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Pc collegato al proiettore, sullo schermo è aperto MINECRAFT, davanti al pc Alunno 01, con le cuffie sulle orecchie, concentrata a lavorare alle illusioni prospettiche realizzate.

Prof.1: (voce dal corridoio) Alunno 01! Alunno 01! (Alunno 01 non risponde. La Prof.1 arriva davanti al pc di Alunno 01) Impossibile farsi rispondere da te, vero? (Alunno 01 si toglie le cuffie). Cosa stai facendo? Ancora a pc? (Arrabbiata) Basta con questo computer! È estate! Se non ti decidi a fare altro, te lo brucio!
Alunno 01: Ma mamma, sto lavorando per BergamoScienza!
Prof.1: (di colpo interessata!) Davvero? E cosa stai facendo di bello?
Alunno 01: (mostra alcune delle illusioni realizzate con Minecraft) In questo caso sembra che ci sia un muro. Vedi? Avvicinandomi sembra che il muro diventi sempre più grande.
Prof.1: Vedo! E invece?
Alunno 01: E invece non c’è nessun muro!
Prof.1: Bello! Davvero interessante! (passando ad una nuova slide) Ma questa è la scala di Penrose!
Alunno 01: Sì, non mi è uscita benissimo, però sono riuscita a farla. E guarda cosa succede quando mi avvicino!
Prof.1: Si vede che non è realmente una scala!
Alunno 01: Esatto! Però, vedi? In questa ultima slide, si vede il punto di vista della prima parte.
Prof.1: Ah, eri lì in alto?
Alunno 01: Sì. È solo da quel punto che la scala appare reale!
Prof.1: Ma… non è che per caso hai realizzato anche il Belvedere di Escher?
Alunno 01: Sì. Eccolo qui!
Prof.1: Bellissimo! Sembra proprio reale!
Alunno 01: Sì. E ci si può salire sopra, scoprendo che i due piani sono perpendicolari e scollegati e che la scala che collega i due piani in realtà è come sospesa.
Prof.1: Bellissimo! Davvero un gran bel lavoro! 

La voce si perde, mentre entra Alunno 02: 

Il gioco della PROSPETTIVA

Alunno 02: Buonasera a tutti e benvenuti alla seconda conferenza corale di BergamoScienza! Dopo il successo strepitoso dell’anno scorso (se n’è parlato per settimane nei corridoi della scuola) abbiamo deciso di ripetere l’esperienza. Durante questa serata, vi mostreremo ciò che abbiamo realizzato nei nostri laboratori…
Prof.2: (seduta tra il pubblico) Ma… e la scena di prima? Non spieghi cosa è successo?
Alunno 02: Beh… (imbarazzata) La scena di prima… che dire? Diciamo che si può prestare a diverse interpretazioni, a seconda del punto di vista! Magari è successa davvero da qualche parte – magari quest’estate a casa della Prof.1 – o magari è stato solo un modo per introdurre questa conferenza. Insomma, è davvero difficile stabilire dove stia di casa la verità, così suscettibile ai… punti di vista!

Ma non perdiamo tempo e concentriamoci sul lavoro che dobbiamo fare questa sera! Non vi avevano avvisato? Questa sera vi proponiamo un piccolo gioco, giusto per scaldare un po’ l’atmosfera. Il gioco si intitola: Punti di vista! Vi mostreremo delle fotografie e voi dovrete indovinare di cosa si tratta! Pronti? Basta alzare la mano per rispondere.
Ecco la prima. Che cos’è? 

Diverse voci si alzano dal pubblico: chi dice un pupazzo, chi parla di una rana (!)… 

Prof.3: (sbracciandosi) Io lo so, io lo so, io lo so!
Alunno 02: (sottovoce, fingendo di parlare solo con la Prof.3) Certo professoressa, che lo sa: mi ha aiutato lei a trovarla!
Prof.3: (facendo finta di nulla) È un portasapone!
Alunno 02: Ehm… sì! Bravissima! Passiamo alla seconda immagine allora! Cos’è questo?

Diverse voci si alzano dal pubblico: qualcuno dice sia Batman, qualcuno parla di un pupazzo… 

Prof.3: (sbracciandosi) Io lo so, io lo so, io lo so!
Alunno 02: (sottovoce, fingendo di parlare solo con la Prof.3) Certo professoressa, però, per favore, non risponda lei: è bene che partecipino gli altri!
Prof.3: (facendo finta di nulla) È un apribottiglie!
Alunno 02: Ehm… sì! Bravissima! Sembra proprio che le sapesse in anticipo, eh? Ma allora vediamo se sa cos’è questo!
Questo non lo conosce! Per forza! L’ho inserito senza che lei lo sapesse. Qualcuno sa cos’è? 

Diverse voci si alzano dal pubblico: qualcuno dice sia una pianta, qualcuno una rana (!) e poi: 

Alunno 03: È uno scopino del water! Anzi: è meglio noto con il nome di Merdolino!
Alunno 02: Esatto! Bravissimo! E… questo?
Prof.3: (sbracciandosi) Io lo so, io lo so, io lo so!
Prof.2: (infastidita) Sì, Prof.3, lo sappiamo anche noi! Ma non per questo ci agitiamo come fai tu e diciamo a tutti che è un portauovo! Basta adesso!
Prof.3: Ma così l’hai detto tu! E non hai nemmeno alzato la mano!
Prof.2: Boh, è vero! (e ride)
Alunno 02: (seccata) Beh, direi che questo gioco di riscaldamento non ha funzionato molto.

Allora, passiamo a cose un po’ più serie e lasciamo la parola ai due seri del gruppo, che ci raccontano la prospettiva da un punto di vista molto particolare. Vi presento il Prof.4 e Alunno 03, studente del liceo scientifico. 

La PROSPETTIVA in matematica

Prof.4: Buonasera a tutti. Ora, con Alunno 03, ripasseremo il laboratorio sulla proiezione stereografica che abbiamo presentato alle elementari, perciò, anche se parleremo di matematica, state tranquilli: è davvero semplice!
Alunno 03: Ma certo, è talmente semplice che avremmo potuto presentarlo anche all’asilo.
Prof.4: Ok, allora... anche se non ce ne sarebbe bisogno, spiega un attimo al nostro pubblico cosa sta vedendo in questo momento sulla slide.
Prof.3: LA PROIEZIONE STEREOGRAFICA!!!
Alunno 03: Ma sì, lo sappiamo che per noi è ovvio, visto che ne abbiamo parlato alle elementari... Cerchiamo di stare concentrati e prendiamo la 2-sfera che tutti conosciamo, con il suo bel polo Nord N, di coordinate (0; 0; 1). Consideriamo poi un punto P, di coordinate generiche (x'₁; x'₂; x'₃) appartenente a S² privata di N. Per dedurre l’immagine P’ mediante la proiezione stereografica sul piano z=0, come evidente dalla figura, bisogna determinare l’intersezione della retta NP con xy.
Prof.4: Con calcoli banali troviamo che le equazioni di NP sono (x₁-0)/(x’₁-0)=(x₂-0)/(x’₂-0)=(x₃-1)/(x’₃-1), quindi ponendo x₃=0, ricaviamo le coordinate di P’: (x’₁/(1-x’₃); x’₂/(1-x’₃)), da cui l’azione della proiezione stereografica π_N che tutti conosciamo. (tra il pubblico si sente un po’ di fermento e il Prof.4 si gira, stizzito, facendo segno alle ragazze di fare silenzio)
Alunno 03: E per dimostrare che è una mappa biunivoca tra  e il piano basta ora considerare il viceversa: sia, quindi,  un generico punto di R²... (Le chiacchiere del pubblico aumentano di volume e…)
Prof.4: Alunno 05, per favore, potresti smettere di chiacchierare? Stai disturbando la nostra lezione!
Alunno 05: Mi scusi, prof, non avevo capito che si trattava di una lezione, ma: penso che stiate esagerando!
Prof.4: (infastidito) Cosa intendi, scusa?
Alunno 05: Scusi, non volevo farla arrabbiare, ma intendo che, secondo me, c’è un modo più semplice per spiegare queste cose!
Prof.4: Ah sì! Beh, questo è il tuo punto di vista! (rivolgendosi a Alunno 03, con sarcasmo) A questo punto direi che possiamo lasciare spazio a Alunno 05, allora, visto che ritiene di poter far meglio di noi. Prego, Alunno 05! Procedi!

