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TRAMA:

La trattazione della matematica moderna non è cosa facile, a causa della sua notevole astrazione, dell’esplosione produttiva che ha investito il XX secolo e della sua suddivisione in sottodiscipline sempre più numerose. La scelta di Odifreddi nella trattazione è stata quella di dare rilievo ai vincitori della medaglia Fields o del premio Wolf e ai problemi di Hilbert, ma questi non esauriscono le numerose scoperte del XX secolo.

I FONDAMENTI – La matematica porta alla luce oggetti e concetti che, al loro primo apparire, sono inusuali e non familiari. Un atteggiamento tipico, fin dai tempi dei Greci, è stato il tentativo di limitare sorpresa e disagio il più possibile, scaricando il peso dell’edificio della matematica su solide fondamenta. Nel secolo VI a.C. i Pitagorici posero a fondamento della matematica l’aritmetica dei numeri interi e razionali, poi fu la volta della geometria e successivamente dell’analisi. Nel secolo XIX il cerchio si chiuse e l’analisi fu ridotta a sua volta all’aritmetica. Ma il processo di costruzione e decostruzione non si fermò qui. La caratteristica essenziale delle nuove fondazioni è che esse si basano non più sugli oggetti classici della matematica, ma su concetti completamente nuovi.

Negli anni ’20, gli insiemi sembrarono un buon fondamento per la matematica; negli anni ’40, un gruppo di matematici francesi, Bourbaki, trovò una soluzione in un’analisi non più logica ma strutturale; negli anni ’60, si arriva al concetto di categoria, che contiene come casi particolari sia gli insiemi che le strutture. Nessuno dei tre approcci è però soddisfacente dal punto di vista degli informatici, che hanno trovato una fondazione alternativa nel Lambda Calcolo proposto da Church. 

MATEMATICA PURA – Per millenni la storia della matematica è stata la storia dei progressi nella conoscenza di entità numeriche e geometriche. Negli ultimi secoli invece e soprattutto nel XX sec. sono venute alla luce nuove e disparate entità, che hanno acquistato una loro indipendenza, e ispirato quella che è stata chiamata una nuova età dell’oro della matematica. Se, da un lato, la matematica moderna è dunque il prodotto di uno sviluppo che affonda le sue radici in problematiche concrete e classiche, dall’altro essa è anche la testimonianza di un’attività che trova la sua espressione in costruzioni astratte e contemporanee.

MATEMATICA APPLICATA – Le applicazioni della matematica hanno costituito una caratteristica costante della sua storia e ciascuna branca della matematica classica è stata, ai suoi inizi, stimolata da problemi pratici. La matematica del secolo XX in questo non fa eccezione. Alcune di queste motivazioni derivano da aree scientifiche la cui fertilità è sperimentata, quali la fisica; altre motivazioni derivano invece da aree che solo nel secolo XX sono diventate scientifiche, come l’economia e la biologia.

MATEMATICA AL CALCOLATORE – Il calcolatore sta cambiando sostanzialmente la vita quotidiana, non solo dell’uomo comune, ma anche del matematico. 

La prima applicazione matematica della nuova macchina fu, naturalmente, l’utilizzo dei suoi poteri computazionali. È però nella matematica applicata che gli usi del calcolatore stanno provocando gli effetti più visibili. L’utilizzo del calcolatore ha permesso di risolvere lo studio dei sistemi dinamici, portando alla nascita della teoria del caos, ma non si possono certo tacere gli sviluppi della grafica computerizzata: con l’ausilio visivo, sono state scoperte nuove superfici e le immagini più note sono quelle dei frattali. 

PROBLEMI INSOLUTI – La matematica è sostanzialmente un’attività di proposta e di soluzione di problemi e la loro scorta è inesauribile, anche perché le soluzioni ne pongono spesso di nuovi. I matematici ritengono comunque che i problemi che essi si pongono non soltanto siano risolubili, ma anche che saranno, prima o poi, effettivamente risolti. Una soluzione accettabile di un problema matematico può essere anche una dimostrazione della sua insolubilità. Naturalmente, soluzioni negative punteggiano l’intera storia della matematica, ma è stato nel secolo XX che il fenomeno ha raggiunto massa critica, anche grazie alla sua chiarificazione attraverso il teorema di Gödel.

