L’ultimo lavoro di Anna Cerasoli, Quattro artisti che contano, è, come sempre, dedicato alla matematica e ai bambini, ma c’è anche molto altro: il libro crea un ponte tra arte e matematica e permette ai più piccoli di giocare con le forme e con i concetti di base del calcolo combinatorio. Il libro contiene anche un piccolo omaggio ad August Herbin, artista francese del secolo scorso, esponente dell’astrattismo geometrico. Un ulteriore esempio di matematica artistica è offerto dal blog Portale bambini con l’aiuto di Hervé Tullet, l’autore di «Un libro», nel quale i protagonisti sono cerchi colorati: «possiamo trasformarli in personaggi e lasciare che ci aiutino a comprendere la natura magica della matematica». Ed è proprio a partire dal libro di Tullet che il blog propone due attività che possono aiutare ad eseguire anche semplici operazioni di calcolo mentale.

Sofia Sabatti presenta il sito Problemi per matematici in erba: in esso «gli insegnanti sono invitati a lasciare i propri commenti ai problemi presentati [...] È uno strumento didattico gratuito: qualunque insegnante può accedervi e utilizzare nella propria scuola le risorse in esso contenute.» Oltre ai testi dei problemi, ci sono le soluzioni commentate, le osservazioni emerse dalla discussione e la classe nella quale proporre il problema. «I problemi attualmente presenti sul sito si rivolgono soprattutto a studenti della scuola secondaria di primo grado, anche se in realtà molti di essi vanno bene (magari con qualche piccola variazione) sia per bambini più piccoli che per ragazzi più grandi.» Mi è piaciuta in particolare una riflessione di Sofia: «Scontrarsi con problemi “difficili”, ossia non risolubili da parte degli alunni semplicemente applicando una formula o un procedimento già noti, è un’ottima occasione per sbagliare e, di conseguenza, scendere un pochino più in profondità. E se qualche problema dovesse mettere in difficoltà anche i docenti, sarebbe buona cosa cogliere l’occasione per far vedere agli studenti che l’errore è parte del fare matematica anche dei loro insegnanti. Il docente potrebbe mostrare che sbagliare, oltre ad essere normale e per nulla drammatico, è spesso necessario per cogliere gli aspetti più significativi e più nuovi (per noi) delle questioni.» Personalmente, spesso mi trovo a dire, a parole, che l’errore è necessario ed è sano, ma vivo ancora con grande imbarazzo l’errore che commetto io davanti agli alunni: devo essere sempre preparata al meglio, proprio per evitare di commettere errori. Nel percorso di allenamento per preparare i ragazzi alla Disfida, spesso, tra colleghi, ci siamo trovati a riflettere su come non sia facile gestire questo percorso, proprio perché lavorare gomito a gomito con loro mette a nudo anche le nostre fragilità.

La responsabilità che abbiamo, come adulti, nell’apprendimento della matematica dei più piccoli è forse più grande di quanto pensiamo. La matematica è spesso associata all’ansia (ne ho parlato più volte anche in questa newsletter) e l’argomento viene ripreso anche da uno studio recente (pubblicato a marzo) dell’Università di Cambridge. Lo studio mostra «come i genitori e gli insegnanti influenzino le prestazioni e gli atteggiamenti verso la matematica degli studenti, senza neanche accorgersene». Eppure tutti possono imparare la matematica ad alti livelli, secondo quanto dice Jo Boaler, professore di “Mathematic Education” alla Stanford University: l’articolo «presenta alcune nuove scoperte che secondo lei dovrebbero cambiare il modo di insegnare matematica». Innanzi tutto, è sottolineato il fatto che il cervello si modifica nel tempo, a seconda degli stimoli a cui è sottoposto: «nessuno sa cosa uno studente sia in grado di imparare e le pratiche scolastiche che pongono limiti sul potenziale apprendimento degli studenti hanno bisogno di essere radicalmente ripensate». La Boaler tiene un corso dal titolo «Come imparare la matematica» e questo le ha permesso di cogliere la vulnerabilità degli studenti, che tendono velocemente a credere di non essere portati per le materie scientifiche. I ricercatori sanno che «il momento in cui il cervello cambia e cresce maggiormente è quando le persone si trovano a lavorare su contenuti impegnativi, commettendo errori, correggendoli, superandoli, commettendo ulteriori errori, sempre lavorando in aree altamente stimolanti». In conclusione, se «appiattiamo il nostro insegnamento su una sola dimensione», ovvero se proponiamo esercizi ripetitivi che non offrono una vera sfida, non favoriamo la creazione di connessioni neuronali. Il messaggio più bello è che «faticare è davvero importante per la crescita del nostro cervello». Non pare vogliano fare molta fatica coloro che chiedono aiuto su Instagram per il compito di matematica: ovviamente, è possibile farsi aiutare a pagamento e l’aiuto potrebbe arrivare anche durante il compito in classe, a patto di non farsi sorprendere con il cellulare.