(Alunno 05 sale sul palco, un po’ imbarazzata) 

PROSPETTIVA e geografia

Alunno 05: Scusate, non volevo essere presuntuosa, ma credo che queste cose si possano spiegare con una certa semplicità, visto che, dopo tutto, le abbiamo spiegate anche ai bambini di quarta elementare durante i laboratori. Voi stavate capendo la spiegazione?
(coro di no, proveniente dal pubblico – aizzato dagli animatori presenti)
Ok, allora provo io a spiegarvelo, che ne dite?
Sappiamo tutti che possiamo rappresentare la superficie della Terra, che è rappresentabile con una sfera.
Prof.4: UN GEOIDE!
Alunno 05: Sì, ehm, si può approssimare con una sfera, non abbiamo parlato di geoidi con i bambini delle elementari. (Alunno 03 e il Prof.4 lasciano il palco, infastiditi) Comunque, possiamo rappresentare la superficie della Terra con i paralleli, circonferenze parallele all’Equatore, e i meridiani, le circonferenze massime passanti per i Poli, e questo permette di realizzare un reticolo, che possiamo riportare su un foglio per rappresentare i continenti. Ovviamente una carta piana non può riportare precisamente ciò che si trova su una sfera: pensate ad un’arancia! Qualcuno è mai riuscito ad appiattire completamente la buccia intera di un’arancia? No! Non è possibile! (e, come dimostrazione, sbuccia un’arancia e cerca di appiattirne la buccia). Perciò, una carta geografica “piatta” non può che essere un’approssimazione di ciò che si trova sulla sfera.

Procediamo a realizzare la nostra carta geografica, come abbiamo fatto con i bambini delle elementari. Prendiamo come riferimento l’Equatore, che evidenziamo sulla carta, e un meridiano a caso (nel caso della Terra si usa il meridiano di Greenwich): questi costituiscono i nostri assi cartesiani sul foglio. Contando i meridiani e i paralleli, possiamo ottenere le coordinate dei vertici della figura rappresentata su questa sfera e, unendoli, rappresenteremo il “continente” anche sulla nostra carta. Partiamo dall’origine e scegliamo il primo punto del nostro continente a forma di M: ci spostiamo verso destra di 2 unità e verso il basso di altre 2 unità e rappresentiamo questo punto sul piano. Procediamo con il secondo punto, che si trova 4 unità lungo il meridiano andando verso il polo Nord e facciamo la stessa cosa con tutti gli altri vertici della nostra M.

Quella che ho usato per questa proiezione è la carta di Lambert, che, come possiamo vedere dagli indicatori di deformazione di Tissot, conserva le aree dei continenti, ma non le loro forme. Infatti, le circonferenze rappresentate diventano ellissi avvicinandosi ai Poli, ma mantengono la stessa area. Al contrario, la proiezione di Tolomeo, che avviene a partire da un Polo e tracciando i raggi che incontrano i punti della semisfera opposta e li proiettano su un piano parallelo all’Equatore ma passante per l’altro Polo, conserva le forme, e quindi gli angoli, ma non le aree, infatti le forme restano sempre circolari, ma aumentano la propria area allontanandosi dai Poli. Infine, la carta forse più nota è quella di Mercatore, che non conserva l’area, ma l’ampiezza degli angoli e per questo motivo era la preferita dai navigatori.

(Alunno 05, presa dalla spiegazione, decide di andare anche oltre)

Alunno 05: Sapete, durante i laboratori non abbiamo parlato solo di carte geografiche, ma anche di stelle e credo che potrebbe spiegarvele molto bene il mio collega Alunno 06. Alunno 06 (chiamandolo dal pubblico), puoi proseguire tu? 

La PROSPETTIVA delle stelle

Alunno 06: (salendo sul palco) Grazie, Alunno 05, per questa occasione. Io direi, però, che potremmo parlare delle stelle come avremmo voluto fare fin dall’inizio. Ricordi al campus quando avevamo parlato degli oroscopi, ma i professori hanno detto che non avrebbe funzionato durante i laboratori? Io direi che, visto che con le stelle abbiamo avuto un grande successo, potremmo cominciare proprio dall’oroscopo. Però lo facciamo in modo un po’ originale! Allora… Visto che io sono del segno del toro, comincerei proprio dalla costellazione del Toro e leggerei l’oroscopo di oggi per me (alle sue spalle compare l’immagine della costellazione del Toro allo specchio ma lui non se ne accorge, troppo intento a frugare in tasca alla ricerca dell’oroscopo del giorno…)
“La giornata del toro non avrà grandi eventi di rilievo” – (commenta con Alunno 05) vero! Non è successo niente di che, oggi
Alunno 05: Infatti, siamo stati qui tutto il giorno a fare le prove!
Alunno 06: (proseguendo nella lettura) “ma in serata avrà l’occasione di sentirsi al di sopra di tutti” – ed effettivamente sono qui su un palco, più in alto di tutti voi! – “Peccato che questa sensazione di forza sarà in qualche modo smorzata dall’amore” – Perché? Con Alunno 07 va tutto bene…
Alunno 05: Non avete litigato?
Alunno 06: No, va tutto bene! Comunque, l’oroscopo si conclude con: “Il vostro partner vi riporterà con i piedi per terra!” – Chissà che significa…
(Alunno 06 non fa a tempo a finire la frase, che una inviperita Alunno 07 lo tira giù dal palco e, cercando di non farsi sentire dal pubblico, sibila):
Alunno 07: Ma sei impazzito? Cosa stai facendo? Va bene che assomigli a Paolo Fox, ma mi pare che tu stia esagerando!
Alunno 06: Ma è una cosa del campus. Tu non c’eri, non puoi saperlo!
Alunno 07: Però so che non si può parlare di oroscopi durante un festival scientifico! Facciamo così, lascia perdere questa storia degli oroscopi e facciamo vedere l’attività delle stelle, dai! (Lo riporta sul palco e poi si rivolge al pubblico) Magari potremmo far partecipare al nostro gioco qualcuno del pubblico, per far vedere come funziona la nostra attività sulle stelle, che ne dici?
Alunno 06: Hai ragione! (Sale sul palco uno degli animatori dell’anno scorso)
Alunno 07: Dopo tanti anni da animatore, una volta tanto fai l’animato! 

Alunno 06 e Alunno 07 presentano l’attività, mentre ExAlunno 08 deve realizzare quanto richiesto 

Come vedi, ExAlunno 08, all’interno della scatola abbiamo realizzato la costellazione della bilancia (Alunno 07 accende la torcia del cellulare, per illuminare l’interno della scatola, ExAlunno 08 si inchina a guardare all’interno). Se, però, giriamo la scatola e mostriamo il piano laterale della nostra scatola, vediamo che non compare più la costellazione, come l’avevamo vista all’inizio. Sai dare una spiegazione?
ExAlunno 08: Beh, perché girando la scatola ho un diverso punto di vista!
Alunno 06: Esattamente! E proprio questo ci ha permesso di far capire ai partecipanti ai nostri laboratori che le costellazioni non esistono realmente, sono delle illusioni!
Alunno 02: Volete parlare di illusioni? Allora tocca a me…
(Alunno 02 fa per alzarsi, ma Alunno 09 la trattiene e le sibila) Non tocca a te, ora!
Alunno 02: Non tocca a me? Sei sicura?
Alunno 09: Sicurissima
Alunno 06: (riprendendo a parlare come se non fosse stato interrotto) Credo che sia chiaro per tutti come funziona questa storia delle costellazioni. Anche la visione di una costellazione dipende dal punto di vista e quelle che noi “leggiamo” nella volta celeste sono frutto della nostra posizione e, in altre parole… (Tra il pubblico, Alunno 10 ed Alunno 11 cominciano a parlottare, interrompendo la spiegazione di Alunno 06) Alunno 10, Alunno 11, non potreste stare un po’ zitte? Qui stiamo cercando di lavorare!
Alunno 10: Alunno 06, stavo solo dicendo a Alunno 11 che, secondo me, quello che abbiamo fatto nel laboratorio di arte potrebbe essere più semplice per spiegare la prospettiva. Se vuoi, possiamo andare a prendere una cosa nella sala della mostra e te la facciamo vedere. (Senza aspettare una risposta, si alzano ed escono)
Alunno 06 (rivolto a Alunno 07): Ma tu sai di cosa stanno parlando?
(Alunno 07 scuote la testa. Rientrano Alunno 10 ed Alunno 11 e salgono sul palco) 