 

COMMENTO:

Libro interessante, anche se non di facile lettura, soprattutto se non si ha una buona preparazione in matematica. Sarebbe bene seguire l'indicazione dell'autore, che suggerisce di leggere il libro due volte: in effetti, con una seconda lettura, è possibile ottenere una migliore visione d'insieme e capire i collegamenti che vengono fatti. Inoltre, pregevole il fatto che il libro si presti ad una lettura non necessariamente lineare: si può infatti scegliere di leggere il libro solamente "piluccando" quelli che sembrano i paragrafi più interessanti. 

Su tutto, vorrei ricordare l'ottima prefazione di Gian Carlo Rota, interessante e divertente, che offre uno spaccato della matematica un po' diverso da quello cui ci hanno abituato a scuola.

TRAMA:

Il libro comincia con un paradosso: “La matematica dimora nel cuore dell’uomo, ma in questa casa è straniera”. La seconda parte dell’enunciato è una verità quasi evidente, basta notare che di fronte alla domanda: “Scusi, per lei cosa è la matematica?” si ottengono, per la maggior parte, reazioni di smarrimento e imbarazzo. Per dimostrare la prima parte dell’enunciato, invece, bisogna innanzi tutto definire la matematica. La scienza in generale è l’insieme di tutte le teorie, caratterizzate da coerenza, uniformità degli argomenti trattati, verità delle proposizioni elencate. La matematica è l’insieme di tutte le teorie per le quali i procedimenti di verificazione non richiedono l’esperienza, anche se bisogna sottolineare che l’esperienza non è estranea ai processi di formazione. La matematica non è solo una tecnica, ma una forma completa e autonoma di conoscenza.

Il metodo caratteristico di cui si avvale la matematica per raggiungere la sua verità è il metodo assiomatico-deduttivo: infatti, dimostrare un teorema significa far vedere, con una serie di ragionamenti, che esso non è che una conseguenza degli assiomi. Fino al XIX secolo, gli assiomi erano considerati come sentenze inoppugnabili a causa della loro grande evidenza, ma i moderni sistemi di assiomi sono slegati dalla realtà e gli oggetti matematici sono involucri contenenti certe cariche di comportamenti logici. Tutto ciò fece affermare a Russell che la matematica è quella scienza nella quale non si sa di che cosa si parla e non si sa se ciò che si dice è vero.

La matematica ha molteplici applicazioni: è il linguaggio naturale della fisica, ma serve anche per lo studio dei fenomeni sociali. Essa si serve della logica, un codice che garantisce l’oggettività del linguaggio. Aristotele sembra essere stato il primo pensatore ad occuparsi dello studio sistematico delle leggi dell’inferenza logica, della quale la matematica era considerata un capitolo. Ma l’origine di tutti i guai sono stati gli Elementi di Euclide. In quest’opera compaiono cinque assiomi: i primi quattro evidenti e semplicissimi, il quinto no, ha tutta l’aria di essere un teorema. Nel XVIII secolo, Saccheri sviluppa una geometria con cinque assiomi: i primi quattro corrispondono a quelli di Euclide, il quinto è la negazione del quinto degli Elementi. Saccheri era convinto che sarebbe giunto ad una contraddizione, ma i risultati cui perviene sono mostruosi unicamente nella misura in cui contraddicono l’intuizione. Se si ammette che gli assiomi si riferiscono ad una “realtà”, Saccheri ha raggiunto il suo scopo, ma più avanti Bolyai e Lobatchewsky arrivarono, per questa strada, alla scoperta delle geometrie non euclidee. Si arrivò a dimostrare che le geometrie non euclidee e la geometria euclidea sono così legate, che una eventuale contraddizione delle une avrebbe potuto dare luogo ad una contraddizione anche nell’altra.

Hilbert e Study successivamente dimostrarono che è possibile trasformare ogni teorema di geometria euclidea in un corrispondente teorema di aritmetica. Perciò i matematici decisero di salvare l’aritmetica dalla contraddizione, radicandola nella logica. Verso il 1870, Frege pose mano a questa titanica impresa, ma Russell scoprì nel suo lavoro almeno una proposizione legittima eppure autocontraddittoria e rase al suolo la dottrina che pretendeva di eliminare a priori non solo le proprie contraddizioni, ma anche quelle delle dottrine vassalle, come l’aritmetica.