Se invece lo studente è un alunno della primaria e le difficoltà sono quelle con le tabelline, potrebbe essere utile questo metodo per svolgere le moltiplicazioni con le dita, proposto da Bruno Jannamorelli.

Cosa hanno in comune Euclide, Einstein a dodici anni e il presidente americano James Garfield? Hanno tutti dimostrato in modo elegante il teorema di Pitagora. Questo simpatico filmato realizzato per TED-Ed, oltre a una breve storia del teorema di Pitagora, ci presenta alcune semplici dimostrazioni, scelte tra le oltre 350 disponibili. Come evidenziato dal video, le terne pitagoriche erano usate anche per rappresentare angoli retti: il problema proposto da Adam Atkinson su MaddMaths! ha proprio a che fare con gli angoli retti. La dimostrazione sembra giusta, ma...

«Nacque così, procedendo in disordine, MaddMaths! un bagaglio di matematica condivisa da cui tutti possono prendere qualcosa.» Con queste parole e con un racconto riguardante la valigia del matematico, Sandra Lucente celebra i 10 anni del sito MaddMaths!, stesso anniversario grazie al quale Nicola Ciccoli ha deciso di ricordare la prima volta in cui ha dato il suo contributo con un pezzo di cuore. Alberto Saracco ne approfitta per fare un’analisi della comunicazione matematica degli ultimi venticinque anni: «I matematici non sono più rinchiusi nelle loro torri d’avorio, ma sono costantemente a contatto con il pubblico e con gli studenti, dalle elementari alle superiori e cercano di comunicare un’idea della matematica più corrispondente al vero.» In questa celebrazioni non potevano mancare i Rudi Mathematici (chi li conosce sa che di compleanni se ne intendono...): quelli di MaddMaths!, a detta dei Rudi, hanno tirato su «su un ponte ad otto corsie che unisce matematica ricreativa e matematica seria, che prima – almeno in Italia – erano tenute insieme al più da un sentierino stretto stretto». Per chiudere il decennale, un articolo di Roberto Natalini, che ha riassunto tutti gli interessanti interventi realizzati per questa celebrazione.

Un articolo leggero, ma non per questo meno interessante, è quello dedicato alla x da Luisa Seguin: la x, quella che, secondo le vignette che popolano il web, dovrebbe imparare a risolversi i problemi da sola, la stessa che fa impazzire gli studenti di tutto il mondo e, immancabilmente, durante una verifica, ottiene un valore diverso per ogni alunno. Una breve storia dell’algebra e... ecco svelato il mistero: ora sappiamo perché è stata scelta la x per indicare l’incognita algebrica!

«Il 19 marzo l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha annunciato il vincitore del Premio Abel 2019»: premio istituto in ricordo del giovane matematico norvegese Niels Henrik Abel per promuovere e rendere più prestigiosa la matematica, «dal 2003 viene attribuito annualmente a un matematico che si è distinto nel corso della sua carriera e consiste in una somma di denaro di poco più di 600 mila euro». Per la prima volta, il vincitore è una donna, Karen Keskulla Uhlenbeck, «per i suoi risultati pionieristici nelle equazioni alle derivate parziali e geometriche, nei sistemi integrabili e per il fondamentale impatto del suo lavoro sull’analisi, la geometria e la fisica matematica». Le teorie della Uhlenbeck hanno rivoluzionato la comprensione delle bolle, ovvero delle superfici minime.

Il 2 aprile si è svolta la simulazione della seconda prova dell’Esame di Stato: «La prova integra in modo equilibrato argomenti fondamentali di Matematica e di Fisica che di solito vengono trattati in modo approfondito prevalentemente al quinto anno.» Si è trattato di una prova impegnativa, non banale.

