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Giovedì, 01 Agosto 2013 07:50

I pantaloni di Pitagora

TRAMA:
Il VI secolo a.C. fu un secolo prodigioso per l’Occidente, perché avvenne il passaggio da una spiegazione mitologica dell’universo alla ricerca di una spiegazione scientifica. Per Pitagora, questa spiegazione era data dai numeri, Tutto è numero. Cominciò così l’emarginazione delle donne: la matematica era un’attività essenzialmente maschile, le donne dovevano dimenticare la loro natura femminile per far parte delle comunità pitagoriche. 
Con l’avvento dell’era cristiana, le donne furono definitivamente estromesse dalla conoscenza: nel Tardo Medioevo, potevano legittimare le loro parole solo sostenendo che la fonte della loro creatività era Dio stesso. Nel Rinascimento, il clima della cultura europea cominciò a cambiare e le donne poterono permettersi di sfidare l’egemonia maschile in campo intellettuale: nell’astronomia vennero tollerate nella misura in cui aiutavano gli uomini, come Sophie Brahe e Maria Winkelmann. Con la sconfitta della magia, dopo il Concilio di Trento, la natura rimase dominio dell’uomo. La filosofia naturale di Newton diventò l’emblema di un periodo storico nel quale le donne non avevano che un ruolo marginale. Madame de Chatelet non era considerata, Laura Bassi nutriva una propria indipendenza di pensiero, ma non diventò mai una docente a tutti gli effetti, Maria Gaetana Agnesi non poté ritirarsi dalla vita mondana per dedicarsi alla fisica.
Nel 1800, la scienza proseguì con un’escalation ormai inarrestabile: Carnot, Faraday, Maxwell, … mentre le donne erano ai margini. Comparirono le prime università femminili, ma non furono che un modo per rinchiudere le donne nel loro mondo. Harriet Brooks ne è la dimostrazione: dovette scegliere tra insegnamento e famiglia. Maria Sklodowska Curie, invece, riuscì a ottenere un proprio ruolo, ma per tutta la vita fu perseguitata dall’insinuazione che la parte creativa della ricerca fosse stata tutta opera del marito. 
Ancora nel XX secolo, la donna europea non poteva accedere ai livelli superiori dell’istruzione accademica: Emmy Noether diventò presto uno dei più grandi matematici del secolo, ma perse anni preziosi solo per il fatto di essere donna e fu ammessa all’università come “uditrice”; Lise Meitner dovette lavorare alla fisica negli scantinati e alla fine venne ignorata nell’assegnazione del Nobel (venne insignito Hahn, che aveva collaborato con lei).
La discriminazione dei sessi non è più consentita dalla legge, ma continua a prevalere negli ambienti scientifici, come dimostrato dalla vicenda di Chien-Hiung Wu, scienziata cinese delle particelle, esclusa dall’assegnazione del Nobel. 
Anche se la situazione è migliorata dagli anni ’70 ad oggi, la fisica rimane dominio maschile ed è l’ambito della scienza in cui la presenza femminile è più scarsa. La conferma arriva dal fatto che dal giorno della sua istituzione, nel 1901, ad oggi, più di quattrocento uomini hanno vinto il Premio Nobel per la ricerca scientifica, ma solo nove donne hanno avuto questo onore.
 
COMMENTO:
La lettura del testo è scorrevole e coinvolgente. Oltre ad offrire un ottimo excursus nella storia della fisica, l’autrice, ed è questo il fine principale, presenta la situazione della donna, il suo impegno nella ricerca scientifica, la sua vita ai margini. La storia della fisica, la storia fatta dagli uomini, diventa solo uno sfondo sul quale si svolge la lotta quotidiana anche di grandi scienziate, costrette a misurarsi ogni giorno con la discriminazione. 
Presentato in una classe terza delle superiori, il libro ha suscitato notevole interesse, ha fatto nascere nuovi interrogativi, ha stimolato la sete di conoscenza e ha lasciato un segno profondo, soprattutto nel momento in cui è stata presentata la figura di Marie Curie.
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Giovedì, 01 Agosto 2013 07:09

La misura di tutte le cose

TRAMA*:
Sul finire del XVIII secolo, centinaia di Cahier de doléances, famosi documenti di protesta, reclamavano l’armonizzazione del sistema di pesi e misure a livello nazionale: un complesso di circa ottocento parametri, radicati nelle usanze, ostacolava i commerci e incoraggiava le frodi. Perché il nuovo sistema potesse essere universale, doveva essere inconfutabile, perciò doveva essere tratto dalla natura. Il metro sarebbe stato la decimilionesima parte del tratto di meridiano terrestre misurato tra Dunkerque e Barcellona. Inghilterra e America si dissociarono: perché la natura doveva passare per forza dalla Francia? Dopo anni di discussioni, nell’estate del 1792 partì la missione per la misura del meridiano. Furono incaricati Delambre e Méchain.
Delambre era nato nel 1749 da commercianti di tessuti, ad Amiens. Méchain, figlio di un imbianchino, era nato nel 1744 a Laon. Il primo fu incaricato di misurare la parte settentrionale del tragitto compreso fra Dunkerque e Parigi, il secondo si occupò del tratto meridionale. Entrambi erano esperti in geodesia.
Delambre si scontrò con i rivoluzionari che vedevano in lui i pregi tanto osteggiati dell’Ancien Régime. Méchain fu immobilizzato per mesi da un infortunio e in seguito partì dalla Spagna con un grande dubbio, visto che due misurazioni non coincidevano. Nel giugno del 1794, salpò per Pisa. Poteva tornare a Parigi ma si trattenne a Genova, temendo l’instabilità politica. Delambre procedeva spedito sotto i cieli del settentrione.
Con l’avvento di Napoleone, sostenitore della loro causa e membro dell’Accademia delle scienze, le cose migliorarono. Il 1° luglio 1794, il sistema metrico decimale, basato su una stima provvisoria, entrò in vigore, anche se la gente era restia ad adeguarsi. 
Nel frattempo, l’autostima di Méchain era ormai minata: non riusciva a giungere a capo dei dati di Barcellona. Temeva di confidarsi, ma non poteva portare da solo il peso di un simile errore. Le energie fisiche scemavano e in tre mesi era arrivato soltanto a Carcassonne. Delambre, tra la primavera e l’estate del 1797, eseguiva le misurazioni da Evaux a Rodez, il punto d’incontro stabilito: Méchain marciva a Pradelles, vaneggiando di tornare a Barcellona per ulteriori verifiche. Per non pregiudicare la missione, Delambre si rivolse alla signora Méchain. La moglie dell’astronomo, senza preannunciare la partenza, raggiunse il marito che non vedeva da sei anni. Nel luglio, quando lo lasciò, le stazioni di Rodez, Rieupeyroux e Lagaste erano completate: gli restavano ancora pochi tratti da misurare. Era possibile congiungersi a Delambre in tempo per la conferenza internazionale di Parigi, in cui gli scienziati delle nazioni amiche, Olanda, Italia, Danimarca, Spagna e Svizzera, avrebbero verificato il lavoro per dare l’imprimatur.
Nel novembre del 1798, Méchaine e Delambre furono accolti dalla capitale come trionfatori, ma alla fine del gennaio 1799, non avevano ancora presentato i dati. Il 2 febbraio, Delambre cessò di coprire il collega e presentò il suo lavoro, che venne approvato. Laplace diede dieci giorni a Méchain, il quale ottenne di non presentare i suoi diari, giustificandosi per il disordine e offrì solo i dati sintetici. Il 22 marzo si presentò alla Commissione e ottenne l’approvazione.
La missione geodetica confermò che la terra è schiacciata, il raggio si accorcia dall’equatore al polo un centocinquantesimo, metà del valore calcolato in precedenza, inoltre i meridiani presentano un andamento irregolare. La missione non si proponeva scoperte scientifiche, perciò fu un exploit.
Il metro fu fissato una volta per tutte a 443,296 linee, contro le 443,44 di quello provvisorio. Come avrebbero rilevato i satelliti, il meridiano tra Dunkerque e Barcellona si estende per 10.002.290 metri: il metro doveva essere due millimetri più lungo. Ciò che conta è il valore convenzionale; oggi solo gli Stati Uniti, la Liberia e Myanmar ne sono fuori. Il chilo fu determinato di conseguenza come il peso di un decimetro cubo di acqua distillata, alla temperatura di 4°C, a livello del mare e a 45° di latitudine. 
L’errore di Méchain rientra nell’approssimazione necessaria anche alla scienza, ma Méchain fu vittima delle sue ossessioni: si fece affidare una missione per estendere la misurazione del meridiano a sud di Barcellona e morì, a causa della malaria, il 20 settembre 1804. Delambre poté finalmente guardare tutte le carte del collega. Si rese conto dell’errore e ne diede notizia, sia pure velatamente, nella Base, l’opera in tre tomi di resoconto della missione metrica che lo occupò quasi fino alla morte, avvenuta serenamente il 19 agosto 1822.
 