PROSPETTIVA meccanica

Alunno 11: Stavo raccontando a Alunno 10 che durante la mostra, abbiamo usato questo strumento inventato, pensate un po’, da Leonardo da Vinci. Noi l’abbiamo realizzato per la mostra, ma è stato così efficace che anche i bambini più piccoli riuscivano a capirne il funzionamento. Avremmo bisogno, però, di qualcuno del pubblico per spiegarlo meglio e…
(Alunno 12, travestito da Leonardo da Vinci con una vistosa tunica dorata e una parrucca, che lo fa assomigliare più a Einstein che a Leonardo, sale sul palco, inchinandosi di fronte al pubblico. Dal pubblico – sempre aizzato dagli animatori – si levano grida entusiaste. Alunno 11 e Alunno 10 sono un po’ intimidite):
Alunno 10: Buonasera, signor Leonardo! Che piacere averla qui con noi!
(Leonardo-Alunno 12 non parla, si limita a fare cenni con la testa e a sorridere)
Alunno 11: Signor Leonardo, vuol provare a farci vedere come funziona questo strumento di sua invenzione?
(Leonardo-Alunno 12 si siede e, enfatizzando i gesti, comincia a disegnare. Nel frattempo, Alunno 11 e Alunno 10 predispongono un solido dietro la reticella e spiegano al pubblico)
Alunno 10: Vedete, questo strumento è un prospett… un prospett…
(dal pubblico si leva una voce):
Prof.3: PROSPETTOGRAFO!
Alunno 11: Ecco, grazie… Questa, ehm, finestrella! serve per rappresentare con facilità gli oggetti in un disegno, dando un’idea di profondità.
Alunno 10: Sì, Alunno 11, serve per trasferire la realtà tridimensionale su un foglio bidimensionale, usando la prospettiva, senza però aver bisogno di conoscere tutte le regole della prospettiva. In questo modo, si riesce a dare un’idea di profondità e…
(Leonardo-Alunno 12 si alza in piedi e mostra una riproduzione del Cenacolo!)
Alunno 11: Oh… beh… (resta senza parole)
Alunno 10: Beh, direi che non ha proprio esattamente mostrato come funziona, ma… beh, diciamo che ha usato la prospettiva. (voltandosi verso il pubblico) Voi che dite?
(applausi dal pubblico, aizzati dagli animatori. Leonardo-Alunno 12 si inchina e si allontana dal palco compiaciuto)
Alunno 11: Beh… (imbarazzata) direi che abbiamo fatto ciò che volevamo, ma mi ero illusa che…
Alunno 02: Volete parlare di illusioni? Allora tocca a me…
(Alunno 02 fa per alzarsi, ma Alunno 09 la trattiene e le sibila) Non tocca a te, ora!
Alunno 02: Non tocca a me? Ma a chi tocca allora?
(dal pubblico si leva una voce):
Prof.3: alla Prof.5!
(La Prof.5 si alza in tutta fretta e si avvicina al palco) 

PROSPETTIVA chimica

Prof.5: Buonasera a tutti! Scusate, mi sono distratta un attimo! È che i ragazzi sono così bravi che si resta rapiti ad ascoltarli, non trovate? Allora, io sono un’insegnante di scienze, ma sono innanzi tutto una chimica e, quindi, vorrei parlarvi di chimica. Sapete, quando abbiamo progettato questi laboratori di BergamoScienza, noi docenti di scienze avevamo grandi idee e avremmo voluto parlare di tante cose, ma i ragazzi… beh, sapete come sono fatti i ragazzi! Hanno detto che, siccome toccava a loro fare i laboratori, avrebbero scelto loro di cosa parlare e, quindi, abbiamo dovuto rinunciare alla bellissima storia di… Rosalind Franklin!

(Alunno 13, impersonando Rosalind, sale sul palco con passo elegante e si inchina al pubblico)

Sapete chi è Rosalind Franklin? È stata una chimica, biochimica e cristallografa britannica e il suo lavoro è stato fondamentale per capire la struttura del DNA… Mi pare importante raccontarvi la sua storia! (Prendendo in mano il libro in inglese su Rosalind Franklin, la Prof.5 finge di tradurre) Sapete, ho appena fatto il corso B2, perciò posso permettermi di tradurvi direttamente il testo!

C'era una volta una giovane scienziata di nome Rosalind Franklin. Era molto curiosa e intelligente, e passava le sue giornate in laboratorio, cercando di scoprire i segreti della vita. Un giorno, dopo tanto lavoro e studio, fece una scoperta incredibile. Rosalind era felice, ma anche concentrata. Sapeva di avere qualcosa di grande tra le mani, ma non immaginava che due loschi scienziati, Watson e Crick, stessero osservando da lontano, pronti a prendersi il merito di quella scoperta. Senza che lei lo sapesse, rubarono la famosa ‘Foto 51’. Con quell’immagine, Watson e Crick capirono come era fatta la struttura del DNA. Svelarono al mondo la loro scoperta, e furono acclamati come eroi. Ma nessuno sapeva che, in realtà, il loro grande successo era anche merito di Rosalind.

(Mentre la prof.5 racconta, Rosalind-Alunno 13 guarda nel microscopio, poi ad un certo punto ne tira fuori una fotografia e la osserva. Nel frattempo, Watson-Alunno 14 e Crick-Alunno 15, la guardano scuotendo la testa, commentando tra loro con aria sarcastica. Quando Rosalind-Alunno 13 mette la foto nella borsa, Watson-Alunno 14 e Crick-Alunno 15, le rubano la borsa. Poi si vedono esultanti mentre ricevono il premio Nobel consegnato da Alunno 10. Ad un certo punto, Watson-Alunno 14 prende la parola):

Watson-Alunno 14: (parlando con accento inglese) Vorrei raccontarvi la mia versione della storia, o meglio la versione ufficiale, e non ho bisogno di spendere troppe parole. La verità è che Rosalind non aveva davvero capito quale sarebbe stata la struttura del DNA. Ha fatto semplicemente una buona fotografia, tutto qui, ma non era in grado di interpretarla. Vorrei farvi vedere cosa abbiamo intuito io e Crick e, casualmente, ho qui una piccola realizzazione tridimensionale di ciò che intendo. (Alunno 14 mostra al pubblico la sua riproduzione di un modello del DNA e alle sue spalle compare l’immagine di come abbia funzionato la fotografia, mostrata durante un laboratorio dai nostri animatori). Quella di aver capito davvero la struttura del DNA era, per Rosalind, solo una vana illusione…

Alunno 02: Volete parlare di illusioni? Allora tocca a me…
(Alunno 02 fa per alzarsi, ma Alunno 09 la trattiene e le sibila) Non tocca a te, ora! 

Illusioni PROSPETTICHE

Alunno 02: Non tocca a me? Ma… Le illusioni sono belle, devo parlarne io! (Sale sul palco e comincia a mostrare delle illusioni sullo schermo). Allora: è il momento di parlare delle illusioni ottiche. Sapete, no, quando il cervello male interpreta ciò che vedono gli occhi? Ecco, ora vediamo se voi riuscite a vincere il vostro cervello. Ecco la prima illusione: secondo voi, qual è la linea più lunga tra queste due in neretto?
Alunno 09 (dal pubblico, esasperata): sono uguali, è evidente!
Alunno 02: Ma, veramente, non è così evidente, comunque… passiamo alla prossima:
Alunno 09 (dal pubblico, esasperata): i due tavoli sono uguali!
Alunno 02: Ma io non avevo ancora chiesto niente. Ma Alunno 09, insomma, smettila, non puoi far sempre così
Alunno 09 (dal pubblico): Ma smettila tu, scusa!
Prof.2 (dal pubblico), facciamo che smettete entrambe? Anzi (alzandosi e andando verso il palco, e rivolgendosi al pubblico), io direi che si è fatta una certa e che potremmo anche chiudere qui…
Prof.1 (dal pubblico): NO!
Prof.2: Come scusa?
Prof.1 (dal pubblico): Ci sono ancora 212 slide da mostrare, non si può chiudere così! Alunno 16, prof.6, non dovevate parlare delle vostre proiezioni?
(Alunno 16 e prof.6 si alzano dal proprio posto tra il pubblico e raggiungono il palco)