In conclusione, non dimentichiamo che aprile è il mese della consapevolezza matematica. Se avete letto la newsletter, avete fatto il primo passo verso una maggiore consapevolezza...

Buona matematica! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

«Quattro artisti che contano» è il titolo dell'ultimo lavoro di Anna Cerasoli, un piccolo gioiello pubblicato con la collaborazione di Giuseppe Vitale a novembre 2018 per le Edizioni Artebambini. La casa editrice vanta trent'anni di esperienza nell'ambito dell'educazione: non solo pubblica lavori di qualità, ma collabora anche con musei e istituti culturali, oltre ad essere un ente accreditato presso il MIUR per la formazione del personale scolastico.

Anna Cerasoli, laurea in matematica, è nota per il suo impegno nella divulgazione con i più piccoli, mentre Giuseppe Vitale unisce i suoi studi scientifici alla specializzazione in pedagogia dell'immagine.

Il libro crea un ponte tra arte e matematica e permette ai più piccoli di giocare con le forme e con i concetti di base del calcolo combinatorio. Dopo che la piccola Sofia, con fantasia e creatività, ha dato vita a cerchi, quadrati, triangoli e rettangoli, questi vanno in giro per il mondo a cercare il proprio posto e competono per scoprire chi è più importante. Il quadrato, così preciso, il triangolo, con la sua indole artistica, il cerchio, sempre gentile e il rettangolo, così pratico, si combinano per costruire faccine geometriche, alfabeti per linguaggi cifrati, collane e segnaposto colorati, tassellazioni e... arte! Infatti, le quattro forme sono le protagoniste delle opere di Auguste Herbin, pittore parigino ed esponente dell'astrattismo geometrico. Gli autori non fanno mancare un approfondimento matematico dedicato al calcolo combinatorio (per agli adulti) e le soluzioni ai giochi proposti.

Il libro può essere fonte di spunti per attività da fare con i più piccoli e presenta la matematica per ciò che realmente è: fantasia, creatività... arte!

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico. 
Argomento: disequazioni numeriche intere e frazionarie, sistemi. 

Durata: quaranta minuti.

Verifica parziale di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: integrali indefiniti immediati e problemi di ottimizzazione. 

Durata: mezz'ora.

Esercitazione di fisica, classe seconda liceo scientifico. 
Argomento: moto parabolico e moto armonico. 

Durata: un'ora.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico. Recupero per assenti.
Argomento: equazioni di grado superiore al secondo, equazioni parametriche e problemi. 

Durata: due ore.

L’alfabeto del pi greco

Archimede: Vissuto a Siracusa nel III sec.a.C., Archimede è ricordato come matematico, fisico e inventore. Uno dei suoi meriti è di aver ottenuto un valore di pi greco con un errore di meno di tre decimillesimi rispetto al valore reale, utilizzando il metodo di esaustione. Consideriamo un esagono inscritto in una circonferenza, il cui perimetro misura quindi sei volte il raggio; consideriamo poi un esagono circoscritto alla circonferenza del quale, aiutandoci con la trigonometria, possiamo determinare il perimetro. Il perimetro della circonferenza sarà compreso tra questi due valori e, sapendo che pi greco è dato dal rapporto tra la circonferenza e il diametro, basta dividere tutti i termini della disuguaglianza per il diametro e otteniamo un’approssimazione di pi greco. Aumentando il numero dei lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, aumenterà anche la precisione di pi greco. Grazie a questo metodo, Archimede ricavò un valore compreso tra 3,140845... e 3,142857, ottenendo per primo due cifre decimali esatte di pi greco.

Buffon: Il valore di pi greco si può determinare anche sperimentalmente, attraverso l’esperimento dell’ago di Buffon: disegniamo su un foglio delle linee parallele, che abbiano una distanza tale da superare la lunghezza di un ago. Lasciamo poi cadere l’ago e vediamo quante volte intercetta le linee tracciate: il rapporto tra il numero di volte in cui interseca una linea e il numero di lanci totali ci dà la probabilità per l’ago di intersecare le linee tracciate e, al tempo stesso, una stima statistica del numero pi greco.