COMMENTO:
Un libro di non facile lettura e a tratti un po' noioso, vista la ricchezza di notizie, riguardanti l’evolversi della Rivoluzione Francese. Importante l’ultima parte del libro, l’ultimo capitolo in particolare, contenente alcuni commenti dell’autore, a proposito dell’evoluzione della scienza e del suo rapporto con gli errori.
 
*Trama tratta dall'articolo "Storia del metro" di Antonio Armano, riportato in "La macchina del tempo" Anno 3, n.11 - Novembre 2002, pag. 31/34
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Giovedì, 01 Agosto 2013 07:06

La matematica del Novecento

TRAMA:
La trattazione della matematica moderna non è cosa facile, a causa della sua notevole astrazione, dell’esplosione produttiva che ha investito il XX secolo e della sua suddivisione in sottodiscipline sempre più numerose. La scelta di Odifreddi nella trattazione è stata quella di dare rilievo ai vincitori della medaglia Fields o del premio Wolf e ai problemi di Hilbert, ma questi non esauriscono le numerose scoperte del XX secolo.
I FONDAMENTI – La matematica porta alla luce oggetti e concetti che, al loro primo apparire, sono inusuali e non familiari. Un atteggiamento tipico, fin dai tempi dei Greci, è stato il tentativo di limitare sorpresa e disagio il più possibile, scaricando il peso dell’edificio della matematica su solide fondamenta. Nel secolo VI a.C. i Pitagorici posero a fondamento della matematica l’aritmetica dei numeri interi e razionali, poi fu la volta della geometria e successivamente dell’analisi. Nel secolo XIX il cerchio si chiuse e l’analisi fu ridotta a sua volta all’aritmetica. Ma il processo di costruzione e decostruzione non si fermò qui. La caratteristica essenziale delle nuove fondazioni è che esse si basano non più sugli oggetti classici della matematica, ma su concetti completamente nuovi.
Negli anni ’20, gli insiemi sembrarono un buon fondamento per la matematica; negli anni ’40, un gruppo di matematici francesi, Bourbaki, trovò una soluzione in un’analisi non più logica ma strutturale; negli anni ’60, si arriva al concetto di categoria, che contiene come casi particolari sia gli insiemi che le strutture. Nessuno dei tre approcci è però soddisfacente dal punto di vista degli informatici, che hanno trovato una fondazione alternativa nel Lambda Calcolo proposto da Church. 
MATEMATICA PURA – Per millenni la storia della matematica è stata la storia dei progressi nella conoscenza di entità numeriche e geometriche. Negli ultimi secoli invece e soprattutto nel XX sec. sono venute alla luce nuove e disparate entità, che hanno acquistato una loro indipendenza, e ispirato quella che è stata chiamata una nuova età dell’oro della matematica. Se, da un lato, la matematica moderna è dunque il prodotto di uno sviluppo che affonda le sue radici in problematiche concrete e classiche, dall’altro essa è anche la testimonianza di un’attività che trova la sua espressione in costruzioni astratte e contemporanee.
MATEMATICA APPLICATA – Le applicazioni della matematica hanno costituito una caratteristica costante della sua storia e ciascuna branca della matematica classica è stata, ai suoi inizi, stimolata da problemi pratici. La matematica del secolo XX in questo non fa eccezione. Alcune di queste motivazioni derivano da aree scientifiche la cui fertilità è sperimentata, quali la fisica; altre motivazioni derivano invece da aree che solo nel secolo XX sono diventate scientifiche, come l’economia e la biologia.
MATEMATICA AL CALCOLATORE – Il calcolatore sta cambiando sostanzialmente la vita quotidiana, non solo dell’uomo comune, ma anche del matematico. 
La prima applicazione matematica della nuova macchina fu, naturalmente, l’utilizzo dei suoi poteri computazionali. È però nella matematica applicata che gli usi del calcolatore stanno provocando gli effetti più visibili. L’utilizzo del calcolatore ha permesso di risolvere lo studio dei sistemi dinamici, portando alla nascita della teoria del caos, ma non si possono certo tacere gli sviluppi della grafica computerizzata: con l’ausilio visivo, sono state scoperte nuove superfici e le immagini più note sono quelle dei frattali. 
PROBLEMI INSOLUTI – La matematica è sostanzialmente un’attività di proposta e di soluzione di problemi e la loro scorta è inesauribile, anche perché le soluzioni ne pongono spesso di nuovi. I matematici ritengono comunque che i problemi che essi si pongono non soltanto siano risolubili, ma anche che saranno, prima o poi, effettivamente risolti. Una soluzione accettabile di un problema matematico può essere anche una dimostrazione della sua insolubilità. Naturalmente, soluzioni negative punteggiano l’intera storia della matematica, ma è stato nel secolo XX che il fenomeno ha raggiunto massa critica, anche grazie alla sua chiarificazione attraverso il teorema di Gödel.
 