PROSPETTIVA anamorfica

Prof.6: Direi che non si può chiudere la conferenza senza parlare dell’anamorfosi!
Alunno 07: Oh, che bello, professoressa, l’ha pronunciato alla greca! Si vede proprio che è una grecista!
Prof.6: Grazie, Alunno 07. Dicevamo, Alunno 16, che ne dici di parlare di anamorfosi?
Alunno 16: Sono d’accordo! Soprattutto dopo che ho passato un intero pomeriggio, con la prof.7, a capire come colorare quelle benedette griglie!
Prof.6: Sì, certo, ma soprattutto dobbiamo parlarne perché sono davvero belle. Sai, ad esempio, che sono state fondamentali per realizzare la Cappella Sistina?
Alunno 16: No, guardi professoressa che si confonde: l’anamorfosi è quella che abbiamo fatto con le griglie quelle rotonde
Prof.6: Intendi le griglie polari?
Alunno 16: Sì, certo… non ho detto polari?
Prof.6: No, comunque l’anamorfosi è quella deformazione che Michelangelo ha dovuto usare per rappresentare le figure umane più in alto nella Cappella Sistina, altrimenti per un effetto prospettico noi…
Alunno 16: Sì, va bene, è interessante, ma forse è meglio se presentiamo quello che abbiamo fatto con i bambini delle elementari, no? Così almeno capiscono tutti!
Prof.6: Va bene, come vuoi tu.
Alunno 16: (mostrando l’immagine di un disegno realizzato su una griglia polare) Ad esempio questo: secondo lei cosa rappresenta?
Prof.6: Eh… io direi: chiediamolo al pubblico! Però… prof.3, per favore, non dare tu la risposta, ok? Lasciamo che ci provino loro!
(Tentativi da parte del pubblico e poi…)
Alunno 16: C’è un trucco per capire cosa è rappresentato! Basta usare uno specchio cilindrico…
Prof.6: Sì, direi che così è più chiaro (mostrando la fotografia della griglia polare riflessa da uno specchio cilindrico). Certo che l’idea di rappresentare un cuore con occhi e bocca…
Alunno 16: Proviamo con questo, allora! Che cos’è? (e mostra una seconda griglia polare)
(Tentativi da parte del pubblico e poi…)
Alunno 16: Lo so, lo so, quel cappello sembrava un colletto, vero? E invece no! L’immagine è capovolta!
Prof.6: Ma così, Alunno 16, hai svelato il trucco. Ora non funzionerà più…
Alunno 16: Secondo me non è così semplice, nemmeno conoscendo il trucco. Proviamo! Cos’è questo?
(Tentativi da parte del pubblico e poi…)
Prof.6: Questo effettivamente non è semplice, nemmeno a sapere che devi guardarlo a testa in giù. Proviamo a girarlo (l’immagine viene capovolta)
Prof.6: Così dovrebbe essere più chiaro…
Alunno 16: Certo, sì! Ed è… (rivolgendosi al pubblico… e…)
Prof.3: UN CUORE! Scusate, non ho resistito, ma era così semplice!
Alunno 16: Semplice, certo!
Prof.6: Alunno 16, siccome non abbiamo la foto sullo specchio, potremmo invitare qualcuno del pubblico perché verifichi se è davvero un cuore, no? (Rientra Leonardo-Alunno 12)
Alunno 16: Ecco, nessuno meglio di Leonardo può verificarlo visto che pare che anche lui abbia realizzato delle anamorfosi. (Leonardo-Alunno 12 controlla il riflesso, osserva l’immagine proiettata, ci pensa un attimo, guarda di nuovo il riflesso e poi, convinto, alza i pollici)
Prof.6: Direi che se anche Leonardo ha confermato, possiamo dirci soddisfatti e potremmo anche concludere, no? Prof.1, vuoi concludere tu?

Prof.1: (salendo sul palco) Direi che possiamo davvero chiudere qui. Abbiamo parlato di tutto quello che abbiamo presentato nei nostri due laboratori: nel primo, abbiamo fatto un percorso matematico-artistico, che è stato presentato proprio in questa sala, parlando di anamorfosi e mostrando la finestrella prospettica.

Prof.3: PROSPETTOGRAFO!

Prof.1: Sì, certo, prospettografo… o finestrella prospettica! E comunque il nome non cambia la sostanza… ma in ogni modo, stavo concludendo (guardando storto la Prof.3). Le attività che abbiamo svolto nel laboratorio di scienze, invece, avevano per oggetto le carte geografiche, le costellazioni e gli inganni prospettici. Forse stasera abbiamo parlato in modo un po’, diciamo così, originale di queste cose e forse avete ritenuto che siamo stati un po’… sopra le righe, ecco! In tal caso, forse sarebbe meglio rendersi conto che questa non è stata una vera conferenza, ma una… come dire?... illusione?!?!

Alunno 02: Illusione! Ha parlato di illusione! Tocca ancora a me, allora
(Alunno 02 fa per alzarsi, Alunno 09 comincia a tirare fuori un sacco di fogli, quelli usati nel laboratorio)
Alunno 09: Alunno 02, basta! Sono qui le tue illusioni, vedi? E le conoscono tutte tutti! Ora basta, vieni con me che usciamo!
Alunno 02: Ma io…
Alunno 09: Basta, Alunno 02, andiamo che è tardi! (e la accompagna fuori, mentre, parlando sottovoce, ma facendosi sentire dal pubblico): Tra la palla pelosa l’anno scorso e le illusioni quest’anno, hai fatto proprio una pessima figura!

Prof.1: Ecco, sì! È tardi! Perciò non mi resta che ringraziarvi per la vostra presenza, sperando che vi siate divertiti. Noi, nel caso non si fosse notato, ci siamo divertiti un sacco! Buona serata!

Realizzato con il contributo di Carolina Bergamini, Chiara Bertoni, Asia Corna, Francesco Mognetti, Roberta Moretti e dei ragazzi che hanno partecipato ai laboratori di Arte-Matica realizzati presso il nostro istituto, per partecipare al festival di BergamoScienza, Chiara, Rossana, Davide, Luca, Alessio, Luca, Agata, Federica, Nicole, Emma, Lorenzo, Beatrice ed Elisa. L’articolo è la trascrizione (quasi) fedele della conferenza presentata al pubblico venerdì 11 ottobre, nella Sala degli Affreschi dell’Accademia Tadini. Grazie al curatore dott. Marco Albertario per l’ospitalità e per le idee, sparse qua e là, grazie alle quali è stata realizzata la mostra presentata nel corso del Festival. 

In allegato le slide realizzate per l'occasione

Conferenza senza bordi: Topologia è…

Pc collegato al proiettore, sullo schermo è aperto un file Power Point con una bella copertina: sullo sfondo immagini di topologia, in evidenza la scritta: “Conferenza senza bordi: Topologia è…” e la data.
Il tavolo con il pc è invaso da oggetti topologici

Sale sul palco la Prof1:
Prof1: Buonasera a tutti e benvenuti! Siamo qui, questa sera, per parlarvi di topologia, l’argomento dei nostri laboratori di BergamoScienza. Purtroppo, hanno chiesto a me di parlarvene, ma io all’Università non ho sostenuto l’esame di topologia. Perciò (la diapositiva successiva recita: “Grazie per l’attenzione!”), vi saluto e vi ringrazio per aver partecipato.

Scende dal palco e se ne va.
Il palco resta vuoto.
Attimo di silenzio.
Dubbi.
Perplessità. 

La Prof2, alzandosi dalla prima fila, prende la parola:
Prof2: Scusate! Temo che ci sia stato un piccolo malinteso con la Prof1. Non erano questi i patti…
Proverò a dire qualcosa io della topologia, anche se ne ho un pessimo ricordo dall’università: il professore mi ha bocciato per due anni consecutivi a tutte le sessioni e non ho imparato nulla. Ci provo! 

La Prof2 sale sul palco, mentre qualcuno si avvicina al pc e cambia la presentazione, inserendo una nuova chiavetta:
Comincerei dallo spiegarvi cosa significa “conferenza senza bordi”. La topologia è una parte un po’ originale della matematica, tanto che viene chiamata “geometria del foglio di gomma”. Io comincerei con questi due anelli: dal posto non li vedete molto bene, perciò, inviterei qualcuno di voi sul palco a darmi una mano (Prof2 chiama Alunn01, prende dal tavolo la striscia di carta e gliela passa, poi confabula con Alunn01, fingendo di spiegare cosa deve fare). Prendete una striscia di carta: se incollate gli estremi tra di loro, ottenete un cilindro e, come potete vedere (Alunn01 mostra la cosa avvicinando i due estremi) ha una superficie interna e una esterna. Adesso, incolliamolo facendo fare una torsione di 180° a uno dei due estremi (Alunn01, intanto, collega con la cucitrice i due estremi): quello che otteniamo è un nastro di Mobius, un nastro che NON ha un dentro e un fuori, perché ha un’unica superficie. Ora prendiamo una seconda striscia e realizziamone un altro, ruotando l’estremo in senso opposto (Alunn01 procede e vengono mostrati i due nastri. Prof2 prende dal tavolo due fogli bianchi) Se prendo due fogli bianchi qualsiasi, di forma rettangolare, riconosciamo tutti che hanno quattro lati [1]: se li uniamo lungo un lato, entrambi i fogli perdono un lato, ma se uniamo due nastri di Mobius… beh! Ogni nastro di Mobius ha un solo lato quindi se io unisco due nastri lungo l’unico lato che hanno… ottengo una bottiglia di Klein che è una bottiglia speciale, visto che non ha bordi, non ha dentro e fuori e non si può riempire. Ecco il motivo per cui questa sarà una conferenza senza bordi, perché non ci sarà qualcuno che parla e qualcuno che ascolta, ma chiunque potrà intervenire, se ha qualche curiosità o se vuole dire qualcosa sulla topologia. 