Fu ancora Russell a indicare la strada giusta per il superamento della crisi dei fondamenti, istituendo una teoria che stabilisce un certo insieme di proibizioni nella composizione delle frasi. La via giusta per uscire dalla crisi era quella di adoperare la matematica per giustificare la logica e non viceversa. Le risposte vennero trovate in pochi decenni, attraverso i lavori di molti ricercatori: si isolarono tutte le regole grammaticali del linguaggio matematico e vennero scritti simbolicamente gli assiomi della logica, per il cui uso vennero fissate poche regole di inferenza. L’incompletezza e l’indecidibilità furono uno dei passi nella soluzione della crisi e in questo senso, i teoremi di Gödel e di Church gettano una luce completamente nuova sui “problemi difficili della matematica”. 

La crisi dei fondamenti è la dimostrazione che i momenti più importanti dell’evoluzione della matematica nei secoli sono quelli nei quali la travolgente potenza della verità costringe gli uomini matematici a cambiare rotta e ogni rinuncia al mondo vecchio non è mai stata altro che la conquista di un mondo nuovo.

 

COMMENTO:

Libro semplice e curioso. Può andar bene anche per “palati” poco abituati a discorsi filosofici e logici.

TRAMA:

La logica è lo studio del pensiero come esso si esprime attraverso il linguaggio. Nella storia della filosofia, Parmenide, per primo, ebbe alcune buone intuizioni al riguardo ed esse vennero poi sviluppate da Platone, ma soprattutto da Aristotele, con la Logica “classica”, che non viene messa in discussione fino al Novecento, avendo già raggiunto la completa maturità matematica. Per Aristotele, la logica è solo uno strumento per lo studio delle scienze, mentre per Crisippo di Soli, terzo rettore della “Prima Stoà”, la logica è una scienza autonoma ed emerge come una conquista intellettuale di prim’ordine. Con gli stoici, vengono isolate alcune regole di ragionamento, come la negazione, la congiunzione, la disgiunzione e l’implicazione. Potremmo dire che Aristotele e Crisippo furono i massimi logici dell’antichità a pari merito; per lungo tempo furono considerati in antitesi e solo successivamente ci si rese conto che le logiche proposte dai due erano in realtà due approcci complementari.

Con la Scolastica, la logica viene “usata” per dimostrare l’esistenza di Dio, ma fa un passo avanti verso il linguaggio artificiale che la caratterizza ai nostri giorni, visto che Pietro Ispano stabilisce una nomenclatura, grazie alla quale ogni sillogismo viene identificato con tre vocali.

Lullo tenta di tradurre il linguaggio naturale in quello numerico e ha il pregio di aver realizzato un meccanismo a ruote concentriche per automatizzare il pensiero, praticamente un precursore dei moderni calcolatori. Leibniz si ispira proprio a Lullo e, dopo aver abbozzato la matematica binaria, dichiara la sua intenzione di voler rendere automatico il processo mentale: “Quando sorgeranno delle controversie, non ci sarà maggior bisogno di discussione tra due filosofi di quanto ce ne sia tra due calcolatori. Sarà sufficiente, infatti, che essi prendano la penna in mano, si siedano a tavolino e si dicano reciprocamente (chiamando, se vogliono, a testimone un amico): Calculemus, Calcoliamo”.

Gorge Boole fu il primo a carpire il segreto dell’aritmetica binaria e fece uscire la logica dal campo della filosofia, per farla entrare nel campo delle scienze. Nel 1847 pubblica “L’analisi matematica della logica”, considerata l’atto di nascita, il manifesto della logica matematica. Grazie a Boole, le complesse problematiche della logica proposizionale vengono imbarazzantemente ridotte a un semplice calcolo scientifico: la negazione sostituita dalla sottrazione, la congiunzione dalla moltiplicazione e la disgiunzione dall’addizione. In altre parole dimostra che è possibile realizzare il sogno di Leibniz, anche se la sua logica ha il limite di essere un’efficiente riformulazione algebrica della logica di Aristotele e Crisippo. Praticamente, non aggiunge nulla di nuovo.

Frege tenta di ridurre la matematica alla logica, con un programma ambizioso da sviluppare in più tappe, ma la lettera di Bertrand Russell, nella quale lo stesso gli parla del paradosso che ha trovato nel sistema, interrompe il suo lavoro. Wittgenstein ritiene, invece, di aver realizzato la “soluzione finale” del problema della logica, ma si renderà conto dopo non molto tempo di aver sbagliato. Hilbert scrive i “Fondamenti della Geometria”, ma la scoperta di Gauss, Lobacevskij e Bolyai della geometria iperbolica ingenera la sfiducia nella geometria euclidea e conferma David Hilbert nella sua idea di ridurre la geometria all’analisi. 