COMMENTO:
Libro interessante, anche se non di facile lettura, soprattutto se non si ha una buona preparazione in matematica. Sarebbe bene seguire l'indicazione dell'autore, che suggerisce di leggere il libro due volte: in effetti, con una seconda lettura, è possibile ottenere una migliore visione d'insieme e capire i collegamenti che vengono fatti. Inoltre, pregevole il fatto che il libro si presti ad una lettura non necessariamente lineare: si può infatti scegliere di leggere il libro solamente "piluccando" quelli che sembrano i paragrafi più interessanti. 
Su tutto, vorrei ricordare l'ottima prefazione di Gian Carlo Rota, interessante e divertente, che offre uno spaccato della matematica un po' diverso da quello cui ci hanno abituato a scuola.
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Giovedì, 01 Agosto 2013 06:58

Matematica sulle barricate

TRAMA:
Il 25 ottobre 1881, nasce Evariste Galois. È importante specificare che, al tempo della sua nascita, domina in Francia Napoleone Bonaparte: la vita e la morte di Evariste Galois saranno strettamente connesse alle vicende storiche della Francia.
Il 3 maggio 1814, Luigi XVIII torna a Parigi e, dopo la parentesi dei 100 giorni, l’8 luglio si attua la Restaurazione Borbonica; nello stesso periodo, Nicholas-Gabriel, padre di Evariste, diventa sindaco della cittadina di Bourg-la-Reine. È proprio durante il periodo del Terrore Bianco, con il massacro di centinaia di bonapartisti, che ha luogo l’assassinio dell’unico erede al trono. Il 16 settembre muore Luigi XVIII e gli succede Carlo X.
Nell’estate del 1826, il liceo Louis-le-Grand, che Evariste ha cominciato a frequentare nel 1823, ha un nuovo direttore, Laborie, che ritiene Galois troppo giovane per frequentare già la classe di Rhétorique: dopo una lunga controversia con la famiglia, a gennaio Evariste viene retrocesso. Per assurdo, è proprio grazie a questa retrocessione che Evariste scopre il suo amore per la matematica. Nel giugno del 1828 sostiene il primo esame per l’ammissione all’Ecole Polytechnique, ma viene bocciato. La primavera del 1829 è il periodo più felice della vita di Galois: le sue idee in matematica sono sempre più chiare e scrive due memorie, che grazie all’intervento del professor Richard, nel maggio dello stesso anno saranno presentate a Cauchy.
Il 2 luglio Nicholas-Gabriel si suicida, a seguito della campagna di diffamazione promossa dal parroco del paese e da un assessore, che ritenevano il padre di Evariste troppo liberale. Nell’agosto dello stesso anno, precipita anche la situazione sul fronte nazionale: Carlo X opera un colpo di stato.
A seguito delle difficoltà economiche sopraggiunte dopo la morte del padre e della seconda bocciatura all’esame di ammissione all’Ecole Polytechnique, Galois sostiene gli esami per essere ammesso all’Ecole Préparatoire, per diventare insegnante: il 20 febbraio 1830 firma il documento con il quale si impegna al servizio dell’istruzione pubblica per i successivi dieci anni.
In maggio, partecipa al Grand Prix de Mathématiques indetto dall’Accademia, ma Fourier, che si era portato a casa il suo manoscritto, muore il 16 maggio: il manoscritto non viene più ritrovato e Galois viene escluso dal premio. Nello stesso periodo compaiono tre sue note sul Bullettin de Férrussac, rivista che accoglieva solo articoli di scrittori noti.
Nel corso delle Tre Gloriose (fine luglio), Guigniault, direttore dell’Ecole Préparatoire, vieta agli studenti di lasciare la scuola per partecipare alla rivolta, ma poi mette i propri studenti a disposizione del Governo Provvisorio, quando l’opposizione destituisce Carlo X. Il 9 agosto, Luigi Filippo I, duca di Orléans, sale al potere. Nell’estate del 1830, Galois entra a far parte della Societé des Amis du Peuple e il contrasto con Giugniault, dovuto all’atteggiamento di quest’ultimo durante le Tre Gloriose, porta Evariste, in dicembre, all’espulsione dalla scuola. Si arruola così nella Guardia Nazionale, proprio nel momento in cui Luigi Filippo scioglie la Guardia Nazionale: diciannove artiglieri si ribellano e vengono arrestati. 
Il 16 gennaio del 1831, Galois presenta una nuova introduzione per la propria memoria all’Accademia, ma nemmeno questa ha un seguito. Intanto avviene il processo dei diciannove, che si conclude il 16 aprile con un verdetto di assoluzione. Il 9 maggio la Societé des Amis du Peuple organizza un banchetto, al quale partecipa anche Galois, nel corso del quale egli stesso fa un brindisi, “A Luigi Filippo!”, mentre con una mano alza un bicchiere colmo di vino e con l’altra brandisce, minacciosamente, un coltello a serramanico. Verrà incarcerato per questo e, al processo del 15 giugno, si perviene a un verdetto di assoluzione, grazie alla tesi della difesa, secondo la quale il banchetto era privato.
Successivamente, Galois rende pubblica la trascuratezza dell’Accademia e il 4 luglio, Lacroix e Poisson, incentivati a visionare le sue memorie, esprimono un giudizio negativo. Il 14 luglio, durante i festeggiamenti per l’anniversario della presa della Bastiglia, Galois viene arrestato per porto illegale di uniforme e di armi proibite: resterà nel carcere di Sainte-Pélagie fino al 29 aprile del 1832. Durante la carcerazione, scoppia un’epidemia di colera e, per questo motivo, i più cagionevoli di salute e i più giovani ospiti del carcere, vengono trasferiti in una casa di salute: tra di essi c’è Galois, che, grazie a questo trasferimento, conosce Stéphanie, della quale si innamora. Ma non è corrisposto.
Ai primi di maggio del 1832, la duchessa di Berry rientra in Francia: è la madre del legittimo erede al trono. La Societé des Amis du Peuple si riunisce il 17 maggio: sarebbe bene scatenare una rivolta per far sentire Luigi Filippo I tra due fuochi e ottenere maggiore libertà. Servirebbe un cadavere per scatenare la rivolta. Galois offre il proprio corpo: organizza un duello, prepara delle lettere, perché questo duello risulti credibile e il 30 maggio viene ferito. Muore di peritonite il 31 maggio. Il primo giugno, la Societé si riunisce per prendere accordi per organizzare il funerale di Galois, ma la morte del generale Lamarque, appena successa, viene preferita come occasione per scatenare la rivolta. La morte di Galois è stata inutile. 
La memoria di Galois verrà pubblicata solo quattordici anni dopo la sua morte e costituisce il fondamento dell’algebra moderna.
 