Entra Alunn02 e prende la parola:
Alunn02: Direi che è ora di mostrare realmente come si svolgerà questa conferenza e cos’è la topologia. Comincerei con una sfilata del Topo-outfit, la linea di moda alla quale abbiamo lavorato quest’anno: Alunn03, tocca a te! 

Alunn03 entra con i pantaloni, sul lato arancio, un toro rosso in testa e il nastro di Mobius enorme a tracolla, una bottiglia di Klein all’uncinetto in una mano come una borsetta e al polso un nastro di Mobius come bracciale 

Alunn02: Come vedete, Alunn03 indossa degli originalissimi pantaloni topologici. Ma in cosa consiste la loro originalità? Non solo nel colore, non certo nella forma (Alunn03 allarga i pantaloni per mostrarne la grandezza), ma nel fatto che, se io chiedo a Alunn03 di mettere a rovescio i pantaloni, lo può fare anche in pubblico, perché non ha bisogno di toglierli! Prego, Alunn03! [2]

Alunn03 procede a rovesciare i pantaloni mentre Alunn02 lo accompagna: A molti di voi sarà capitato di macchiare i pantaloni e di non avere la possibilità di cambiarli. Questa potrebbe essere la soluzione! Mettendoli a rovescio, anche la macchia verrà nascosta! Come vedete, si tratta di un capo molto originale, realizzato con una, anzi due stoffe morbide ed elastiche, in modo che possa essere indossato da chiunque. Certo, per poter rovesciare i pantaloni bisogna essere un po’ elastici e… 

Entra Prof3, con dei libri sotto il braccio, vestito come un professore serio. Interrompe Alunn02 e comincia a parlare:
Prof3: Non è possibile! Ma voi davvero pensate di poter parlare di topologia in questo modo? Andatevene, per favore (e caccia i due dal palco), qui la gente vuole ascoltare qualcosa di serio. Sarà meglio che prenda in mano io la situazione. Buonasera, mi presento: sono Prof3, ex studente del Celeri, e laureando in fisica delle interazioni fondamentali all’Università degli studi di Padova. (si avvicina a pc per mettere una chiavetta e far partire una presentazione e anche chi aveva la postazione a pc si allontana preoccupato). La nobile branca della topologia serve per capire i segreti del nostro universo, dalle cose più grandi come gli astri e le galassie alle cose più piccole come le particelle subatomiche. Prendiamo due buchi neri, oggetti così pesanti che la loro gravità attrae a sé qualsiasi cosa, perfino la luce. Se sono abbastanza vicini, finiranno per fondersi in un solo grande buco nero. Ed ecco che finalmente la forma che volgarmente hanno chiamato “pantaloni” ora ha un significato scientifico importante! Ma non è finita qua: se leggiamo questa figura al contrario, il modello standard, e volendo anche le teorie più recenti e straordinarie come la teoria delle stringhe, ci dicono che questa figura rappresenta una particella che a un certo punto si divide in due particelle più piccole. E questi fenomeni servono non solo alla fisica, ma alla medicina, all’ingegneria e a tutte le scienze! E potrei andare avanti con altri mille esempi, come lo spin delle particelle paragonato al nastro di Moebius, oppure… 

Mentre Prof3 sta concludendo, entra Alunn04, portando un vassoio, sul quale sono presenti una tazza, una teiera e una ciambella. Alunn04 prima offre la tazza vuota a Prof3 (che si ferma perplesso in mezzo a una frase) e poi comincia a versare del liquido nella ciambella, al che Prof3 la ferma: [mentre avviene questo scambio, chi era a pc torna in postazione e fa partire la slide successiva della prima presentazione]

Prof3: Ma cosa stai facendo?

Alunn04: Beh, voi topologi non dite forse che una tazza e una ciambella sono la stessa cosa? Stavo versando il tè nella ciambella e le stavo dando la tazza da mangiare… 

Entra allegra Alunn05 portando con sé una palla pelosa:
Alunn05: Se si parla dell’umorismo dei topologi, allora tocca a me! Sono qui per parlarvi del teorema della palla pelosa, dimostrato dal matematico olandese Brouwer nel 1912! (nel frattempo, Prof3 se ne va mostrando esasperazione e Alunn04 abbandona il palco) «Il teorema ci dice che, se abbiamo una palla pelosa come questa, non è possibile pettinarla in modo continuo in una stessa direzione, senza che ci siano peli che vanno nella direzione sbagliata o punti non pettinati come questo punto qua. Questo teorema […] può essere applicato anche al nostro pianeta, infatti possiamo considerare, anziché la direzione dei peli, la direzione del vento e il teorema in questo caso ci dice che sulla Terra esiste sempre un punto, come questo qua, in cui non c’è minimamente vento.» [3] 

Entra, chiaramente infastidito, il Prof4, vestito da serioso professore e prende la parola:
Prof4: Ma non è possibile! Non si può parlare della matematica in questo modo, come se si trattasse di una barzelletta da raccontare! (Caccia Alunn05dal palco) Innanzi tutto, scusa collega (rivolgendosi alla Prof2), mi pare che tu sia stata un po’ imprecisa su quella cosa del “senza bordi” (sarcasticamente). Forse è bene che chiarisca il concetto per il nostro pubblico. Ho giusto predisposto un paio di slide in proposito... (fa un cenno e subito vengono proiettate le foto delle dispense di topologia, in cui viene “descritto” come ottenere cilindro, nastro di Möbius, toro e bottiglia di Klein a partire da un quadrato). Partiamo considerando un quadrato, o un rettangolo, tanto sono spazi topologici omeomorfi. Come si evince chiaramente dalle immagini mostrate, è possibile quozientare il quadrato chiuso, ovvero [0,1]×[0,1], mediante relazioni di equivalenza opportunamente definite, per ottenere altri spazi topologici: ad esempio, se definiamo la relazione di equivalenza ρ mediante la partizione formata, per ogni punto Y di un lato verticale, dalle coppie {Y,Y^'}, con Y' simmetrico di Y rispetto all’asse di simmetria verticale, e dai singleton {X} per ogni altro punto X del quadrato, lo spazio quoziente [0,1]^2/ρ è omeomorfo al cilindro, cioè S^1×[0,1]. Il cilindro non risolve tuttavia la questione del togliere i bordi, dato che ha frontiera omeomorfa all’unione di due circonferenze distinte, come neppure il nastro di Möbius, dove il bordo è evidentemente omeomorfo a S^1 (sguardo di rimprovero alla Prof2)... se però consideriamo la naturale relazione di equivalenza che identifica anche i lati orizzontali, ciascuno percorso nel verso positivo, allora il quoziente che si ottiene è chiaramente omeomorfo a un toro, cioè al prodotto cartesiano della 1-sfera con se stessa, che ha frontiera topologica vuota, anche senza scomodare la bottiglia di Klein, che pure in effetti è un quoziente del quadrato, mediante la relazione... 

Alunn01, dal posto, alza la mano e, togliendogli la parola, esclama: Io non ho capito niente, me lo può rispiegare?

Si alza dal pubblico la Prof5 e cerca di risolvere la questione
Prof5: Prof4, se non è un problema, provo io. (Rivolgendosi al pubblico) Prendiamo un rettangolo (o un quadrato, visto che per la topologia sono la stessa cosa) e ripieghiamolo su sé stesso. (procede a realizzare davvero quanto dichiarato, con un foglio rettangolare) Come vedete, otteniamo un cilindro. Ora ripieghiamolo di nuovo e facciamo combaciare i due estremi: quello che otteniamo è un toro, quello che i non matematici chiamano ciambella. (prendendo in mano un mega-toro realizzato con la stoffa) Eccone qui una versione in stoffa, un po’ più grande per rendere l’idea! In ogni caso, avrete notato che da un foglio con quattro bordi, siamo passati a un oggetto che non ha alcun bordo! 