Lo scossone all’intero sistema viene dato da Kurt Gödel, il cui lavoro viene considerato il contributo più importante che la logica matematica abbia mai ricevuto. Con il Teorema di incompletezza, distrugge il programma di Hilbert, presentato al Congresso Internazionale di Matematica di Parigi nel 1900, perché dimostra che la matematica non è riducibile alla logica. Dopo di lui, Alan Turing, dopo aver contribuito alla vittoria della Seconda Guerra Mondiale con la decodificazione dei messaggi di Enigma e dopo aver dimostrato che sistemi matematici e programmi informatici sono in realtà due aspetti di una stessa realtà algoritmica, dimostra, contemporaneamente con Church, l’indecidibilità della logica.

 

COMMENTO:

Un libro non facile, ma molto coinvolgente. Richiede una grande concentrazione, ma alla fine lascia un segno profondo. La natura della logica è presentata fin nella sua profondità, non solo attraverso il suo sviluppo, ma anche attraverso le vite dei personaggi che l’hanno fatta diventare ciò che conosciamo.

TRAMA:

La trama del libro, che verrà ricostruita qui di seguito solo per sommi capi, è praticamente la storia della scienza, in tutti i suoi aspetti, a partire dalla sua nascita in Grecia, fino alle scoperte più recenti, come la teoria della relatività e la genetica.

 

La curiosità dell’uomo lo ha spinto, fin dall’inizio della sua storia, a cercare di spiegare i fenomeni della natura; il primo a farlo, senza ricorrere a divinità esterne, fu Talete, ma si dice spesso che lo studio della natura sia cominciato davvero solo con Aristotele. Al contrario dei Greci, i Romani erano molto pratici, ma meno dotati per la ricerca e il pensiero profondo, per questo, con la chiusura dell’Accademia di Atene nel 529, la ricerca filosofica e scientifica ebbe una pausa in tutta Europa e venne portata avanti dagli alchimisti orientali. La Cina divenne uno dei paesi più ricchi e potenti del mondo, ma nel 1300 la cultura europea ritornò protagonista. Si diffusero le idee di Ruggero Bacone, che sosteneva che gli uomini potevano acquisire nuove conoscenze eseguendo esperimenti.

Durante il Seicento, in gran parte d’Europa gli scienziati cominciarono ad osservare la natura come mai prima di allora era stato fatto: la sperimentazione era diventata usuale e finalmente era consentito porsi ogni tipo di domanda. Quella che si verificò tra gli scienziati viene talvolta definita la rivoluzione scientifica, il cui leader indiscusso fu Newton: con i Principia mise fine a quell’epoca in cui si pensava di poter trovare una spiegazione semplice alla maggior parte dei fenomeni naturali. 

In seguito ci fu la rivoluzione industriale, le cui ragioni principali sono da ricercarsi nelle grandi scoperte e invenzioni del XVIII e XIX secolo. Responsabili delle scoperte furono Franklin, Coulomb, Volta, Oersted, Faraday, Morse, Meucci, Marconi, ma il più abile nello sfruttamento dell’elettricità fu Thomas Alva Edison, tuttora considerato il più grande di tutti gli inventori. Maxwell, studiando gli esperimenti di Faraday e applicando il calcolo differenziale di Newton, spiegò la connessione tra elettricità e magnetismo con quattro sole formule, le più difficili della scienza.

Verso la fine dell’Ottocento fra gli scienziati dominava un grande ottimismo: erano convinti che la scienza avesse ormai capito la maggior parte di ciò che c’era da sapere e che fosse possibile calcolare tutto ciò che accadeva fino al minimo dettaglio. Per i biologi, però, era difficile racchiudere in semplici leggi quello che accadeva in natura. Lo svedese Carlo Linneo diede una svolta allo studio della natura e Darwin fece molte scoperte sull’evoluzione delle specie. 

Alla fine del Settecento, medici e scienziati conoscevano piuttosto bene il corpo umano, ma sapevano poco delle malattie. Nel 1858, Pasteur ideò la “teoria dei batteri”, ma solo nel 1928, con Alexander Fleming e la penicillina, si trovò il rimedio contro le infezioni. 

Nel corso di tutto il Settecento e di gran parte dell’Ottocento, si svolse un’intensa caccia agli elementi chimici e John Dalton ideò la teoria atomica, anche se non esistevano strumenti che consentissero di vedere gli atomi. Nel 1909 Rutherford ricostruì la struttura dell’atomo, perfezionata nel 1913 da Niels Bohr. Studiando in modo sempre più approfondito l’energia che derivava dai cambi di orbitale degli elettroni, i fisici scoprirono i quanti e si aprì la strada alla fisica quantistica, che rivelò molte scoperte singolari, fra le quali l’invenzione della bomba atomica.