Circonferenza: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Alcune volte, impropriamente, viene usato il termine cerchio, che in realtà è la superficie, mentre circonferenza indica il perimetro. Pi greco deve il proprio nome all’iniziale proprio del termine circonferenza, in greco περιϕέρεια.

Definizione: Pi greco viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del suo diametro. Siccome i matematici sono molto precisi, per poter accettare questa definizione è stato necessario dimostrare che è indipendente dal cerchio scelto.

Eulero: Per Richard Feynman, l’identità di Eulero è «la più notevole formula matematica». La sua bellezza è indiscussa, anche solo per il fatto che racchiude quattro numeri importanti oltre a pi greco: e (il numero di Nepero), 1, 0 e l’unità immaginaria, mentre per quanto riguarda l’attribuzione a Eulero, questa non è certa. «Nel 1988 la rivista inglese The Mathematical Intelligencer creò un sondaggio tra i suoi lettori. Ci furono 68 voti validi e ad aggiudicarsi Miss Equation fu l’identità di Eulero». Le cinque costanti sono unite da tre operazioni algebriche fondamentali, che compaiono, ognuna, una sola volta.

Fiumi: Non tutti sanno che le anse create dai fiumi lungo il loro percorso hanno a che fare con pi greco: «Il prof. Hans Stolum, uno scienziato della terra dell’università di Cambridge, ha calcolato il rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi dalla sorgente alla foce e la loro lunghezza in linea d’aria» e questo rapporto è un valore approssimato di pi greco. Non ne parla solo Simon Singh nel suo «L’ultimo teorema di Fermat», ma anche Alessandro Baricco nel suo libro «City».

Goodwin: Nel 1897 un certo Edward J. Goodwin, medico e matematico dilettante, elaborò un disegno di legge per lo stato dell’Indiana, per risolvere il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso. Nella sua proposta, c’era un nuovo valore di pi greco, pari a 3,2. Il disegno di legge approdò alla Camera dei deputati con il numero 246 e venne inviato alla Commissione per l’educazione per un nuovo esame: questa diede un parere favorevole e lo inviò alla camera dei deputati, dove venne approvato all’unanimità. Fortunatamente, nel corso del suo iter, il disegno di legge venne mostrato a un professore di matematica della Purdue University, Clarence Abiathar Waldo, che impedì quindi al disegno di legge di essere approvato.

Heisenberg: Il principio di indeterminazione di Heisenberg è forse uno dei più noti della meccanica quantistica. Riducendolo ai minimi termini, «ci dice che non è possibile misurare contemporaneamente e con estrema esattezza le proprietà che definiscono lo stato di una particella elementare. Se ad esempio potessimo determinare con precisione assoluta la posizione, ci troveremmo ad avere massima incertezza sulla sua velocità». La formula del principio contiene al suo interno proprio la costante pi greco.

Irrazionale: La prima dimostrazione dell’irrazionalità di pi greco è attribuita a Jean-Henri Lambert, matematico svizzero, che la realizzò nel 1768, a quarant’anni. Un numero irrazionale è un numero non esprimibile come rapporto di due numeri interi e, per questo motivo, non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Leibniz: La formula di Leibniz è una serie convergente per determinare pi greco, che è molto semplice da descrivere: è una somma infinita, a segni alterni, di tutti i reciproci dei numeri naturali dispari, partendo da 1. Il risultato è pari a un quarto di pi greco, ma la sua efficienza non è tale da permettere di ottenere una precisione elevata, visto che per calcolare 10 cifre significative, bisogna svolgere dieci miliardi di operazioni matematiche.

Matematica: Pi greco non appartiene solo alla matematica, pur essendo una costante matematica. Credo che gli esempi e gli aneddoti di questa newsletter siano una dimostrazione sufficiente.

Nilakantha: Nilakantha Somayaji fu un matematico e astronomo indiano, vissuto tra XV e XVI secolo. Ideò una serie infinita per calcolare pi greco: «Per calcolare questa formula, parti da tre e inizia ad alternare somme e sottrazioni di frazioni in cui il numeratore è 4 e il denominatore è il prodotto di tre numeri interi consecutivi che vengono incrementati ad ogni nuova iterazione. Il denominatore di ogni frazione successiva è il prodotto di tre numeri, il primo dei quali è il più alto della frazione precedente». Ripetendo il procedimento qualche volta, si otterrà un valore molto vicino a pi greco, visto che converge a pi greco molto più velocemente della formula ideata da Leibniz.