Prof4: (impaziente) Va bene… immagino che forse così possa essere chiaro, per un pubblico non esperto. 

Prof5: Volevo concludere raccontando che recentemente è stato dimostrato un risultato di topologia molto importante, che era stato enunciato nel 1977, perciò ci sono voluti quasi cinquant’anni e… 

Interviene Alunn06, timidamente, salendo sul palco con in mano il nastro di Moebius che è una riproduzione all’uncinetto del celebre nastro di Escher:
Alunn06: Mi scusi, Prof5, credo che ora tocchi a me, visto che lei sta parlando da un po’. (Rivolgendosi al pubblico) Vorrei mostrarvi questo bellissimo nastro di Mobius, realizzato a uncinetto seguendo il disegno di Escher, che tutti, credo, conosciamo (alle spalle compare l’immagine del dipinto di Escher). La cosa interessante di questo nastro è che non è il classico nastro di Moebius: se notate, è arrotolato su sé stesso ben due volte e… 

Entra, prepotentemente, Alunn07:
Alunn07: Ma cosa c’entra adesso il liceo artistico? Stiamo parlando di matematica e tirate fuori queste cose artistiche. Io direi che è ora di cominciare a fare i seri. Sapete, i matematici vedono sé stessi come dei poeti sognatori, mentre gli scienziati usano la matematica come uno strumento, utile per ottenere un risultato. La verità è che hanno ragione tutti! Pensiamo alla teoria dei nodi, che è una branca della topologia: questa parte è nata per risolvere un problema scientifico. Prima della scoperta degli atomi, alcuni scienziati, tra i quali Lord Kelvin, credevano che la materia, chiamata etere, fosse fatta di nodi e garbugli. Quindi, hanno cominciato a classificare i singoli nodi (alle spalle compare l’immagine della tavola dei nodi), per poi rendersi conto che non era un modello adeguato. Allora hanno perso interesse, conquistati dalla nuova teoria degli atomi, che era effettivamente quella corretta. I matematici, però, persone un po’ strane come avrete capito, trovarono nei nodi un simpatico passatempo e continuarono a sviluppare questa teoria, che sembrava non avere alcuna utilità. [4] La scienza, inaspettatamente, ad un certo punto ha avuto bisogno di questa teoria, perché… perché… forse è meglio che lasci la parola alla Prof6, docente di scienze del nostro istituto, che potrà spiegarci cosa intendo. (Invita a salire sul palco la Prof6).

La Prof6 sale sul palco e comincia a parlare:
Prof6: Se ci venisse chiesto di disegnare il DNA molti di noi disegnerebbero una scala a chiocciola, la famosa doppia elica. Gruppi alternati di fosfati e di zuccheri sono il corrimano della scala, mentre le coppie delle quattro basi complementari, adenina, timina e citosina, guanina, formano i gradini della scala. 
La struttura di basi si chiama struttura primaria, la doppia elica, invece, struttura secondaria. 
La lunghezza del DNA si misura in termini di coppie di basi: il DNA umano è lungo circa 3 miliardi di coppie, quello del batterio più comune, l'Escherichia Coli, solo 4,4 milioni di basi. 
Nel 1981 grazie ad una tecnica chiamata elettroforesi si giunse alla conclusione che la lunga molecola del DNA ha anche una struttura terziaria, che consiste in un ulteriore avvitamento nello spazio, un po’ come il filo della cornetta del telefono che dopo un lungo utilizzo, assume una struttura super-inanellata, aggrovigliandosi su sé stesso. Quindi il DNA, nel nucleo della cellula, si trova tutto aggrovigliato e compattato in uno spazio piccolissimo e, in alcuni casi, addirittura sotto forma di anello. In queste condizioni, può capitare che si formino nodi, pieghe e intrecci che hanno ripercussioni anche molto negative sulla funzionalità della cellula. (Al lato del palco si mettono Alunn04 e Alunn05: Alunn04 si siede sull’angolo del palco e Alunn05 prima prende le due trecce e le avvolge a elica, poi le compatta creando una specie di chignon. Prof6 fa un cenno affermativo) Infatti, durante la replicazione e la trascrizione, la doppia elica si deve aprire per permettere l’accesso agli enzimi. Separare due semi-eliche che sono super inanellate, talvolta addirittura formando uno o più nodi, è un problema molto complesso oltre che molto interessante. (A questo punto Alunn05 disfa una treccia ad Alunn04, poi cerca di pettinarla, ma sembra che trovi davvero un sacco di nodi… è peggio di una palla pelosa!) Esistono degli enzimi in grado di sciogliere gli eventuali nodi del DNA e riportare la doppia elica a una configurazione più stabile, questi enzimi sono chiamati topoisomerasi. Ed è proprio qui che entra in gioco la teoria dei nodi; infatti, grazie ad essa e alla topologia si possono creare dei modelli con cui validare o smentire ipotesi su come funzionano le topoisomerasi. [5] 

Al termine della presentazione della Prof6, interviene Alunn06:
Alunn06: Mi scusi, professoressa, posso aggiungere una cosa? Vorrei dire che i nodi non sono proprietà solo della scienza, ma anche dell’arte. A me, parlando di nodi, vengono in mente gli anelli di Borromeo (sullo sfondo si apre l’immagine di un nodo borromeo): sono «un esempio di link con tre componenti, ciascuna delle quali è un nodo banale (cioè un anello semplice) e “link borromeo” (più erroneamente ma comunemente detto “nodo borromeo”) deve il suo nome proprio al simbolo araldico fatto risalire alla persona di Federico Borromeo, cardinale e arcivescovo di Milano, che lo scelse appunto come suo emblema, simbolo della dinastia borromea e, data la sua religiosità, i tre anelli potrebbero rappresentare anche la trinità cristiana.» [6] Realizzarlo è molto semplice: basta prendere due anelli disgiunti e poi legarli con un terzo anello (prende due anelli già realizzati e li collega grazie al terzo anello, una striscia di carta fissata con la cucitrice) È così bello che è stato scelto come logo dall’Unione Matematica Internazionale. 

Dal pubblico si alza Alunn08:
Alunn08: Be’, se si vuole parlare di nodi nell’arte, direi che tocca a me… Anzi: tocca a Leonardo da Vinci! Forse può sembrarvi strano questo riferimento al genio di Leonardo in una conferenza sulla topologia, ma si tratta, appunto, di un genio e possiamo trovare qualche traccia di topologia anche nelle sue opere. La mostra che abbiamo presentato ai ragazzi durante il Festival è stata arricchita dalla cornice della biblioteca: con le finestre chiuse, in penombra o con l'illuminazione artificiale, abbiamo ricreato una bolla fuori dal tempo, sia per preservare i libri ivi conservati, sia per poter ricreare un percorso che si sviluppa attraverso i secoli.
Artista, inventore, scienziato… non è così facile definire Leonardo da Vinci, non possiamo incasellarlo o mettergli un’etichetta. Nato nel 1452, Leonardo fa il suo ingresso nella bottega di Andrea del Verrocchio da adolescente: il Verrocchio è un grande artista, ma anche un grande maestro, capace di insegnare ai propri allievi l’uso delle più diverse tecniche pittoriche dell’epoca. Secondo la leggenda, Verrocchio rimase così impressionato dal talento di Leonardo da rinunciare alla pittura per il resto della sua vita, sconfitto dal confronto con l'allievo.
Leonardo si definiva un “homo sanza lettere”: aveva un padre notaio, ma si era rifiutato di seguire le sue orme ed era stato il nonno probabilmente a trovargli il posto presso la bottega del Verrocchio. La sua curiosità insaziabile lo porta a studiare, tanto da costruirsi, nel corso della sua vita, una biblioteca importantissima. Lo sappiamo grazie ai suoi appunti, agli elenchi che abbiamo ritrovato sparsi tra i vari codici. Anche i suoi disegni degli animali sono il suo modo di capire il mondo, capire come si muovono, come sono fatti. Leonardo è un intreccio di scienza e arte: usa la scienza per esprimere meglio la sua arte, usa l’arte per capire la scienza.
Espressione dei suoi pensieri e dei suoi studi sono i suoi famosi codici: si tratta di disegni, schemi tecnici, annotazioni personali, battute di spirito, il tutto annotato con la sua scrittura speculare, orientata da destra a sinistra. Si tratta di migliaia di fogli di diverso formato e ne sono giunti fino a noi circa 8000, ovvero 1/3 di quanto ha realmente scritto. Leonardo avrebbe voluto riordinarli e classificarli, ma non riuscì mai. Alla sua morte li lasciò a Francesco Melzi, uno dei suoi allievi più cari, che li riportò a Milano nel 1523. Ma alla morte di Melzi, gli appunti furono in parte regalati, in parte venduti, in parte rubati.
A noi interessano dei particolari di questi codici: gli intrecci, i nodi vinciani! Sono intrecci che sembrano realizzati come scarabocchi per passare il tempo, gli stessi che tutti facciamo quando siamo annoiati, ma possono essere intrecci che costituiscono uno studio preparatorio per altre opere, oppure schemi per le sue famose macchine, oppure ancora decorazioni delle sue opere più famose (compare l’immagine della Dama con l’Ermellino, con l’ingrandimento di un particolare, un fregio del vestito che riporta, appunto, un intreccio). Tra le sue opere spiccano anche i labirinti, amati dai nobili, per i quali costituivano un passatempo.
Leonardo è vissuto a cavallo tra 1400 e 1500, mentre la nascita della topologia si attesta intorno al 1735, perciò lascerei la parola a Alunn09. 