Albert Einstein, nel 1905, rivoluzionò la fisica con la teoria della relatività, che si diffuse rapidamente tra i fisici di tutto il mondo, visto che le sue formule erano estremamente convincenti.

Alla fine degli anni venti Edwin Hubble scoprì che le galassie sembrano allontanarsi da noi, ma solo nel 1931 con Lemaître si cominciò a parlare di Big Bang, teoria confermata dalla scoperta della radiazione di fondo nel 1964, da parte di Penzias e Wilson.

Nell’Ottocento, Mendel cominciò a studiare la genetica, ma solo a più di vent’anni dalla sua morte vennero riscoperte le leggi che lui stesso aveva enunciato. Lo scienziato americano Morgan imparò molte cose sul funzionamento dei cromosomi come portatori di eredità, ma solo Crick e Watson riuscirono a “vedere” la molecola del DNA contenuta in essi.

 

COMMENTO:

Interessante presentazione della storia della scienza (biologia, astrofisica, fisica… tutti gli aspetti) alla portata anche dei non addetti ai lavori. Per certi aspetti, soprattutto nelle prime pagine, sembra addirittura che l'autore tratti il lettore come un bambino. In realtà lo accompagna per mano lungo il passare dei secoli e le sempre nuove scoperte, nella ricerca della verità.

TRAMA:

I matematici non parlano di numeri, ma di nessi e i numeri acquistano così sempre maggiore evanescenza. Con lo zero la questione si ingarbuglia ancora di più, visto che i nomi designano qualcosa, ma zero designa niente, esprime la quantità di quel che non c’è. Per questo l’itinerario temporale e concettuale dello zero è pieno di complicazioni e traversie. 

Contare, in fondo, significa associare specifici sostantivi numerici e simboli a raccolte di oggetti di vario tipo e ben presto in tutte le culture si riunirono gli oggetti che si desiderava contare in gruppi della medesima grandezza, per contare i gruppi invece degli oggetti. Con i numeri romani la rappresentazione restava goffa, ma già ai tempi dei Babilonesi possiamo trovare le tracce ancora rudimentali, con un semplice doppio cuneo, dello zero attuale. Non c’è traccia di zero nella Grecia omerica e classica e neppure in epoca alessandrina. Non c’era la notazione posizionale e le difficoltà di calcolo erano grandi, tanto più che i primi Greci non avevano portato a termine il processo di astrazione dei numeri da ciò che servivano a contare. È probabile che solo con Alessandro Magno i Greci abbiano scoperto la funzione decisiva dello zero nei calcoli, quando nel 331 a.C. invasero ciò che restava dell’impero babilonese. Infatti, nei loro papiri astronomici del III secolo a.C. troviamo il simbolo «0» a indicare lo zero.

Esso però non era ancora un numero: era usato come noi usiamo la punteggiatura. D’altra parte, il calcolo non godeva di molto prestigio sulle sponde dell’Egeo. Era chiamato «logistica» e lasciato ai mercanti: la passione dei Greci per la matematica era rivolta in larga misura alla geometria e i mercanti, lasciati a se stessi, si consolarono con l’abaco. Kaplan è convinto che proprio nell’abaco ci sia l’origine dello zero come lo conosciamo oggi: è verosimile che i sassolini spesso usati fossero tondeggianti; perciò sarebbe stato naturale rappresentarli nella scrittura e nei disegni con cerchietti pieni, che diventano cerchietti vuoti nel momento in cui sulla colonna non c’era nemmeno un contrassegno. 

È innegabile l’influenza che la cultura greca ebbe su quella indiana: la presenza dei semi di papavero nella sequenza di Archimede e nel racconto sul Buddha non può essere fortuita. Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta… tutti avevano un loro modo di indicare lo zero, con sinonimi che lo collocano più nella ragione discorsiva che in quella matematica. 

Nel 950, nella Spagna moresca, troviamo figure arabe particolari: sono i numeri da 1 a 9, senza lo zero. Questi numeri sono circondati da sciami di puntini che indicano il loro posto-valore: se sul numerale non c’è nessun puntino, è un’unità; se ce n’è uno, si tratta di una decina; se ce ne sono due, di un centinaio, e così via. Sono punti pieni e, benché piccoli, funzionano quasi come zeri nella numerazione posizionale.