COMMENTO:
Molto interessante questa teoria sulla morte di Galois. Inquadrato molto bene storicamente, il libro può appassionare anche gli storici, senza che abbiano alcuna nozione matematica. La sfortunata vicenda umana di Galois non può che coinvolgere anche a livello emotivo.
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Giovedì, 01 Agosto 2013 06:56

La ragazza e il professore

TRAMA:
Pomeriggio inoltrato: una ragazza, forse una studentessa universitaria, si trova in una sala d’attesa senza finestre. Dopo qualche minuto, viene accolta da Albert Einstein. Il dialogo è inizialmente incerto: si parla della fisica, del fatto che la materia, oggetto di studio della fisica, è complessa e le formule costituiscono una pericolosa semplificazione.
Appeso nella stanza si trova un quadro di Newton: secondo Einstein, Newton era convinto di essere riuscito a spiegare il mondo, quasi in ogni dettaglio. Ma in realtà vedeva solo un pezzetto di mondo, da un’angolatura particolare e alcune dimensioni gli sfuggivano. Il mondo non è come lo vediamo e le parole possono essere poco adeguate per descriverlo. 
Cosa è successo nel 1905? Einstein ha pubblicato tre o quattro brevi articoli su una rivista di fisica, rimettendo in discussione la vecchia struttura newtoniana del mondo. Nessuno è in grado di capire l’importanza di queste scoperte, nemmeno Einstein: dichiara che il tempo è relativo ed è soggetto agli eventi esattamente come succede alla velocità e alla materia, mentre lo spazio-tempo è un nuovo assoluto da cui partire, per coordinare gli eventi.
Improvvisamente, Newton fa irruzione nello studio: discutono animatamente, ma si capisce che non è la prima volta che lo fanno. Einstein cerca di convincerlo che l’azione simultanea a distanza è impossibile e che la teoria della relatività non è che lo sviluppo della gravitazione. Gli parla delle nuove forze, dei nuovi oggetti in gioco, della teoria del tutto: l’universo è infinitamente più vasto e complesso di quello conosciuto da Newton! Con una pila di libri e riviste, lo rimanda in sala d’attesa a studiare e riprende il discorso con la ragazza, rivelandole il mistero della sua presenza. Nelle equazioni di Einstein è celato ancora un mistero, che i fisici odierni stanno cercando di svelare. Einstein sarà in vita fino a quando questi misteri non saranno completamente svelati.
La sua più importante equazione, l’unica realmente conosciuta a livello mondiale, persino da chi non ne conosce il significato, è E = mc2: con questa equazione, Einstein eguaglia materia e energia. È per questo il padre dell’arma nucleare? Proprio lui che per tutta la vita ha militato per la pace?
Si compie a questo punto un tuffo nel passato: si vedono le persecuzioni perpetrate ai suoi danni in Germania, negli anni Trenta, quando i suoi libri vengono bruciati. All’indomani del suo arrivo in America, esplode la sua gloria ed egli cerca di sfruttarla per quelle cause che ritiene giuste: scrive a Freud, chiedendogli la motivazione della guerra, che lo stesso definisce una pulsione di odio e distruzione, insita nel genere umano. I loro carteggi vengono pubblicati nel 1933: secondo Freud è chiaro che “Tutto ciò che contribuisce allo sviluppo della cultura è un atto contro la guerra”, ma, nonostante tutto, le loro voci restano inascoltate. Einstein mostra alla ragazza una sala riunioni in Germania nel 1931-32, quando non riesce nemmeno a parlare, perché viene accolto da grida e fischi: per questo motivo abbandona la Germania. E nel 1939 è a Long Island, dove, in una casetta in riva al mare, riceve Leo Szilard e Eugene Wigner, fisici che godono della sua completa fiducia. I due vogliono convincerlo a scrivere a Roosevelt, per spingere l’America a ottenere la fissione dell’atomo. Hahn e Strassmann, chimici tedeschi, hanno ottenuto il bario bombardando l’uranio con i neutroni: non c’è dubbio, giungeranno presto alla fissione e i tedeschi si stanno preparando a sfruttare questa scoperta, vietando le esportazioni di uranio. La lettera viene probabilmente scritta da Szilard e firmata da Einstein il 2 Agosto del 1939.
Einstein richiama Newton e gli mostra l’esplosione di Hiroshima: “Guarda che cosa hanno fatto con i nostri studi…”. Newton si dissolve lentamente: il suo tempo è finito a Hiroshima e la fissione dell’atomo lo porta via con sé. 
Il discorso si conclude con una discussione sui nuovi obiettivi della fisica moderna: Einstein continua a credere nell’esistenza di una legge rigorosa che renda ragione di tutte le debolezze del sistema, anche se ci sono momenti in cui sembra ripiegarsi malinconicamente su se stesso, ammettendo che alcune teorie hanno le sembianze di un sogno.
 
