegue con l’esplorazione del mondo della geometria piana, fino ad arrivare alle formule per calcolare le aree dei poligoni. La geometria è “una palestra per irrobustire il nostro cervello” e la dimostrazione è data proprio dai ragionamenti che accompagnano il percorso.

 

 

COMMENTO:

La trilogia in questione è consigliata ai ragazzi della scuola primaria, che possono affrontare le proprie difficoltà in matematica facendosi accompagnare dal piccolo protagonista, che guida la scoperta di questo nuovo mondo così affascinante. 

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Giovedì, 31 Luglio 2014 17:32

I cacciatori di numeri

TRAMA:

Usiamo abitualmente i numeri, senza renderci conto di quanto essi siano carichi di mistero: intrecciati da relazioni strane, con la realtà fisica hanno invisibili legami, che ci permettono di indagare i misteri più oscuri dell’universo. Tutto comincia con Hermann Minkowski, che si guadagna una punizione dal professore di fisica quando afferma che la materia è fatta di numeri. Già Galilei aveva affermato che il libro della natura è scritto con caratteri matematici e Minkowski si impone di decifrare questo libro della natura. Con Hilbert e Sommerfeld sono legati da un “sodalizio di pensiero e di amicizia”, come dimostrano le interminabili passeggiate durante le quali discutono di tutto, dalla filosofia alla poesia, dalla musica alla matematica. E c’è lo zampino di Minkowski quando Hilbert, nel 1900, all’apertura del Secondo Congresso Internazionale di Matematica, fa un discorso nel quale parla di ventitré problemi di portata universale, per stabilire in quale direzione stia andando la matematica. “Chi non sarebbe felice di poter alzare il velo dietro il quale si cela il futuro; gettare lo sguardo sui progressi dell’avvenire della nostra scienza e sui segreti del suo sviluppo nei secoli a venire?” è l’incipit del suo discorso. Tra i vari problemi proposti, alcuni ancora senza soluzione, spicca l’ottavo, il preferito di Hilbert: si tratta dell’ipotesi di Riemann, che, se venisse dimostrata, ci porterebbe a individuare la distribuzione dei numeri primi.

Dopo la pubblicazione dei rivoluzionari articoli di Einstein, allievo di Minkowski, quest’ultimo parla, nel settembre del 1908, a un’assemblea annuale di medici e naturalisti, presentando per la prima volta lo spazio-tempo, ovvero l’universo a quattro dimensioni, in termini puramente matematici. Anche Hilbert e Sommerfeld vedono nello spazio-tempo l’avvenire della fisica e la morte prematura di Minkowski non interrompe il procedere della scoperta: Sommerfeld riprende la conferenza, per migliorarne la presentazione matematica e, nel 1916, riesce a dimostrare che “il cuore della realtà vive di numeri!”, trovando un numero universale che regola la forza elettromagnetica, ovvero la “costante di struttura fine”. La strada percorsa da Sommerfeld viene seguita anche da Herman Weyl, uno dei matematici più influenti del XX secolo, che nel 1919 pubblica un articolo sugli “Annali di fisica” con strane speculazioni su un numero puro che dà il rapporto tra la forza elettromagnetica e quella gravitazionale e da Arthur Eddington, che nel 1931 scatena il caos quando parla del rapporto tra la massa del protone e quella dell’elettrone.

Alla luce di queste costanti, nell’estate del 1951 Einstein si domanda se Dio abbia avuto scelta creando l’universo, ma il fatto che le costanti non possano assumere valori diversi da quelli che hanno assunto lascia pensare che Dio non abbia avuto alcuna scelta, come afferma anche sir Roger Penrose, uno scienziato inglese, quarant’anni dopo. Tutti i numeri “su cui si basa il nostro universo sono dunque comparsi molto prima del primo secondo. Il tutto con precisione allucinante, corrispondente a uno scostamento inferiore al miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo.” L’obiettivo del Cern di Ginevra, negli ultimi anni, è stato proprio quello di indagare gli istanti successivi al Big Bang, grazie all’accelerazione delle particelle fino a una velocità prossima a quella della luce. La ricerca del “bosone di Higgs” porta con sé la convinzione che l’essenza dell’universo sia nel “numero dell’universo”, 10120 bit di informazioni, dove per informazione si intende la realtà numerica che codifica le proprietà dell’universo. In altre parole, non siamo così lontani dalla scuola di Göttingen e dai tre cacciatori.

 

COMMENTO:

Il libro ci presenta una carrellata di matematici: tra coloro che hanno “costruito” il mondo matematico di Hilbert, Minkowski e Sommerfeld, spiccano Riemann, Klein, Cantor e l’ostinazione di Kronecker che ha tentato di ostacolare in tutti i modi il progresso matematico, mentre tra coloro che hanno “fruito” del loro genio, ci sono anche dei fisici: Fermi, Feynman, Ramanujan, Weyl, Gödel, von Neumann.
Il libro tratteggia la storia di centocinquant’anni di matematica e di fisica. La lettura è alla portata di tutti: anche gli aspetti più complessi vengono spiegati con chiarezza, attraverso metafore che ci portano a capire in profondità persino le scoperte più recenti della fisica. Le numerose biografie dei vari personaggi che compaiono aiutano, inoltre, ad alleggerire la lettura e a sentire più vicini i progressi della fisica degli ultimi anni, spesso considerati così lontani.

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