Dobbiamo ancora vedere lo zero trattato come un numero: esso era una «condizione transitoria di una parte di tavoletta per calcoli». Il fatto è che qualunque cosa può essere un numero, purché si dimostri capace di socializzare con ciò che è già considerato tale: lo zero doveva poter essere sommato, sottratto e impiegato in moltiplicazioni e divisioni. 

Indipendentemente dalla cultura greca o da quella indiana, anche i Maya avevano il loro simbolo di zero: un uomo tatuato adorno di collana e con la testa piegata all’indietro. Mentre la cultura Maya agonizzava, i mercanti arabi trasportavano merci esotiche, racconti e tecniche in ogni dove. Furono forse mercanti arabi sulla via delle spezie e dell’avorio a portare lo zero in Cina. L’origine indiana dello zero cinese è rivelata non solo dalle sue forme, ma anche dall’ideogramma corrispondente, che alludeva alle ultime, rare gocce di acqua dopo un temporale. 

Di certo lo zero giunse in Occidente non più tardi del 970, ma la superstizione spinse i timorati di Dio a evitarlo, attirandogli le simpatie di coloro che sentivano il fascino dell’occulto. I numerali arabi facevano fatica ad imporsi, come dimostra il fatto che nel 1299 a Firenze il Consiglio cittadino emanò un’ordinanza che dichiarava illegale l’uso dei numeri nei libri contabili: le somme andavano indicate in parole, perché lo zero poteva essere facilmente mutato in 6 o 9. 

Fibonacci, nel 1202, pubblicò il Liber Abaci, nel quale parlava dei numerali arabi, da lui giudicati il miglior strumento di calcolo in cui si fosse imbattuto. Non si limitò a descriverne il sistema, ma da vero matematico si divertì a esplorarne le possibilità. Ma parlava di nove cifre indiane e del segno zero. 

I numerali arabi avanzavano in modo discontinuo, aiutati anche dall’invenzione della contabilità a partita doppia. Al tempo di Luca Pacioli, i numerali romani erano usati soprattutto per le date e per conferire solennità ai documenti, ma il modo in cui le somme erano archiviate era diverso da quello in cui erano ottenute.

Senza dare nell’occhio lo zero entrò nel Rinascimento insieme ai numerali arabi e si rese indispensabile ai nostri calcoli. John Napier, barone di Merchiston presso Edimburgo, ponendo le equazioni simili uguali a zero, ideò un metodo di soluzione valido per tutte. Ci voleva un tocco di genialità per pensare di utilizzare lo zero in questo modo. 

Nel XVII secolo, l’atteggiamento verso le equazioni stesse stava cambiando: si cominciavano a mettere a fuoco problemi di moto. Fra coloro che ragionavano per infinitesimi, due uomini giunsero allo stesso risultato quasi contemporaneamente: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Fu però soltanto alla fine del XIX secolo che in Francia e in Germania fu elaborata un’interpretazione del problema che sembrava finalmente soddisfacente. 

Ciò che nacque col calcolo infinitesimale non fu solo un modo di afferrare e controllare lo spettacolo del cambiamento, ma una nuova percezione della sede del significato. Il problema 0/0 fu finalmente risolto, anche se solo nel contesto delle pendenze: negli altri casi la divisione per zero rimane impossibile.

Il più grande trionfo dello zero nella sua opera di espansione della nostra conoscenza si ha grazie al calcolo infinitesimale: lo zero possiede la chiave per farci compiere la maggior parte delle imprese e con il minimo sforzo. Perché lo zero? Perché il valore della variabile nel punto in cui la funzione derivata si azzera è il numero che massimizza o minimizza il processo. 

Dove troviamo lo zero in natura? Non lo possiamo trovare nell’universo, colmo di radiazioni invisibili, non lo troviamo nelle campane di vetro, nonostante il lavoro di generazioni di ricercatori ci abbia portato sempre più vicini alla meta. Se siamo alla ricerca di uno zero all’interno della realtà fisica, non lo troveremo nemmeno nel tempo e neppure nel centro inerte delle cose. Lo zero può trovarsi nelle leggi, nelle relazioni fra le cose: ma esse non sono cose, non sono entità che esistono nella realtà e quindi nemmeno gli zeri che esse implicano sono realtà. 

Lo zero non è né positivo né negativo, anche se ci appare negativo quando pensiamo al suo significato metaforico: quanti zero scopriamo di aver incontrato nella nostra vita e persino di aver deriso! Oppure ci appare positivo se lo pensiamo come il vivere con umiltà: ridurre se stessi a zero, umiliando il proprio orgoglio. 