Oscillazione: Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice è direttamente proporzionale a pi greco. Esso dipende, inoltre, solo dalla lunghezza del filo e dall’accelerazione di gravità, mentre è completamente indipendente dalla massa appesa.

Probabilità: Due numeri si dicono primi tra loro se il loro massimo comune divisore è 1. La probabilità che, scelti a caso due numeri interi, questi siano primi tra loro dipende da pi greco: è infatti il rapporto tra 6 e il quadrato di pi greco.

Quadratura: Il problema della quadratura del cerchio, insieme a quelli della trisezione dell’angolo e della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca. I problemi andavano risolti con una riga non graduata e un compasso, ma solo in epoche recenti è stato possibile dimostrare l’impossibilità della loro soluzione con un simile procedimento. Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, che consiste nel determinare un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato, la sua impossibilità di costruzione con riga e compasso venne determinata nel momento in cui si dimostrò la trascendenza di pi greco.

Rhind: Il papiro di Rhind è un papiro egizio di argomento matematico, che deve il proprio nome all’antiquario scozzese che lo acquistò nel 1858. Largo trentadue centimetri, raggiunge i cinque metri di lunghezza e contiene ottantaquattro problemi di matematica con relative soluzioni. Tra i problemi geometrici, si individua il calcolo dell’area di un cerchio di diametro uguale a 9: il cerchio risulta essere equivalente ad un quadrato di lato 8, il che implica che il valore di pi greco utilizzato è una buona approssimazione.

Shanks: La possibilità di utilizzare un computer per determinare le cifre di pi greco ha aumentato notevolmente il numero di cifre: da 152 cifre nel 1837, si superarono le mille nel 1949 con una calcolatrice da tavolo e le diecimila nel 1958 con un IBM 704. Nel 1961, Daniel Shanks e John William Wrench ottennero 100265 cifre grazie a un IBM 7090, che lavorò per quasi 9 ore.

Trascendente: Ferdinand von Lindemann è ricordato soprattutto per aver dimostrato la trascendenza di pi greco. Affermare che pi greco è un numero trascendente equivale a dire che non può essere soluzione di equazioni a coefficienti razionali e la differenza rispetto ai numeri algebrici si nota subito con un semplice esempio: la radice quadrata di 2 è algebrica, in quanto si ottiene come soluzione dell’equazione di secondo grado x²–2=0. La dimostrazione della trascendenza fu ottenuta nel 1882, subito dopo che Charles Hermite ebbe dimostrato la trascendenza del numero di Nepero.

Uccisione: OJ Simpson, giocatore di football americano, nel 1994 è stato accusato di aver ucciso l’ex moglie e l’amico di questa. L’anno seguente fu assolto, grazie ad un avvocato davvero scaltro, che si servì anche del pi greco per far invalidare le prove: un agente sbagliò a calcolare l’area della goccia di sangue usata per tracciare il DNA dell’assassino e il giudice invalidò la prova.

Viète: A differenza delle formule precedenti, quella proposta da François Viète è data non da una somma infinita, ma da un prodotto infinito di radicali. La cosa buffa è che i matematici amano essere molto stringati nelle formule e, nel caso di un prodotto, la riduzione della formula avviene mediante il simbolo di produttoria, ovvero un pi greco maiuscolo.

Zero: La 2.000.000.000.000.000a cifra di pi greco è uno zero: è stato annunciato nel 2010 da Nicholas Sze, che ha usato 1000 computer contemporaneamente per 23 giorni di fila per poter effettuare il calcolo. Il matematico è riuscito a realizzare questo primato, perché «suddividendo i problemi in tanti piccoli sotto-problemi il numero di cifre decimali calcolate, rispetto al precedente record di 5 trilioni (un trilione corrisponde a mille miliardi), è semplicemente raddoppiato».

Buona matematica e buon pi-day! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

Esercitazione di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: studio di funzione. 

Durata: un'ora.

Verifica di matematica, classe quinta liceo scientifico. 
Argomento: teoremi del calcolo differenziale. 

Durata: due ore.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico. 
Argomento: equazioni di grado superiore al secondo, equazioni parametriche e problemi. 

Durata: due ore.