COMMENTO:
Il libro è semplice e interessante. Fornisce notevoli spunti e inquadra la figura di Einstein nel suo contesto storico, a diretto confronto con gli eventi politici e con gli altri grandi del suo tempo. È sicuramente una lettura interessante soprattutto per quegli studenti che si apprestano a confrontarsi con l’esame di stato.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:25

Perché la matematica

TRAMA:
Il libro comincia con un paradosso: “La matematica dimora nel cuore dell’uomo, ma in questa casa è straniera”. La seconda parte dell’enunciato è una verità quasi evidente, basta notare che di fronte alla domanda: “Scusi, per lei cosa è la matematica?” si ottengono, per la maggior parte, reazioni di smarrimento e imbarazzo. Per dimostrare la prima parte dell’enunciato, invece, bisogna innanzi tutto definire la matematica. La scienza in generale è l’insieme di tutte le teorie, caratterizzate da coerenza, uniformità degli argomenti trattati, verità delle proposizioni elencate. La matematica è l’insieme di tutte le teorie per le quali i procedimenti di verificazione non richiedono l’esperienza, anche se bisogna sottolineare che l’esperienza non è estranea ai processi di formazione. La matematica non è solo una tecnica, ma una forma completa e autonoma di conoscenza.
Il metodo caratteristico di cui si avvale la matematica per raggiungere la sua verità è il metodo assiomatico-deduttivo: infatti, dimostrare un teorema significa far vedere, con una serie di ragionamenti, che esso non è che una conseguenza degli assiomi. Fino al XIX secolo, gli assiomi erano considerati come sentenze inoppugnabili a causa della loro grande evidenza, ma i moderni sistemi di assiomi sono slegati dalla realtà e gli oggetti matematici sono involucri contenenti certe cariche di comportamenti logici. Tutto ciò fece affermare a Russell che la matematica è quella scienza nella quale non si sa di che cosa si parla e non si sa se ciò che si dice è vero.
La matematica ha molteplici applicazioni: è il linguaggio naturale della fisica, ma serve anche per lo studio dei fenomeni sociali. Essa si serve della logica, un codice che garantisce l’oggettività del linguaggio. Aristotele sembra essere stato il primo pensatore ad occuparsi dello studio sistematico delle leggi dell’inferenza logica, della quale la matematica era considerata un capitolo. Ma l’origine di tutti i guai sono stati gli Elementi di Euclide. In quest’opera compaiono cinque assiomi: i primi quattro evidenti e semplicissimi, il quinto no, ha tutta l’aria di essere un teorema. Nel XVIII secolo, Saccheri sviluppa una geometria con cinque assiomi: i primi quattro corrispondono a quelli di Euclide, il quinto è la negazione del quinto degli Elementi. Saccheri era convinto che sarebbe giunto ad una contraddizione, ma i risultati cui perviene sono mostruosi unicamente nella misura in cui contraddicono l’intuizione. Se si ammette che gli assiomi si riferiscono ad una “realtà”, Saccheri ha raggiunto il suo scopo, ma più avanti Bolyai e Lobatchewsky arrivarono, per questa strada, alla scoperta delle geometrie non euclidee. Si arrivò a dimostrare che le geometrie non euclidee e la geometria euclidea sono così legate, che una eventuale contraddizione delle une avrebbe potuto dare luogo ad una contraddizione anche nell’altra.
Hilbert e Study successivamente dimostrarono che è possibile trasformare ogni teorema di geometria euclidea in un corrispondente teorema di aritmetica. Perciò i matematici decisero di salvare l’aritmetica dalla contraddizione, radicandola nella logica. Verso il 1870, Frege pose mano a questa titanica impresa, ma Russell scoprì nel suo lavoro almeno una proposizione legittima eppure autocontraddittoria e rase al suolo la dottrina che pretendeva di eliminare a priori non solo le proprie contraddizioni, ma anche quelle delle dottrine vassalle, come l’aritmetica.
Fu ancora Russell a indicare la strada giusta per il superamento della crisi dei fondamenti, istituendo una teoria che stabilisce un certo insieme di proibizioni nella composizione delle frasi. La via giusta per uscire dalla crisi era quella di adoperare la matematica per giustificare la logica e non viceversa. Le risposte vennero trovate in pochi decenni, attraverso i lavori di molti ricercatori: si isolarono tutte le regole grammaticali del linguaggio matematico e vennero scritti simbolicamente gli assiomi della logica, per il cui uso vennero fissate poche regole di inferenza. L’incompletezza e l’indecidibilità furono uno dei passi nella soluzione della crisi e in questo senso, i teoremi di Gödel e di Church gettano una luce completamente nuova sui “problemi difficili della matematica”. 
La crisi dei fondamenti è la dimostrazione che i momenti più importanti dell’evoluzione della matematica nei secoli sono quelli nei quali la travolgente potenza della verità costringe gli uomini matematici a cambiare rotta e ogni rinuncia al mondo vecchio non è mai stata altro che la conquista di un mondo nuovo.
 
COMMENTO:
Libro semplice e curioso. Può andar bene anche per “palati” poco abituati a discorsi filosofici e logici.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:24

Le menzogne di Ulisse

TRAMA:
La logica è lo studio del pensiero come esso si esprime attraverso il linguaggio. Nella storia della filosofia, Parmenide, per primo, ebbe alcune buone intuizioni al riguardo ed esse vennero poi sviluppate da Platone, ma soprattutto da Aristotele, con la Logica “classica”, che non viene messa in discussione fino al Novecento, avendo già raggiunto la completa maturità matematica. Per Aristotele, la logica è solo uno strumento per lo studio delle scienze, mentre per Crisippo di Soli, terzo rettore della “Prima Stoà”, la logica è una scienza autonoma ed emerge come una conquista intellettuale di prim’ordine. Con gli stoici, vengono isolate alcune regole di ragionamento, come la negazione, la congiunzione, la disgiunzione e l’implicazione. Potremmo dire che Aristotele e Crisippo furono i massimi logici dell’antichità a pari merito; per lungo tempo furono considerati in antitesi e solo successivamente ci si rese conto che le logiche proposte dai due erano in realtà due approcci complementari.
Con la Scolastica, la logica viene “usata” per dimostrare l’esistenza di Dio, ma fa un passo avanti verso il linguaggio artificiale che la caratterizza ai nostri giorni, visto che Pietro Ispano stabilisce una nomenclatura, grazie alla quale ogni sillogismo viene identificato con tre vocali.
Lullo tenta di tradurre il linguaggio naturale in quello numerico e ha il pregio di aver realizzato un meccanismo a ruote concentriche per automatizzare il pensiero, praticamente un precursore dei moderni calcolatori. Leibniz si ispira proprio a Lullo e, dopo aver abbozzato la matematica binaria, dichiara la sua intenzione di voler rendere automatico il processo mentale: “Quando sorgeranno delle controversie, non ci sarà maggior bisogno di discussione tra due filosofi di quanto ce ne sia tra due calcolatori. Sarà sufficiente, infatti, che essi prendano la penna in mano, si siedano a tavolino e si dicano reciprocamente (chiamando, se vogliono, a testimone un amico): Calculemus, Calcoliamo”.
Gorge Boole fu il primo a carpire il segreto dell’aritmetica binaria e fece uscire la logica dal campo della filosofia, per farla entrare nel campo delle scienze. Nel 1847 pubblica “L’analisi matematica della logica”, considerata l’atto di nascita, il manifesto della logica matematica. Grazie a Boole, le complesse problematiche della logica proposizionale vengono imbarazzantemente ridotte a un semplice calcolo scientifico: la negazione sostituita dalla sottrazione, la congiunzione dalla moltiplicazione e la disgiunzione dall’addizione. In altre parole dimostra che è possibile realizzare il sogno di Leibniz, anche se la sua logica ha il limite di essere un’efficiente riformulazione algebrica della logica di Aristotele e Crisippo. Praticamente, non aggiunge nulla di nuovo.
Frege tenta di ridurre la matematica alla logica, con un programma ambizioso da sviluppare in più tappe, ma la lettera di Bertrand Russell, nella quale lo stesso gli parla del paradosso che ha trovato nel sistema, interrompe il suo lavoro. Wittgenstein ritiene, invece, di aver realizzato la “soluzione finale” del problema della logica, ma si renderà conto dopo non molto tempo di aver sbagliato. Hilbert scrive i “Fondamenti della Geometria”, ma la scoperta di Gauss, Lobacevskij e Bolyai della geometria iperbolica ingenera la sfiducia nella geometria euclidea e conferma David Hilbert nella sua idea di ridurre la geometria all’analisi. 
Lo scossone all’intero sistema viene dato da Kurt Gödel, il cui lavoro viene considerato il contributo più importante che la logica matematica abbia mai ricevuto. Con il Teorema di incompletezza, distrugge il programma di Hilbert, presentato al Congresso Internazionale di Matematica di Parigi nel 1900, perché dimostra che la matematica non è riducibile alla logica. Dopo di lui, Alan Turing, dopo aver contribuito alla vittoria della Seconda Guerra Mondiale con la decodificazione dei messaggi di Enigma e dopo aver dimostrato che sistemi matematici e programmi informatici sono in realtà due aspetti di una stessa realtà algoritmica, dimostra, contemporaneamente con Church, l’indecidibilità della logica.
 