Alunn09: Grazie! Direi che è il momento di parlare della nascita della topologia, con l’opera di Eulero dedicata ai sette ponti di Konigsberg… 

Al sentir nominare i ponti di Konigsberg, gli animatori di Grafo-mania presenti in sala salgono sul palco: Alunn10, Alunn11, Alunn03, Alunn12 e Alunn13
Alunn03: Se si parla di ponti di Konigsberg, le persone più adatte per parlarne siamo noi, visto che gestiamo il laboratorio di BergamoScienza dedicato a questa bellissima città. Dovete sapere che a Konigsberg ci sono sette ponti e, nella prima metà del 1700, gli abitanti, la domenica pomeriggio, amavano passeggiare su di essi, cercando un modo per passare su ogni ponte una volta sola, ma percorrendoli tutti. Per spiegarvi come fare, abbiamo deciso di rappresentare fisicamente la situazione. La città è divisa in quattro parti dal fiume Pregel e qui ci sono quattro animatori che possono rappresentarle e possiamo prendere questi nastri (sono stati predisposti dei nastri sul tavolo) per realizzare i ponti. Questi due (indicando Alunn12 e Alunn13) sono le due isole, mentre gli altri due sono le sponde del fiume. La prima isola è collegata ad ognuna delle sponde da due ponti (prende quattro nastri e li dispone in modo che colleghino l’isola alle rive), la seconda isola è collegata ad ogni sponda da un ponte (fa la stessa cosa con altri due nastri) e infine le due isole sono collegate tra loro da un ultimo ponte (ed ecco collocato l’ultimo nastro). Vediamo se c’è un volontario tra il pubblico per aiutarci con questa dimostrazione (sale sul palco Alunn14). Chiediamo a Alunn14 di attraversare tutti i ponti una sola volta: ogni volta che passerà sul ponte, lasceremo cadere il nastro corrispondente a mostrare che quel tratto di strada non si può ripercorrere. 

Alunn14 fa un paio di tentativi, si chiama sul palco anche un altro elemento del pubblico (completamente ignaro) perché faccia il proprio tentativo, ma alla fine Alunn08 reagisce con impazienza:
Alunn08: Direi che il nostro pubblico ha capito benissimo come funziona. Se vogliono sapere qual è la soluzione, non hanno altra scelta che partecipare ai laboratori: a proposito, domenica pomeriggio avete l’ultima occasione per farlo. I laboratori si svolgono a scuola dalle 14.00 alle 17.30. Vi aspettiamo! (dopodiché fa cenno ad Alunn09 perché riprenda da dove è stato interrotto) 

Alunn09: Grazie! Prima di essere interrotta, stavo dicendo che la nascita della topologia è evidenziata dall’opera di Eulero… 

Prof4: (lanciandosi sul palco!) Ora, parlando di Eulero, non si può certamente tralasciare di citare la caratteristica di Eulero di uno spazio topologico! Ho giusto preparato delle slide per l’occasione... (la Prof5 lo interrompe subito) 

Prof5: Sì, però cerchiamo di renderla un po’ più semplice di prima, che ne dici? Ti va di aiutarmi?

Prof4: Intendi con un esercizio pratico?

Prof5: Esattamente! Quando si parla di risultati matematici, spesso quelli più notevoli ci svelano regolarità inaspettate della realtà: uno di questi è indubbiamente la relazione di Eulero per i poliedri. Per farvi sperimentare quanto diciamo in maniera diretta, ora vi distribuiamo alcuni poliedri, che, come vedete, sono di vari tipi, e vi invitiamo, collaborando anche con i vicini, a fare questo semplice conteggio: contate il numero dei vertici del poliedro, sottraete il numero degli spigoli (lati), e sommate il numero delle facce... (alcuni alunni presenti prendono dei poliedri realizzati con il Polydron e li distribuiscono tra i presenti)
Pare proprio che si ottenga sempre 2. 

Alunn05: (protestando vivacemente) Assolutamente no! Il mio ha dato come risultato zero! 

Prof5: (lanciando uno sguardo di conferma a Prof4): Hai ragione! Ma tu non hai in mano un poliedro qualsiasi. Portalo qui! (Alunn05 sale sul palco, portando con sé un “poliedro toroidale”) Come vedete questo è diverso dai poliedri precedenti (nel frattempo mostra al pubblico in una mano il poliedro toroidale e nell’altra un cubo e un tetraedro). Perché è diverso dagli altri due?

Alunn05: (con entusiasmo) Perché è giallo!

Prof5: (infastidito): Direi che il colore non è così significativo. Qual è la differenza? Pensateci bene!

Alunn05: (dopo averci riflettuto un po’) Ha un buco!

Prof5: Proprio così: in effetti, si potrebbe dimostrare che il calcolo “vertici – spigoli + facce” della relazione di Eulero è influenzato dalla presenza di buchi. Sorprendente, no? Ora direi che possiamo lasciare di nuovo la parola a Alunn09 (invita Alunn09 a riprendere posto sul palco) 

Alunn09: Grazie! (timidamente. E poi, rivolgendosi al pubblico) Eccoci ri-ritrovati! Direi che possiamo andare avanti con il nostro percorso, allora. L’ultima protagonista della nostra mostra è Maryam Mirzakhani. Nata a Teheran nel 1977, Maryam, fin da piccola, amava inventare storie e immaginava ragazzine che compivano grandi imprese. Leggeva parecchio, ma pare non amasse molto la matematica, e non mostrava di possedere un talento particolare. La sua insegnante di matematica del primo anno non vede in lei alcun talento e Maryam si convince di non essere molto brava. La prima persona che riesce a far nascere in Maryam l’interesse per la matematica è il fratello maggiore, che le racconta la storia di Friedrich Gauss e della formula per sommare i numeri naturali. Maryam comincia a intuire che la matematica potrebbe essere più interessante di quanto le era parsa fino a quel momento. A undici anni, conosce Roya Beheshti Zavareh, che ora è docente di matematica alla Washington University. Compagne di classe anche alle superiori, sentono parlare delle Olimpiadi internazionali di Informatica e decidono di partecipare, ma devono chiedere l'intervento della Preside del loro istituto, perché le competizioni sono chiuse alle donne. La prima partecipazione è nel 1994 a Hong Kong, dove Maryam vince la medaglia d’oro con un punteggio di 40 su 42, mentre nel 1995, in Canada, ottiene uno strabiliante punteggio pieno di 42 su 42. A quanto dice, la partecipazione alle Olimpiadi le ha mostrato la bellezza della matematica. Prova forti emozioni, e se in un primo momento la considerava una sfida, poi comincia a divertirsi e le piace l’opportunità che le viene data di pensare ai problemi di matematica. La bravura acquisita le apre le porte di Harvard, dove si ritrova Curtis McMullen come advisor, uno dei matematici più importanti del mondo. Conclude il dottorato nel 2004 e con la sua tesi dimostra una congettura aperta da anni. Nel 2008 si sposa con Jan Vondrak, e nel 2011 dà alla luce Anahita. Nel 2009 approda a Stanford e comincia la sua collaborazione con Alex Eskin, dell'Università di Chicago. La loro collaborazione li porta a raggiungere vette inesplorate, ma li obbliga anche a confrontarsi con le difficoltà: per due anni spendono lavoro e fatica e, nonostante la carenza di progressi, Maryam si mantiene positiva, grazie alla sua stabilità mentale e alla fiducia in sé stessa. Per raggiungere la cima, Maryam e Alex sono dovuti tornare al punto di partenza e, con pazienza, sperimentare un nuovo approccio per concludere il percorso. [7] Della matematica di Maryam, però, non sono in grado di parlare e ci dirà qualcosa la Prof2, alla quale cedo la parola prima che mi interrompa! 