Dopo aver percorso la storia dello zero, le sue incarnazioni matematiche, fisiche e psicologiche, Kaplan conclude con il sistema binario, scoperto da Napier nel 1616, grazie al quale funzionano le nostre calcolatrici: tutti i numeri derivano da combinazioni di 0 e 1. Ma si può fare di più: von Neumann riconosce lo zero nell’insieme vuoto e da esso ricava tutti gli altri numeri. Esattamente come Pierce, filosofo americano, che nel 1880 fa discendere l’intera logica dalla negazione della verità. 

Davvero «Il nulla avrà origine dal nulla» come afferma il Lear shakespeariano?

 

COMMENTO:

A tratti complesso, ma nell’insieme scorrevole, il libro offre un’ottima panoramica della storia, non solo matematica, dello zero. Non è forse adatto a studenti delle superiori, visti alcuni passaggi un po’ complessi, anche se dal punto di vista matematico non presenta calcoli complessi o formule incomprensibili.

TRAMA:

CAPITOLO PRIMO – Genesi dei sistemi di numerazione

Dal contare come stabilire una corrispondenza biunivoca al contare come raggruppare: interessante la storia della nascita del numero, attraverso i sistemi di numerazione arcaici degli Egiziani, dei Babilonesi, dei Greci e dei Maya e quelli più moderni degli Indiani e degli Arabi.

 

CAPITOLO SECONDO – Sistemi posizionali di numerazione

Capitolo un po’ più complesso, dedicato allo studio delle rappresentazioni posizionali dei numeri attraverso le rappresentazioni algebriche dei codici. (interessante e curiosa la moltiplicazione araba, anche se non è spiegato il meccanismo).

 

CAPITOLO TERZO – Divisibilità e sistemi di numerazione

A partire dal teorema fondamentale dell’aritmetica, il capitolo si sviluppa con la dimostrazione della periodicità della rappresentazione dei numeri razionali in basi periodiche. Complesso dal punto di vista della comprensione: alcuni concetti sono espressi in modo eccessivamente e inutilmente complicato. In questo capitolo si fa riferimento anche al teorema di Eulero, ai numeri ciclici e ai primi di Mersenne. (curiosa la prova di divisibilità di Pascal)

 

CAPITOLO QUARTO – Numeri reali

Si comincia con il dominio di integrità dei numeri razionali, si passa attraverso il metodo assiomatico e la commensurabilità, con ampio riferimento ai pitagorici e al teorema di Pitagora. Si arriva al teorema di Fermat e alla dimostrazione dell’incommensurabilità di , oltre alla dimostrazione dell’impossibilità fisica di rappresentarla. Il capitolo si conclude con la presentazione dei tre problemi irrisolvibili dell’antichità, costruibili solamente con riga e compasso.

 

CAPITOLO QUINTO – Frazioni continue

Innanzi tutto viene presentato l’algoritmo euclideo per il calcolo del MCD interessante perché iterativo, carattere tipico proprio delle frazioni continue.

 

CAPITOLO SESTO – Fratture

A partire dal Piano di Argand, o semplicemente piano complesso, il capitolo si snoda attraverso la rappresentazione geometrica dei numeri e dei nodi primi (si definiscono anche i numeri primi gaussiani); le fratture sono un modo per rappresentare i numeri irrazionali, che nessuna retta con pendenza razionale può incontrare: ovvero è un ipotetico raggio luminoso infinitamente sottile che si propaga all’infinito senza incontrare un nodo. Nello sviluppo del capitolo viene rivisitato anche il calcolo del MCD.

 

CAPITOLO SETTIMO – Infinito 

Sicuramente il capitolo più interessante, anche se costituisce solo un assaggio dell’argomento, essendo poco sviluppato. “La strada per l’infinito è disseminata di paradossi, e occorre prestare grande attenzione quando si estrapola un ragionamento da qui a lì. Ciò può sembrare una naturale estensione di leggi e regole inerenti all’ambito della nostra più prossima sfera d’azione, in altre parole, i primi (e pochi!) numeri interi, talvolta può portare a irrisolvibili contraddizioni”. È il caso delle serie convergenti e dei paradossi sulle serie infinite, dell’Hotel Hilbert e dei paradossi di Zenone, dell’Horror infiniti dei Greci, al quale il metodo di esaustione di Eudosso si oppone. Solo Cantor parla di infinito attuale, contro l’infinito potenziale di Aristotele, solo Cantor cerca di numerare i vari tipi di infinito, di confrontarli l’uno con l’altro.