COMMENTO:
Un libro non facile, ma molto coinvolgente. Richiede una grande concentrazione, ma alla fine lascia un segno profondo. La natura della logica è presentata fin nella sua profondità, non solo attraverso il suo sviluppo, ma anche attraverso le vite dei personaggi che l’hanno fatta diventare ciò che conosciamo.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:19

Breve storia della scienza

TRAMA:
La trama del libro, che verrà ricostruita qui di seguito solo per sommi capi, è praticamente la storia della scienza, in tutti i suoi aspetti, a partire dalla sua nascita in Grecia, fino alle scoperte più recenti, come la teoria della relatività e la genetica.
 
La curiosità dell’uomo lo ha spinto, fin dall’inizio della sua storia, a cercare di spiegare i fenomeni della natura; il primo a farlo, senza ricorrere a divinità esterne, fu Talete, ma si dice spesso che lo studio della natura sia cominciato davvero solo con Aristotele. Al contrario dei Greci, i Romani erano molto pratici, ma meno dotati per la ricerca e il pensiero profondo, per questo, con la chiusura dell’Accademia di Atene nel 529, la ricerca filosofica e scientifica ebbe una pausa in tutta Europa e venne portata avanti dagli alchimisti orientali. La Cina divenne uno dei paesi più ricchi e potenti del mondo, ma nel 1300 la cultura europea ritornò protagonista. Si diffusero le idee di Ruggero Bacone, che sosteneva che gli uomini potevano acquisire nuove conoscenze eseguendo esperimenti.
Durante il Seicento, in gran parte d’Europa gli scienziati cominciarono ad osservare la natura come mai prima di allora era stato fatto: la sperimentazione era diventata usuale e finalmente era consentito porsi ogni tipo di domanda. Quella che si verificò tra gli scienziati viene talvolta definita la rivoluzione scientifica, il cui leader indiscusso fu Newton: con i Principia mise fine a quell’epoca in cui si pensava di poter trovare una spiegazione semplice alla maggior parte dei fenomeni naturali. 
In seguito ci fu la rivoluzione industriale, le cui ragioni principali sono da ricercarsi nelle grandi scoperte e invenzioni del XVIII e XIX secolo. Responsabili delle scoperte furono Franklin, Coulomb, Volta, Oersted, Faraday, Morse, Meucci, Marconi, ma il più abile nello sfruttamento dell’elettricità fu Thomas Alva Edison, tuttora considerato il più grande di tutti gli inventori. Maxwell, studiando gli esperimenti di Faraday e applicando il calcolo differenziale di Newton, spiegò la connessione tra elettricità e magnetismo con quattro sole formule, le più difficili della scienza.
Verso la fine dell’Ottocento fra gli scienziati dominava un grande ottimismo: erano convinti che la scienza avesse ormai capito la maggior parte di ciò che c’era da sapere e che fosse possibile calcolare tutto ciò che accadeva fino al minimo dettaglio. Per i biologi, però, era difficile racchiudere in semplici leggi quello che accadeva in natura. Lo svedese Carlo Linneo diede una svolta allo studio della natura e Darwin fece molte scoperte sull’evoluzione delle specie. 
Alla fine del Settecento, medici e scienziati conoscevano piuttosto bene il corpo umano, ma sapevano poco delle malattie. Nel 1858, Pasteur ideò la “teoria dei batteri”, ma solo nel 1928, con Alexander Fleming e la penicillina, si trovò il rimedio contro le infezioni. 
Nel corso di tutto il Settecento e di gran parte dell’Ottocento, si svolse un’intensa caccia agli elementi chimici e John Dalton ideò la teoria atomica, anche se non esistevano strumenti che consentissero di vedere gli atomi. Nel 1909 Rutherford ricostruì la struttura dell’atomo, perfezionata nel 1913 da Niels Bohr. Studiando in modo sempre più approfondito l’energia che derivava dai cambi di orbitale degli elettroni, i fisici scoprirono i quanti e si aprì la strada alla fisica quantistica, che rivelò molte scoperte singolari, fra le quali l’invenzione della bomba atomica.
Albert Einstein, nel 1905, rivoluzionò la fisica con la teoria della relatività, che si diffuse rapidamente tra i fisici di tutto il mondo, visto che le sue formule erano estremamente convincenti.
Alla fine degli anni venti Edwin Hubble scoprì che le galassie sembrano allontanarsi da noi, ma solo nel 1931 con Lemaître si cominciò a parlare di Big Bang, teoria confermata dalla scoperta della radiazione di fondo nel 1964, da parte di Penzias e Wilson.
Nell’Ottocento, Mendel cominciò a studiare la genetica, ma solo a più di vent’anni dalla sua morte vennero riscoperte le leggi che lui stesso aveva enunciato. Lo scienziato americano Morgan imparò molte cose sul funzionamento dei cromosomi come portatori di eredità, ma solo Crick e Watson riuscirono a “vedere” la molecola del DNA contenuta in essi.
 