Prof2: Maryam è appassionata alla matematica delle superfici: qual è la distanza minore tra due punti? Sappiamo che nel piano è una linea retta. Su una sfera, è un arco della circonferenza massima. E su una ciambella? O su una ciambella con molti buchi? Nessuno conosceva le risposte. Se cammino in linea retta su una sfera, torno al punto di partenza. E anche su quello che i matematici chiamano un toro (e il resto del mondo chiama ciambella), se scelgo adeguatamente il mio percorso, posso tornare al punto di partenza. Ma potrei anche trovare un cammino infinito, che continua senza mai incontrare di nuovo sé stesso. Ce ne sono tanti che soddisfano questa caratteristica e sono tutti diversi tra loro: immaginiamo una formichina che si muove sulla superficie di questo salvag… ehm, toro! (presenta il percorso usando un salvagente e un nastro colorato, che viene avvolto attorno al toro) Potrebbe continuare all’infinito senza mai tornare al punto di partenza. Maryam non ha paura di mettersi alla prova per trovare una risposta e con Alex Eskin riesce a dimostrare il teorema noto come “Teorema della bacchetta magica”, perché risolve problemi che gli scienziati stavano affrontando da anni. Porta un cambiamento poderoso, nella matematica e non solo. Grazie ad esso, gli astronauti possono programmare percorsi più sicuri per le loro astronavi, i meteorologi possono predire il tempo più velocemente e con maggiore accuratezza, i ricercatori possono capire come si diffonde un’epidemia. Sono stati sufficientemente chiara Alunn09? 

Alunn09: Sì, grazie! Maryam è stata la prima donna ad essere insignita della Medaglia Fields, nel 2014, e quando ha ricevuto la mail da parte della presidentessa dell’Unione Matematica, che la informava del conferimento del premio, Maryam, pensando si trattasse di uno scherzo, ha eliminato il messaggio.
Purtroppo, quando le è stato conferito il premio, Maryam era già sofferente per un cancro al seno ed è mancata nel 2017, a soli quarant’anni. La sua opera le è sopravvissuta ed è stato grande il segno che ha lasciato nella matematica. 

Penso che sia ora di chiudere questo nostro percorso che è stato storico, artistico, matematico e costellato di leggende e teoremi strani. Forse siamo riusciti a convincervi che la topologia non è così male. Prof1, che dice? Le piace un po’ di più ora? 

Prof1: Direi che mi avete convinta! Potrei persino pensare di realizzarci un’edizione di BergamoScienza! 

Alunn07 (correndo verso il palco): c’è un’ultima cosa… [8] 

Realizzato con il contributo di Carolina Bergamini, Chiara Bertoni, Luca Campagnoni, Asia Corna, Francesco Mognetti, e dei ragazzi che hanno partecipato ai laboratori di Topo-Scienza realizzati presso il nostro istituto, per partecipare al festival di BergamoScienza. L’articolo è la trascrizione (quasi) fedele della conferenza presentata al pubblico mercoledì 11 ottobre, nella Sala degli Affreschi dell’Accademia Tadini. Grazie al curatore dott. Marco Albertario per l’ospitalità e per le idee, sparse qua e là, grazie alle quali è stata realizzata la mostra presentata nel corso del Festival.

In allegato le slide realizzate per l'occasione

Bibliografia:
[1] La realizzazione di una bottiglia di Klein a partire da due nastri di Mobius, con il filmato di Numberphile, nel quale Cliff Stoll, appassionato di bottiglie di Klein, mostra come si può realizzare: https://arbitrarilyclose.com/2020/04/17/mathartchallenge-day-33-mobius-strip-klein-bottle/
[2] I pantaloni topologici: https://youtu.be/dGi1ibYQWFk?si=pW2gPNnU6uej3vDz
[3] Il teorema della palla pelosa spiegato da Raffaella Mulas con la sua matematica danzante: https://youtu.be/Eeki_8Hvm5E?si=mo4DJ1XFOMLqOPCw
[4] Ben Orlin, Math with bad drawings – Illuminating the ideas that shape our reality, Black Dog & Leventhal Publishers, New York
[5] dall’articolo di Oggiscienza del 28 gennaio 2019, “Sbrogliare il DNA con la teoria dei nodi” di Luisa Alessio https://oggiscienza.it/2019/01/28/teoria-dei-nodi-dna/index.html
[6] dal blog Matetango di Annalisa Santi, la spiegazione dei nodi borromei: http://annalisasanti.blogspot.com/2018/10/dallo-stemma-dei-borromeo-alla-teoria.html#:~:text=Il%20%22nodo%20borromeo%22%20si%20presta,come%20Corpo%2C%20Mente%20e%20Psiche.
[7] video sulla vita di Maryam Mirzakhani realizzato in occasione di #peopleformath2023 https://youtu.be/euZ_vbHMHK4?si=gFH_08MaMby6jgZt
[8] Johann Sebastian Bach, Canone 1 a 2 https://youtu.be/Y0_DeHSTLHU?si=0j0YM-v_Mg_Mr68n

La scelta della topologia per la nostra ottava partecipazione al Festival di BergamoScienza mi ha obbligata a fare i conti con questa parte della matematica che non ho mai amato particolarmente.

Eppure... un certo fascino l'aveva! Il nastro di Mobius, ad esempio, mi ha sempre affascinata: prendete una striscia di carta lunga circa 20 cm, alta 3 cm e incollatene gli estremi dopo aver fatto fare una torsione di 180° a un capo. Le caratteristiche di questo nuovo anello sono davvero particolari: se aveste incollato i due estremi della striscia senza aver realizzato la torsione, ne sarebbe uscito un piccolo cilindro, con due bordi e due superfici, quella interna e quella esterna. Il nastro di Mobius, invece, ha un solo bordo e una sola superficie, caratteristica che si può verificare empiricamente, usando una penna e, appoggiata la punta della penna in un punto dell'anello, si scopre che lo si può percorrere in tutta la sua lunghezza, tornando al punto di partenza.

C'è un altro modo per verificare che il bordo è unico: realizzare un nastro di Mobius all'uncinetto con il metodo indicato da Kathy Ceceri, che dà suggerimenti per realizzare un braccialetto. Quello delle foto è qualcosa di più di un braccialetto, visto che ha una massa di 1 kg, essendo realizzato con del filato molto grosso.

Lavorare all'uncinetto per realizzare oggetti topologici mi ha permesso di capire meglio queste superfici così particolari, a partire dal semplice toro (quello che i matematici chiamano toro, ma che il resto del mondo chiama ciambella!). Ho realizzato due diversi tori, uno all'uncinetto e uno, gigante, di stoffa. Sono completamente diversi, e non solo per la tecnica utilizzata: quello a uncinetto ha davvero la forma di una ciambella, con il punto basso che contrasta il punto alto esterno e crea quindi l'arrotondamento, mentre quella di stoffa è stata realizzata con un rettangolo di stoffa, ovvero matematicamente. In questo caso, la struttura non è rigidamente circolare, ma la forma varia a seconda di come viene preso il cuscino.

Ho realizzato, infine, alcune bottiglie di Klein, sempre all'uncinetto, completamente diverse tra loro. Dapprima mi sono imbattuta nel blog Arachne's Loom e grazie allo schema di Ruth, sono riuscita a realizzare un paio di bottiglie davvero simpatiche, che ho provveduto a imbottire di ovatta.

Le altre bottiglie di Klein sono state realizzate in modo diverso: ho unito due nastri di Mobius lungo il loro unico bordo per ottenere una superficie senza bordi, ma ho commesso un errore durante l'operazione. Pur consapevole che i due nastri dovevano avere chiralità opposta, non mi sono resa conto di averli realizzati con la stessa chiralità e ho dovuto scucire una parte del lavoro fatto. Poco importa... ho potuto concludere il percorso con una riflessione didattica, seguendo le fasi che avevano accompagnato la mia presa di consapevolezza. 

Lo spunto per la realizzazione è nato da questa MathArt Challenge e da un video di Numberphile.