 

COMMENTO:

Libro a tratti molto difficile, inutilmente complicato laddove i calcoli avrebbero potuto essere presentati più semplicemente. Interessante e scorrevole il primo capitolo, sulla genesi dei sistemi di numerazione, facile il quarto, sui numeri reali, molto interessante il quinto, sulle frazioni continue e riduttivo il settimo, sull’infinito.

TRAMA:

Pierre de Fermat era un solerte funzionario pubblico, che impegnò tutto il tempo libero dal lavoro nella matematica. Le conseguenze del lavoro di Fermat dovevano rivoluzionare la scienza. Il suo più grande amore fu per la teoria dei numeri: egli ripartì dall’Arithmetica di Diofanto e fu proprio sul margine di questo libro che scrisse il suo famoso teorema aggiungendo: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”.

Nel XVIII sec. Leonhard Euler compì i primi progressi per la dimostrazione dell’Ultimo Teorema. Dimostrò il caso per n = 3, grazie all’inclusione dei numeri immaginari, ma i suoi sforzi successivi si conclusero tutti con un fallimento. Per dimostrare l’Ultimo Teorema per tutti i valori di n, si deve semplicemente dimostrarlo per i valori primi di n. Tutti gli altri casi sono soltanto multipli dei casi con i numeri primi e pertanto verrebbero dimostrati implicitamente. 

Nel XIX sec., Sophie Germain rivoluzionò lo studio dell’Ultimo Teorema e il suo contributo fu superiore a quello di tutti gli uomini che l’avevano preceduta: indicò ai teorici dei numeri come distruggere un’intera sezione di numeri primi. Il primo marzo 1847, Lamé e Cauchy annunciarono di aver dimostrato l’Ultimo Teorema, ma Kummel evidenziò che, siccome la dimostrazione si basava sulla fattorizzazione unica, questa poteva non essere vera con l’introduzione dei numeri immaginari. Nel 1908, Wolfskehl stimolò i matematici a raccogliere la sfida, destinando una quota del suo patrimonio a chi fosse riuscito a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat entro il 13 settembre 2007. I dilettanti cercarono per tutto il secolo di dimostrarlo, ma i professionisti ignorarono il problema. 

Nel 1931 Kurt Gödel costrinse i matematici ad accettare l’idea che la matematica non poteva essere logicamente perfetta, dimostrando che esistono enunciati la cui verità non poteva essere provata. 

Dopo la seconda guerra mondiale, i matematici che erano ancora alle prese con l’Ultimo Teorema di Fermat cominciarono ad impiegare i computer per aggredire il problema, ma ogni tentativo fu inutile.

Nel 1954, Shimura e Taniyama, appassionati dello studio delle Forme modulari, suggerirono, in una congettura, che le equazioni ellittiche e le forme modulari fossero la stessa cosa. Nel 1984, Frey disse che se qualcuno fosse riuscito a dimostrare che ogni equazione ellittica era modulare, avrebbe dimostrato immediatamente l’Ultimo Teorema di Fermat e due anni dopo, Ribet dimostrò il loro legame. 

Nello stesso anno, Wiles cominciò a lavorare alla dimostrazione della congettura e grazie alla guida di Coates, conobbe le equazioni ellittiche in modo mirabile. Nel 1988, Miyaoka dimostrò l’Ultimo Teorema di Fermat, ma, essendo un esperto di geometria, non fu del tutto rigoroso. Nel 1990, Wiles era a un punto morto e l’anno dopo decise, dopo anni di isolamento, di riprendere i contatti con la comunità matematica. Conobbe così il Metodo di Kokyvagin-Flach e passò parecchi mesi a familiarizzarsi con la tecnica. Nel 1993 coinvolse Nick Katz per essere sicuro di usare nel modo giusto la tecnica appena appresa. Il 23 giugno dello stesso anno, dopo sette anni di sforzi ostinati, Wiles completò la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura, ma due mesi dopo, durante la revisione del suo lavoro, venne rilevato un errore. 

Il 19 settembre 1994, Wiles si accorse che la teoria di Iwasawa e il metodo di Kolyvagin-Flach dovevano essere utilizzati contemporaneamente. In questo modo dimostrò la congettura.

 

COMMENTO:

Avvincente come un giallo, coinvolgente come una storia d’amore. Pur essendo un'insegnante di matematica, non credevo che la matematica avrebbe potuto riservare tante sorprese…