COMMENTO:
Interessante presentazione della storia della scienza (biologia, astrofisica, fisica… tutti gli aspetti) alla portata anche dei non addetti ai lavori. Per certi aspetti, soprattutto nelle prime pagine, sembra addirittura che l'autore tratti il lettore come un bambino. In realtà lo accompagna per mano lungo il passare dei secoli e le sempre nuove scoperte, nella ricerca della verità.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:17

Zero

TRAMA:
I matematici non parlano di numeri, ma di nessi e i numeri acquistano così sempre maggiore evanescenza. Con lo zero la questione si ingarbuglia ancora di più, visto che i nomi designano qualcosa, ma zero designa niente, esprime la quantità di quel che non c’è. Per questo l’itinerario temporale e concettuale dello zero è pieno di complicazioni e traversie. 
Contare, in fondo, significa associare specifici sostantivi numerici e simboli a raccolte di oggetti di vario tipo e ben presto in tutte le culture si riunirono gli oggetti che si desiderava contare in gruppi della medesima grandezza, per contare i gruppi invece degli oggetti. Con i numeri romani la rappresentazione restava goffa, ma già ai tempi dei Babilonesi possiamo trovare le tracce ancora rudimentali, con un semplice doppio cuneo, dello zero attuale. Non c’è traccia di zero nella Grecia omerica e classica e neppure in epoca alessandrina. Non c’era la notazione posizionale e le difficoltà di calcolo erano grandi, tanto più che i primi Greci non avevano portato a termine il processo di astrazione dei numeri da ciò che servivano a contare. È probabile che solo con Alessandro Magno i Greci abbiano scoperto la funzione decisiva dello zero nei calcoli, quando nel 331 a.C. invasero ciò che restava dell’impero babilonese. Infatti, nei loro papiri astronomici del III secolo a.C. troviamo il simbolo «0» a indicare lo zero.
Esso però non era ancora un numero: era usato come noi usiamo la punteggiatura. D’altra parte, il calcolo non godeva di molto prestigio sulle sponde dell’Egeo. Era chiamato «logistica» e lasciato ai mercanti: la passione dei Greci per la matematica era rivolta in larga misura alla geometria e i mercanti, lasciati a se stessi, si consolarono con l’abaco. Kaplan è convinto che proprio nell’abaco ci sia l’origine dello zero come lo conosciamo oggi: è verosimile che i sassolini spesso usati fossero tondeggianti; perciò sarebbe stato naturale rappresentarli nella scrittura e nei disegni con cerchietti pieni, che diventano cerchietti vuoti nel momento in cui sulla colonna non c’era nemmeno un contrassegno. 
È innegabile l’influenza che la cultura greca ebbe su quella indiana: la presenza dei semi di papavero nella sequenza di Archimede e nel racconto sul Buddha non può essere fortuita. Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta… tutti avevano un loro modo di indicare lo zero, con sinonimi che lo collocano più nella ragione discorsiva che in quella matematica. 
Nel 950, nella Spagna moresca, troviamo figure arabe particolari: sono i numeri da 1 a 9, senza lo zero. Questi numeri sono circondati da sciami di puntini che indicano il loro posto-valore: se sul numerale non c’è nessun puntino, è un’unità; se ce n’è uno, si tratta di una decina; se ce ne sono due, di un centinaio, e così via. Sono punti pieni e, benché piccoli, funzionano quasi come zeri nella numerazione posizionale.
Dobbiamo ancora vedere lo zero trattato come un numero: esso era una «condizione transitoria di una parte di tavoletta per calcoli». Il fatto è che qualunque cosa può essere un numero, purché si dimostri capace di socializzare con ciò che è già considerato tale: lo zero doveva poter essere sommato, sottratto e impiegato in moltiplicazioni e divisioni. 
Indipendentemente dalla cultura greca o da quella indiana, anche i Maya avevano il loro simbolo di zero: un uomo tatuato adorno di collana e con la testa piegata all’indietro. Mentre la cultura Maya agonizzava, i mercanti arabi trasportavano merci esotiche, racconti e tecniche in ogni dove. Furono forse mercanti arabi sulla via delle spezie e dell’avorio a portare lo zero in Cina. L’origine indiana dello zero cinese è rivelata non solo dalle sue forme, ma anche dall’ideogramma corrispondente, che alludeva alle ultime, rare gocce di acqua dopo un temporale. 
Di certo lo zero giunse in Occidente non più tardi del 970, ma la superstizione spinse i timorati di Dio a evitarlo, attirandogli le simpatie di coloro che sentivano il fascino dell’occulto. I numerali arabi facevano fatica ad imporsi, come dimostra il fatto che nel 1299 a Firenze il Consiglio cittadino emanò un’ordinanza che dichiarava illegale l’uso dei numeri nei libri contabili: le somme andavano indicate in parole, perché lo zero poteva essere facilmente mutato in 6 o 9. 
Fibonacci, nel 1202, pubblicò il Liber Abaci, nel quale parlava dei numerali arabi, da lui giudicati il miglior strumento di calcolo in cui si fosse imbattuto. Non si limitò a descriverne il sistema, ma da vero matematico si divertì a esplorarne le possibilità. Ma parlava di nove cifre indiane e del segno zero. 
I numerali arabi avanzavano in modo discontinuo, aiutati anche dall’invenzione della contabilità a partita doppia. Al tempo di Luca Pacioli, i numerali romani erano usati soprattutto per le date e per conferire solennità ai documenti, ma il modo in cui le somme erano archiviate era diverso da quello in cui erano ottenute.
Senza dare nell’occhio lo zero entrò nel Rinascimento insieme ai numerali arabi e si rese indispensabile ai nostri calcoli. John Napier, barone di Merchiston presso Edimburgo, ponendo le equazioni simili uguali a zero, ideò un metodo di soluzione valido per tutte. Ci voleva un tocco di genialità per pensare di utilizzare lo zero in questo modo. 
Nel XVII secolo, l’atteggiamento verso le equazioni stesse stava cambiando: si cominciavano a mettere a fuoco problemi di moto. Fra coloro che ragionavano per infinitesimi, due uomini giunsero allo stesso risultato quasi contemporaneamente: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Fu però soltanto alla fine del XIX secolo che in Francia e in Germania fu elaborata un’interpretazione del problema che sembrava finalmente soddisfacente. 
Ciò che nacque col calcolo infinitesimale non fu solo un modo di afferrare e controllare lo spettacolo del cambiamento, ma una nuova percezione della sede del significato. Il problema 0/0 fu finalmente risolto, anche se solo nel contesto delle pendenze: negli altri casi la divisione per zero rimane impossibile.
Il più grande trionfo dello zero nella sua opera di espansione della nostra conoscenza si ha grazie al calcolo infinitesimale: lo zero possiede la chiave per farci compiere la maggior parte delle imprese e con il minimo sforzo. Perché lo zero? Perché il valore della variabile nel punto in cui la funzione derivata si azzera è il numero che massimizza o minimizza il processo. 
Dove troviamo lo zero in natura? Non lo possiamo trovare nell’universo, colmo di radiazioni invisibili, non lo troviamo nelle campane di vetro, nonostante il lavoro di generazioni di ricercatori ci abbia portato sempre più vicini alla meta. Se siamo alla ricerca di uno zero all’interno della realtà fisica, non lo troveremo nemmeno nel tempo e neppure nel centro inerte delle cose. Lo zero può trovarsi nelle leggi, nelle relazioni fra le cose: ma esse non sono cose, non sono entità che esistono nella realtà e quindi nemmeno gli zeri che esse implicano sono realtà. 
Lo zero non è né positivo né negativo, anche se ci appare negativo quando pensiamo al suo significato metaforico: quanti zero scopriamo di aver incontrato nella nostra vita e persino di aver deriso! Oppure ci appare positivo se lo pensiamo come il vivere con umiltà: ridurre se stessi a zero, umiliando il proprio orgoglio. 
Dopo aver percorso la storia dello zero, le sue incarnazioni matematiche, fisiche e psicologiche, Kaplan conclude con il sistema binario, scoperto da Napier nel 1616, grazie al quale funzionano le nostre calcolatrici: tutti i numeri derivano da combinazioni di 0 e 1. Ma si può fare di più: von Neumann riconosce lo zero nell’insieme vuoto e da esso ricava tutti gli altri numeri. Esattamente come Pierce, filosofo americano, che nel 1880 fa discendere l’intera logica dalla negazione della verità. 
Davvero «Il nulla avrà origine dal nulla» come afferma il Lear shakespeariano?
 
