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Nonostante abbia pensato spesso agli origami come ad un’attività che poteva avere qualche risvolto significativo, dal punto di vista matematico, solo alla scuola primaria o, al massimo, per la scuola secondaria di primo grado, mi è capitato di cercare dei libri che proponessero attività laboratoriali, magari da usare durante un’edizione di BergamoScienza. Poi ho conosciuto Sonia Spreafico autrice, insieme a Emma Frigerio, di Ed ora, origami e ho trovato, su suggerimento proprio di Sonia, un’attività da proporre alla mia quarta liceo scientifico, che sta muovendo i primi passi nel mondo della goniometria. Già dopo la prima attività, ho capito che le potenzialità sono davvero grandissime!

Ho cominciato con l’attività della costruzione di un goniometro (presentata a pagina 100 del suddetto libro) e i ragazzi si sono lasciati coinvolgere abbastanza facilmente, forse incuriositi dai foglietti colorati, e, nonostante fosse l’ultima ora di lezione, hanno partecipato con entusiasmo, rispondendo a tutte le mie domande e individuando gli angoli noti. Da lì in poi, è stato facile far loro ricavare seno, coseno e tangente degli angoli di 30°, 60° e 45°, ponendo uguale a 1 il lato del foglietto.

Con le funzioni dell’angolo di 45° abbiamo giocato un po’, perché partire dal triangolo indicato in blu nel disegno precedente implica confrontarsi con i (tragici) radicali doppi e ragionare bene con la geometria euclidea; perciò, qualcuno ha pensato bene di scegliersi il triangolo verde e risolvere il problema… alla radice!

Mentre i ragazzi piegavano e calcolavano, ho pensato a un modo per proporre gli archi associati che potesse sfruttare ancora gli origami, considerando anche la disponibilità delle due ore di lezione consecutive. La mattina dopo, quindi, mi sono presentata in aula con un bel po’ di foglietti colorati e, come prima cosa, i ragazzi si sono divertiti a scegliere il colore preferito.

Tutto è cominciato con due pieghe centrali, per ottenere gli assi cartesiani e poter rappresentare la circonferenza goniometrica: oggi il lato del quadrato ha misura 2, a differenza di ieri.

Il secondo passo è stato quello di individuare un angolo a, con l’unico vincolo di essere nel primo quadrante: si è trattato di realizzare una piega che passasse per il centro della circonferenza.

La sfida era quella di rappresentare gli angoli supplementare ed esplementare dell’angolo dato, e l’angolo che differisse da questo di un angolo piatto, con il limite di non poter usare righelli e matite, ma di doversi limitare alle pieghe. Non è stato difficile capire di dover usare l’asse x come asse di simmetria per poter individuare l’angolo esplementare:

I quattro archi associati ad a sono stati così individuati senza grossi problemi.

L’ultimo passo è stato quello di effettuare delle pieghe, parallele ai lati del quadrato, che passassero per le intersezioni delle pieghe precedenti con la circonferenza,

per poter riconoscere le funzioni goniometriche degli archi associati in funzione di quello di partenza.

Acquisita un po’ di confidenza con lo strumento ed avendone colta la potenzialità, la classe ha risposto con rinnovato entusiasmo alla seconda sfida: individuare gli archi collegati ad a da somme e sottrazioni di angoli retti e loro multipli dispari. Siamo partiti con il vincolo, per a, di essere minore di un angolo di 45°, ma non era realmente necessario. Qualcuno, non avendo colto questa richiesta, si è ritrovato poi con un rettangolo “sdraiato” invece che “in piedi”, ma è stato rassicurato da chi, in precedenza, aveva ottenuto un rettangolo “in piedi” laddove tutti avevano trovato quello “sdraiato” (traduzione matematica: rettangolo “sdraiato”, ovvero rettangolo con la base maggiore dell’altezza; rettangolo “in piedi”, ovvero con la base minore dell’altezza).

Il primo obiettivo è stato quello di individuare l’arco che differisce di un angolo retto dall’angolo dato, e, avendo finalmente capito come effettuare la piegatura per ottenere l’asse di un segmento, è stato sufficiente piegare a metà la figura ottenuta dalla piega di a per ottenere l’angolo richiesto.

Dopo aver individuato l’angolo richiesto, non ci è voluto molto per individuare la somiglianza con quanto fatto prima e trovare così gli altri tre angoli associati.

Anche dimostrare la congruenza dei triangoli rettangoli presenti nella figura, per poter individuare le funzioni goniometriche dei nuovi angoli, è stata una richiesta nata proprio dagli studenti, che hanno “sopportato” meglio il linguaggio della geometria euclidea, vissuta in questo caso come un aiuto, più che come un’incombenza necessaria.

L’ultimo passo, questa volta assegnato da svolgere in autonomia a casa con un foglietto origami in omaggio, è stata la riduzione al primo quadrante di angoli noti.

In questo percorso, la fantasia ha agevolato la memoria e favorito la comprensione, ma per concludere degnamente l’attività, abbiamo chiuso le due ore con quattro manches a Seni in fila, uno dei giochi proposti proprio da Sonia Spreafico e Paola Morando (presenti su Instagram con il profilo Giochi e pieghe). Per una volta, le due ore di matematica sono state vissute in leggerezza!

Verifica di matematica, classe quarta liceo scientifico.
Argomento: funzioni goniometriche.

Durata: un'ora.

Verifica di matematica, classe quarta liceo scientifico. 
Argomento: recupero primo quadrimestre: formule goniometriche, trasformazioni geometriche, problemi con discussione.

Durata: due ore.

Verifica di recupero del primo quadrimestre, classe quarta liceo scientifico.
Argomento: coniche, sistemi parametrici, trasformazioni geometriche, goniometria.

Durata: un'ora e mezza.

Verifica di matematica, classe quarta liceo scientifico.
Argomento: formule goniometriche e archi associati. 
Verifica di recupero per gli assenti.

Durata della prova: un'ora.

Verifica di matematica, classe quarta liceo scientifico.
Argomento: formule goniometriche e archi associati. 
Verifica di recupero per gli assenti.

Durata della prova: un'ora.

Verifica di matematica, classe quarta liceo scientifico.
Argomento: formule goniometriche e archi associati.  

Durata della prova: 2 ore.