COMMENTO:
A tratti complesso, ma nell’insieme scorrevole, il libro offre un’ottima panoramica della storia, non solo matematica, dello zero. Non è forse adatto a studenti delle superiori, visti alcuni passaggi un po’ complessi, anche se dal punto di vista matematico non presenta calcoli complessi o formule incomprensibili.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:16

Il numero

TRAMA:
CAPITOLO PRIMO – Genesi dei sistemi di numerazione
Dal contare come stabilire una corrispondenza biunivoca al contare come raggruppare: interessante la storia della nascita del numero, attraverso i sistemi di numerazione arcaici degli Egiziani, dei Babilonesi, dei Greci e dei Maya e quelli più moderni degli Indiani e degli Arabi.
 
CAPITOLO SECONDO – Sistemi posizionali di numerazione
Capitolo un po’ più complesso, dedicato allo studio delle rappresentazioni posizionali dei numeri attraverso le rappresentazioni algebriche dei codici. (interessante e curiosa la moltiplicazione araba, anche se non è spiegato il meccanismo).
 
CAPITOLO TERZO – Divisibilità e sistemi di numerazione
A partire dal teorema fondamentale dell’aritmetica, il capitolo si sviluppa con la dimostrazione della periodicità della rappresentazione dei numeri razionali in basi periodiche. Complesso dal punto di vista della comprensione: alcuni concetti sono espressi in modo eccessivamente e inutilmente complicato. In questo capitolo si fa riferimento anche al teorema di Eulero, ai numeri ciclici e ai primi di Mersenne. (curiosa la prova di divisibilità di Pascal)
 
CAPITOLO QUARTO – Numeri reali
Si comincia con il dominio di integrità dei numeri razionali, si passa attraverso il metodo assiomatico e la commensurabilità, con ampio riferimento ai pitagorici e al teorema di Pitagora. Si arriva al teorema di Fermat e alla dimostrazione dell’incommensurabilità di , oltre alla dimostrazione dell’impossibilità fisica di rappresentarla. Il capitolo si conclude con la presentazione dei tre problemi irrisolvibili dell’antichità, costruibili solamente con riga e compasso.
 
CAPITOLO QUINTO – Frazioni continue
Innanzi tutto viene presentato l’algoritmo euclideo per il calcolo del MCD interessante perché iterativo, carattere tipico proprio delle frazioni continue.
 
CAPITOLO SESTO – Fratture
A partire dal Piano di Argand, o semplicemente piano complesso, il capitolo si snoda attraverso la rappresentazione geometrica dei numeri e dei nodi primi (si definiscono anche i numeri primi gaussiani); le fratture sono un modo per rappresentare i numeri irrazionali, che nessuna retta con pendenza razionale può incontrare: ovvero è un ipotetico raggio luminoso infinitamente sottile che si propaga all’infinito senza incontrare un nodo. Nello sviluppo del capitolo viene rivisitato anche il calcolo del MCD.
 
CAPITOLO SETTIMO – Infinito 
Sicuramente il capitolo più interessante, anche se costituisce solo un assaggio dell’argomento, essendo poco sviluppato. “La strada per l’infinito è disseminata di paradossi, e occorre prestare grande attenzione quando si estrapola un ragionamento da qui a lì. Ciò può sembrare una naturale estensione di leggi e regole inerenti all’ambito della nostra più prossima sfera d’azione, in altre parole, i primi (e pochi!) numeri interi, talvolta può portare a irrisolvibili contraddizioni”. È il caso delle serie convergenti e dei paradossi sulle serie infinite, dell’Hotel Hilbert e dei paradossi di Zenone, dell’Horror infiniti dei Greci, al quale il metodo di esaustione di Eudosso si oppone. Solo Cantor parla di infinito attuale, contro l’infinito potenziale di Aristotele, solo Cantor cerca di numerare i vari tipi di infinito, di confrontarli l’uno con l’altro.
 
COMMENTO:
Libro a tratti molto difficile, inutilmente complicato laddove i calcoli avrebbero potuto essere presentati più semplicemente. Interessante e scorrevole il primo capitolo, sulla genesi dei sistemi di numerazione, facile il quarto, sui numeri reali, molto interessante il quinto, sulle frazioni continue e riduttivo il settimo, sull’infinito.
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